Reconnaître une situation de proportionnalité : exercices de CAP

On calcule le rapport de la première colonne : $5 \div 2 = 2{,}5$ €/kg.

Deuxième colonne : $7{,}50 \div 3 = 2{,}5$ €/kg.

Troisième colonne : $12{,}50 \div 5 = 2{,}5$ €/kg.

Les trois rapports sont égaux, donc le prix payé est proportionnel à la masse achetée.

Le coefficient de proportionnalité est $2{,}5$ €/kg : c'est le prix d'un kilogramme de pommes.

Première colonne : $5 \div 1 = 5$ €/km.

Deuxième colonne : $7 \div 2 = 3{,}5$ €/km.

Troisième colonne : $13 \div 5 = 2{,}6$ €/km.

Les rapports sont différents : le prix n'est pas proportionnel à la distance.

On peut expliquer pourquoi : le prix comprend une somme fixe de 3 € dès la prise en charge, puis 2 € par kilomètre. Le montant fixe casse la proportionnalité.

Pour une personne : $300 \div 4 = 75$ g de farine.

Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : 75 g par personne.

Pour 10 personnes : $75 \times 10 = 750$ g de farine.

Situation A : $3 \div 1 = 3$, $6 \div 2 = 3$, $12 \div 4 = 3$. Les trois rapports sont égaux à 3.

Situation B : $5 \div 1 = 5$, $7 \div 2 = 3{,}5$, $11 \div 4 = 2{,}75$. Les rapports sont différents.

Dans la situation A, les points sont alignés avec l'origine : ils se trouvent sur la droite d'équation $y = 3x$, qui passe par $(0\,;\,0)$.

Dans la situation B, les points sont bien alignés (chaque fois que $x$ augmente de 1, $y$ augmente de 2) mais la droite ne passe pas par l'origine : elle coupe l'axe vertical en $y = 3$.

Seule la situation A est proportionnelle.

Une situation de proportionnalité se modélise par une fonction linéaire $f(x) = ax$.¹

On connaît $f(10) = 15$, donc $a \times 10 = 15$.

On en déduit $a = 15 \div 10 = 1{,}5$ €/L.

La fonction est donc $f(x) = 1{,}5x$.

Pour 35 litres : $f(35) = 1{,}5 \times 35 = 52{,}5$ €.

Première colonne : $2 \div 1 = 2$ € par stylo.

Deuxième colonne : $8 \div 5 = 1{,}6$ € par stylo.

Troisième colonne : $14 \div 10 = 1{,}4$ € par stylo.

Les rapports sont différents, donc le prix n'est pas proportionnel au nombre de stylos : c'est un tarif dégressif.

Dans le lot de 10, un stylo revient à $1{,}4$ €.

Première colonne : $60 \div 50 = 1{,}2$.

Deuxième colonne : $96 \div 80 = 1{,}2$.

Troisième colonne : $144 \div 120 = 1{,}2$.

Les rapports sont égaux : le prix TTC est proportionnel au prix hors taxe, de coefficient $1{,}2$.

Multiplier par $1{,}2$ revient à ajouter $0{,}2$ fois le prix, soit 20 % du prix hors taxe : le taux de TVA est de 20 %.

Pour 2 h : $45 \times 2 + 30 = 120$ €. Pour 3 h : $45 \times 3 + 30 = 165$ €. Pour 5 h : $45 \times 5 + 30 = 255$ €.

Rapports du prix total : $120 \div 2 = 60$, $165 \div 3 = 55$, $255 \div 5 = 51$. Ils sont différents : le prix total n'est pas proportionnel à la durée.

Main-d'œuvre seule : $90 \div 2 = 45$, $135 \div 3 = 45$, $225 \div 5 = 45$. Les rapports sont égaux : elle est proportionnelle à la durée, de coefficient 45 €/h.

La différence vient du forfait de 30 €, qui ne dépend pas de la durée.

Pour 4 h : $45 \times 4 + 30 = 210$ €.