Pour contrôler un résultat, remplace la lettre par une petite valeur dans l'expression de départ et dans celle d'arrivée.
Introduction : pourquoi des lettres ?
Tu sais déjà calculer avec des nombres, des fractions et des pourcentages. Le calcul littéral ajoute un outil : la lettre. Dans cette forme de calcul, certains nombres, voire tous, sont remplacés par des lettres.5
Pourquoi faire ça ? Imagine que tu veuilles écrire la règle « le prix après une hausse de 20 % ». Avec un prix de 50 €, tu calcules 50×1,2. Avec 80 €, tu refais le calcul. Avec une lettre p pour le prix, tu écris une seule fois p×1,2, et la règle vaut pour tous les prix.
Le calcul numérique donne un résultat particulier. Le calcul algébrique, lui, combine lettres, nombres et opérations, et permet de démontrer des lois générales.4 C'est exactement ce que tu vas faire dans ce cours : au lieu de vérifier un cas, tu montres qu'une égalité est vraie pour toutes les valeurs.
Ce chapitre fait partie des automatismes : il faut être rapide et sûr de toi, sans calculatrice dans bien des cas. Il prépare directement les équations, les inéquations du premier degré et la lecture graphique.
Quand une expression contient plusieurs opérations, il faut savoir par quoi commencer. Des règles de priorité définissent l'ordre dans lequel les calculs se font.4
Réduire une expression
Réduire une expression, c'est l'écrire avec le moins de termes possible. On regroupe les termes de même nature : ceux qui ont la même partie littérale.
Développer avec la distributivité
Démonstration · Pourquoi la double distributivité est vraie
On pose k=(a+b) et on applique la distributivité simple à k(c+d) : (a+b)(c+d)=(a+b)c+(a+b)d.
On applique de nouveau la distributivité à chaque morceau : (a+b)c=ac+bc et (a+b)d=ad+bd.
On additionne : (a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd, soit ac+ad+bc+bd en réordonnant les termes.
Les identités remarquables
Certains développements reviennent si souvent qu'on retient directement leur résultat. Ce sont les identités remarquables. Une identité est une égalité vraie pour toutes les valeurs des lettres.
Démonstration · Preuve de la première identité
(a+b)2=(a+b)(a+b). Par double distributivité : =a×a+a×b+b×a+b×b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.
Pour la deuxième, remplace b par (−b). Pour la troisième : (a−b)(a+b)=a2+ab−ba−b2=a2−b2, car ab et ba sont égaux et s'annulent.
Factoriser
RepérerChercher le facteur présent dans chaque terme
ÉcrirePlacer ce facteur devant une parenthèse
CompléterDiviser chaque terme par le facteur
ContrôlerRedévelopper pour retrouver l'expression
Factoriser un facteur commun · Méthode de factorisation par un facteur commun
Du calcul littéral à des situations concrètes
Le calcul littéral sert à écrire une règle générale, puis à la transformer. Voici deux situations typiques de la voie technologique.
Erreurs fréquentes et automatismes
Voici les fautes les plus courantes, avec le réflexe à adopter.
Exercices corrigés
Exercice 1 Évaluer une expression
★☆☆Environ 4 min
On considère l'expression E=3x2−2x+5. Calcule la valeur de E pour x=4.
Indice 1
Remplace x par 4, puis respecte les priorités : puissance, produits, sommes.
Voir la correction pas à pas
On remplace x par 4 : E=3×42−2×4+5.
Puissance d'abord : 42=16.
Produits : 3×16=48 et 2×4=8, donc E=48−8+5.
On termine de gauche à droite : 48−8=40, puis 40+5=45.
Pour x=4, E=45.
Exercice 2 Développer, réduire et contrôler
★★☆Environ 8 min
Développe et réduis F=(2x+3)(x−4).
Contrôle ton résultat en calculant la valeur de (2x+3)(x−4) pour x=5.
Indice 1
Fais quatre produits avec la double distributivité.
Indice 2
Pour contrôler, remplace x par 5 dans la forme de départ puis dans la forme développée.
On réduit les termes en x : −8x+3x=−5x, donc F=2x2−5x−12.
Contrôle avec x=5 dans la forme de départ : (2×5+3)(5−4)=13×1=13.
Contrôle dans la forme développée : 2×25−5×5−12=50−25−12=13. Les deux valeurs sont égales.
On obtient F=2x2−5x−12 et la valeur 13 pour x=5, avec les deux formes.
