Calcul numérique et fractions : cours de 1re technologique

Les fractions ne sont pas un souvenir du collège que l'on range une fois pour toutes. Elles reviennent partout : dans les pourcentages, dans la proportionnalité, dans le calcul littéral, dans les probabilités, dans les statistiques. Si les fractions te gênent, tout le reste devient plus lourd.

Le programme de première technologique demande de savoir effectuer des opérations et des comparaisons entre des fractions simples. ¹ Il demande aussi d'exprimer une proportion sous différentes formes, par exemple en écriture décimale. ¹ Les ressources officielles rangent d'ailleurs les fractions, les puissances, les pourcentages et les ordres de grandeur parmi les techniques de calcul à maîtriser. ²

Ce cours reprend tout depuis la base : ce qu'est une fraction, comment on la simplifie, comment on calcule avec, comment on compare, comment on passe d'une écriture à l'autre. Chaque méthode est expliquée, puis appliquée sur des exemples chiffrés. À la fin, des exercices corrigés et un quiz te permettent de vérifier que tout est en place.

Cette définition a une conséquence simple : $\dfrac{a}{b}=a\div b$. Ainsi $\dfrac{3}{4}$ est le nombre qui, multiplié par 4, donne 3. Comme $0{,}75\times 4=3$, on a $\dfrac{3}{4}=0{,}75$.

On peut aussi voir une fraction comme un partage. Dans $\dfrac{3}{4}$, le dénominateur 4 indique en combien de parts égales on coupe l'unité ; le numérateur 3 indique combien de parts on garde. Une tablette de chocolat découpée en 4 carrés égaux, dont tu manges 3, correspond à $\dfrac{3}{4}$ de la tablette.

Une fraction peut être plus petite que 1 (quand le numérateur est plus petit que le dénominateur, comme $\frac{2}{5}$), égale à 1 (comme $\frac{7}{7}$) ou plus grande que 1 (comme $\frac{9}{4}$). Un entier est aussi une fraction : $5=\dfrac{5}{1}$. Cette remarque servira dès qu'il faudra additionner un entier et une fraction.

La raison est simple : multiplier le haut et le bas par $k$ revient à multiplier la fraction par $\dfrac{k}{k}$, qui vaut 1. Multiplier un nombre par 1 ne le change pas. Ainsi $\dfrac{3}{4}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{75}{100}$ : ce sont quatre écritures d'un même nombre.

Cette règle est logique : $\dfrac{2}{7}$ représente deux parts d'un septième, $\dfrac{3}{7}$ trois parts d'un septième. Ensemble, cela fait cinq parts d'un septième, soit $\dfrac{5}{7}$. On compte des parts de même taille, comme on compterait des pommes : 2 pommes + 3 pommes = 5 pommes. La taille de la part (le dénominateur) ne change pas.

Ici, aucun dénominateur commun n'est nécessaire. Avant de multiplier, regarde s'il est possible de simplifier « en croix » : un numérateur et un dénominateur d'une fraction ou de l'autre qui ont un diviseur commun. Cela garde les nombres petits.

Pourquoi cette règle ? Chercher combien de fois $\dfrac{1}{2}$ tient dans 3, c'est se demander combien de demis il y a dans 3 : il y en a 6. Or $3\div\dfrac{1}{2}=3\times 2=6$. Diviser par un nombre plus petit que 1 donne un résultat plus grand : c'est un bon réflexe de contrôle.

Comparer deux nombres, c'est dire lequel est le plus grand. Avec des fractions, on ne peut pas comparer les numérateurs seuls ni les dénominateurs seuls. Deux méthodes fonctionnent à coup sûr.

Pour les fractions de même numérateur positif, un raccourci existe : plus le dénominateur est grand, plus la fraction est petite. Ainsi $\dfrac{3}{5}>\dfrac{3}{7}$, car des cinquièmes sont plus gros que des septièmes. Pour comparer avec 1, regarde simplement si le numérateur est plus petit ou plus grand que le dénominateur.

Le calcul se fait en deux gestes : on divise la quantité en $b$ parts égales, puis on en garde $a$. Pour $\dfrac{3}{4}$ de 80, on calcule $80\div 4=20$ (une part), puis $3\times 20=60$. On trouve directement le même résultat avec $\dfrac{3}{4}\times 80=\dfrac{240}{4}=60$.

Cet exemple montre un procédé très utile : quand plusieurs parts se retirent d'un tout, on exprime chaque part en fraction du tout, on additionne, puis on soustrait de 1. Le tout, c'est toujours 1, ou $\dfrac{20}{20}$ si l'on travaille avec des vingtièmes.

Retrouver la quantité de départ se fait en sens inverse. Si $\dfrac{3}{5}$ d'une somme valent 90 €, alors la somme est $90\div\dfrac{3}{5}=90\times\dfrac{5}{3}=150$ €. On contrôle : $\dfrac{3}{5}\times 150=90$.

Une même proportion peut s'écrire de plusieurs façons : sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage. Le programme demande de savoir passer de l'une à l'autre. ¹ Cette aisance est la base du chapitre suivant sur les pourcentages et les évolutions.

Certaines fractions n'ont pas d'écriture décimale qui s'arrête. Par exemple, $\dfrac{1}{3}=0{,}3333\ldots$ : la calculatrice affiche une valeur approchée, pas la valeur exacte. Pour garder une valeur exacte, on conserve l'écriture fractionnaire. C'est une idée générale du calcul : un résultat approché simplifie la lecture mais perd de la précision, alors qu'un calcul exact garde toute l'information. Les logiciels de calcul formel, par exemple, sont conçus pour travailler sur des valeurs exactes, quand le calcul numérique ordinaire repose sur des valeurs approchées. ³

Les techniques de calcul de ce niveau incluent aussi les puissances et les ordres de grandeur. ² Pour les fractions, cela sert à vérifier qu'un résultat est plausible avant de le valider.

Dans un exercice de type automatisme, on te demande d'aller vite et juste. Les évaluations de ce niveau comportent des questions directes sur un calcul numérique ou des QCM, où chaque étape doit être maîtrisée. ² Voici une démarche qui évite la plupart des erreurs.