Reconnaître une situation de proportionnalité : cours de CAP

Au supermarché, tu achètes 3 kg de pommes : le prix à payer dépend de la masse que tu mets dans le sac. Sur un chantier, la quantité de peinture dépend de la surface à couvrir. En cuisine, la quantité de farine dépend du nombre de convives. Dans chacun de ces cas, deux grandeurs varient ensemble. La question du chapitre est simple : le lien entre elles est-il proportionnel ?

Savoir y répondre, c'est savoir quel calcul utiliser ensuite. Si la situation est proportionnelle, tu disposes d'outils rapides et sûrs : le tableau, le coefficient, plus tard le produit en croix et les pourcentages. Si elle ne l'est pas, ces outils donnent des résultats faux. Le programme de CAP insiste d'ailleurs sur ce point : il faut aussi présenter des situations qui ne relèvent pas de la proportionnalité, pour que tu apprennes à les distinguer.¹

Tu as déjà rencontré la proportionnalité bien avant le lycée professionnel : dès le cycle 2, l'élève travaille des problèmes de ce type, avec des nombres simples, puis le niveau monte progressivement.² Cette notion sert aussi dans d'autres matières (géographie, EPS, sciences) et dans la vie de tous les jours.² En CAP, l'objectif est de consolider ce que tu sais déjà et de le rendre automatique : décider si une situation est proportionnelle, construire ou compléter un tableau, calculer une quatrième valeur.³

Prenons un exemple concret. Un artisan achète des vis au détail : 1 vis coûte 0,05 €. Si l'artisan en prend 10, il paie 0,50 €. S'il en prend 100, il paie 5 €. À chaque fois, on multiplie le nombre de vis par 0,05 pour trouver le prix. Le coefficient est 0,05 et il ne bouge pas : le prix est proportionnel au nombre de vis.

On peut observer deux comportements qui sont la signature d'une situation proportionnelle :

1. Quand une quantité double, l'autre double ; quand elle est multipliée par 3, l'autre est multipliée par 3 ; quand elle est divisée par 2, l'autre est divisée par 2.
2. Quand une quantité vaut zéro, l'autre vaut zéro aussi. Zéro vis, zéro euro à payer.

Ces deux comportements sont liés : tu peux les utiliser pour tester une situation, mais le test le plus fiable reste le calcul du coefficient sur toutes les paires de valeurs.

Pour travailler proprement, on range les données dans un tableau. Chaque colonne contient une paire de valeurs liées (par exemple une masse et son prix). Un tableau de proportionnalité organise les données de façon à repérer facilement une situation proportionnelle et à trouver le coefficient.⁵ Le programme demande d'ailleurs de savoir reconnaître ou compléter un tel tableau.³

Voici un tableau de peinture : la quantité nécessaire dépend de la surface à peindre.

Pour passer de la première ligne à la seconde, on multiplie par 0,25, c'est-à-dire qu'on divise par 4. Pour passer de la seconde à la première, on multiplie par 4.

Une situation proportionnelle se lit aussi en dessin. On place chaque paire de valeurs comme un point dans un repère : la première grandeur en abscisse (axe horizontal), la seconde en ordonnée (axe vertical). Le programme attend que tu saches représenter une situation de proportionnalité dans un cadre graphique.³

Les deux conditions comptent ensemble. Des points alignés sur une droite qui coupe l'axe vertical plus haut que l'origine, c'est un tarif avec une partie fixe : ce n'est pas proportionnel. Des points qui forment une courbe, ce n'est pas proportionnel non plus.

Voici la représentation d'un prix à 4 € le kilogramme : les points $(1\,;\,4)$, $(2\,;\,8)$ et $(3\,;\,12)$ sont alignés avec l'origine.

Le programme insiste sur la nécessité de présenter des situations qui ne sont pas proportionnelles.¹ La raison est simple : le piège est de croire que « plus on en prend, plus on paie » suffit. Deux grandeurs peuvent augmenter ensemble sans être proportionnelles. Voici les cas les plus fréquents.

1. Le prix avec une partie fixe. Une salle de sport demande 20 € d'inscription, puis 10 € par mois. Après 1 mois : 30 €. Après 2 mois : 40 €. Doubler la durée ne double pas le prix, et pour 0 mois on paie déjà 20 €. Ce n'est pas proportionnel.

2. Le tarif dégressif. Plus on achète, plus le prix unitaire baisse (exemple de la location plus haut). Les quotients ne sont pas égaux.

3. Les grandeurs qui n'évoluent pas régulièrement avec le temps. Les documents du ministère rappellent qu'il ne faut pas raisonner du genre « si je mesure 1 mètre à 10 ans, je mesurerai 2 mètres à 20 ans » : la croissance n'est pas régulière, la taille n'est pas proportionnelle à l'âge.²

4. Les grandeurs sans lien de multiplication. L'âge d'une personne et son poids, la pointure et la taille : il n'y a pas de coefficient constant.

Les évaluations de positionnement en CAP relèvent d'ailleurs une erreur courante : certains élèves ne comprennent pas le sens des opérations à utiliser dans une situation de proportionnalité, par exemple additionner là où il faut multiplier.⁴ Prends l'habitude de te demander ce que représente ton calcul avant de l'effectuer.

Cette démarche sert dans de nombreux métiers. En cuisine, on adapte une recette à un nombre de couverts. En peinture, on calcule la quantité de produit selon la surface. En commerce, on compare des prix au kilogramme. Dans la vente, on applique un pourcentage, par exemple un taux de TVA sur un prix : le programme le cite parmi les situations à travailler.³ Tu verras ces calculs dans les chapitres suivants (quatrième proportionnelle et produit en croix, pourcentages, échelles et vitesses).

Un travail régulier de calcul mental sur des nombres simples aide beaucoup : savoir doubler, tripler, diviser par 2 ou par 10 permet de contrôler vite un résultat.³ Avant de te lancer dans une division difficile, regarde si tu peux passer d'une colonne à l'autre par un facteur simple (par 2, par 5, par 10).