Exercice 3 Factoriser une expression
★★☆Environ 8 min
Factorise G=12x−18.
Calcule la valeur de G pour x=5 avec la forme factorisée, puis vérifie avec la forme de départ.
Indice 1
Cherche le plus grand diviseur commun de 12 et 18.
Voir la correction pas à pas
Le plus grand diviseur commun de 12 et 18 est 6.
On écrit 12x=6×2x et 18=6×3.
On met 6 en facteur : G=6(2x−3).
Avec x=5 : G=6×(10−3)=6×7=42.
Avec la forme de départ : 12×5−18=60−18=42. Le résultat est confirmé.
G=6(2x−3), et G=42 pour x=5.
Exercice 4 Deux évolutions successives
★★★Environ 10 min
Le prix d'un article, noté p, augmente de 20%, puis le nouveau prix baisse de 20%.
Exprime le prix final en fonction de p.
Calcule le prix final pour p=250 euros.
Indice 1
Une hausse de 20% multiplie par 1,2 ; une baisse de 20% multiplie par 0,8.
Voir la correction pas à pas
Après la hausse de 20%, le prix est 1,2p.
Après la baisse de 20%, le prix est 0,8×1,2p.
On calcule le coefficient : 0,8×1,2=0,96, donc le prix final est 0,96p.
Pour p=250 : 0,96×250=240 euros.
Le prix final est 0,96p, soit 240 euros pour p=250. Le prix baisse de 4% au total, il ne revient pas à sa valeur de départ.
Quiz
7 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Les parenthèses passent en premier, puis les puissances, puis produits et quotients, enfin sommes et différences.4 L'ordre qui place les sommes avant les produits est l'erreur tentante : il donnerait par exemple 2+3×4=20 au lieu de 14.
On calcule la puissance : 32=9, puis le produit : 2×9=18, puis la somme : 4+18=22. Si l'on fait la somme d'abord, on trouve 6×9=54, ce qui est faux.
Par l'identité (a+b)2=a2+2ab+b2 avec a=x et b=3 : x2+6x+9. La réponse x2+9 oublie le double produit 2ab=6x : avec x=1, (1+3)2=16 alors que 1+9=10.
Faux : le facteur 3 multiplie chaque terme de la parenthèse, donc 3(x+4)=3x+12. Avec x=1, 3×5=15, alors que 3×1+4=7.
Le plus grand facteur commun est 3x, ce qui donne 3x(2x+3) : en redéveloppant, on retrouve 6x2+9x. 3(2x2+3x) est un produit exact mais la factorisation n'est pas poussée au bout, tandis que 6x(x+9) se développe en 6x2+54x.
Les deux premières sont des identités remarquables. (a+b)2=a2+b2 oublie 2ab ; (a−b)2=a2−b2 confond le carré d'une différence avec le produit conjugué. Test : a=3, b=1 donne 16=10 et 4=8.
(−3)2+2×(−3)=9−6=3. L'erreur tentante est de calculer −32=−9, qui donnerait −15 : sans parenthèses, la puissance ne porte que sur le 3.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si je dois développer ou factoriser ?
Regarde le but. Pour calculer une valeur ou comparer deux expressions, on développe souvent. Pour savoir quand une expression s'annule ou simplifier une fraction, on factorise. Si l'énoncé dit « développer », « réduire » ou « factoriser », fais exactement ce qui est demandé.
Comment vérifier rapidement mon résultat ?
Choisis une petite valeur, par exemple x=1 ou x=2, et calcule l'expression de départ et celle d'arrivée. Si les deux valeurs diffèrent, il y a une erreur. Si elles sont égales, ce n'est pas une preuve, mais c'est un bon signe : teste avec une deuxième valeur.
Pourquoi utiliser des lettres plutôt que des nombres ?
Une lettre représente n'importe quelle valeur, donc un seul calcul vaut pour toutes. Le calcul algébrique permet de démontrer une loi générale, alors que le calcul numérique ne donne qu'un résultat particulier.4
Faut-il apprendre les identités remarquables par cœur ?
Oui, car elles font gagner du temps et servent dans les deux sens, pour développer et pour factoriser. Si tu oublies le milieu de (a+b)2, retrouve-le en écrivant (a+b)(a+b) et en faisant la double distributivité.
Pourquoi mettre des parenthèses quand je remplace une lettre par un nombre négatif ?
Parce que le signe moins fait partie du nombre. (−2)2=4 mais −22=−4. Les parenthèses évitent aussi de perdre un signe dans un produit comme −2×(−3)=6.