Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques
Équations et inéquations du premier degré : cours de 1re techno
Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une équation du premier degré se résout en isolant x : on fait la même opération des deux côtés, et il y a une seule solution ; si x disparaît après réduction, il peut n'y avoir aucune solution ou une infinité.
Une inéquation se résout de la même façon, avec une règle en plus : multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.
La réponse à une inéquation est un ensemble de réels, écrit avec un intervalle, comme ]−∞;3].
Pour un système de deux inéquations, on garde les réels qui vérifient les deux : on prend l'intersection des deux intervalles.
Les équations x2=a et le signe d'une expression du premier degré font aussi partie du programme de Première technologique.
Pourquoi apprendre à résoudre équations et inéquations
Un forfait de téléphone, un tarif de taxi, un budget à ne pas dépasser : dans tous ces cas, tu cherches une valeur inconnue qui vérifie une condition. Le programme de Première technologique demande justement de résoudre une équation ou une inéquation du premier degré, ainsi qu'une équation du type x2=a2.
Ce chapitre fait partie des automatismes. Tu dois donc pouvoir résoudre ces problèmes vite, sans hésiter sur les étapes, et en vérifiant ton résultat. Il prolonge ce que tu connais déjà : le calcul numérique, les fractions, le calcul littéral.
Le programme attend aussi que tu saches modéliser la dépendance entre deux grandeurs avec une fonction 1. Une équation ou une inéquation sert alors à répondre à une question précise sur cette fonction : « pour quelle distance le prix atteint-il 30 € ? », « jusqu'à quelle quantité reste-t-on sous le budget ? ».
Tu verras dans ce cours :
ce qu'est une équation et une inéquation du premier degré ;
la méthode pour isoler l'inconnue ;
la règle du changement de sens ;
l'écriture des solutions avec des intervalles ;
les systèmes de deux inéquations ;
le signe d'une expression du premier degré ;
la mise en équation d'un problème.
Les définitions : équation, inéquation, degré
Résoudre une équation du premier degré
Résoudre une inéquation du premier degré
On résout une inéquation du premier degré en isolant l'inconnue dans un des membres, à l'aide des règles élémentaires 5. La démarche ressemble donc à celle d'une équation. Une seule règle change, et c'est elle qui provoque la plupart des erreurs.
Démonstration · Pourquoi le sens s'inverse avec un nombre négatif
Prenons l'inégalité vraie 2<5. Multiplions les deux membres par −1 : on obtient −2 et −5. Sur la droite des nombres, −5 est à gauche de −2, donc −5<−2, c'est-à-dire −2>−5.
Si on gardait le sens, on écrirait −2<−5, ce qui est faux. Multiplier par un négatif retourne la droite des nombres : l'ordre s'inverse. Le même raisonnement vaut pour une division, qui revient à multiplier par l'inverse, lui aussi négatif.
Écrire les solutions : droite graduée et intervalles
Une équation du premier degré a en général une seule solution. Une inéquation en a une infinité : on décrit alors l'ensemble des solutions, avec un intervalle ou une droite graduée.
Systèmes de deux inéquations
Signe d'une expression du premier degré
Le programme demande de déterminer le signe d'une expression du premier degré et d'une expression factorisée du second degré 1. Pour le premier degré, tout repose sur une inéquation : savoir où l'expression est positive, c'est résoudre « expression >0 ».
Mettre un problème en équation ou en inéquation
Modéliser, c'est traduire une situation en langage mathématique. Le programme y revient : il s'agit de décrire par une fonction la dépendance entre deux grandeurs 1. Une fois le modèle écrit, une équation ou une inéquation répond à la question posée.
Équation $x^2 = a$, solveur et balayage
Le programme cite aussi les équations du type x2=a2. Elles ne sont pas du premier degré, mais tu les rencontres avec les mêmes automatismes.
Le programme prévoit aussi qu'on puisse calculer une valeur approchée d'une solution par balayage 3. Cela consiste à tester des valeurs de x avec un pas de plus en plus fin, jusqu'à encadrer la solution. Pour 2x=7, tu sais que la solution est 3,5 ; en balayant avec un pas de 1, tu verrais 2x passer de 6 à 8 entre 3 et 4 ; avec un pas de 0,1 entre 3 et 4, tu tomberais sur 2×3,5=7. Le balayage sert surtout aux équations qu'on ne sait pas résoudre à la main.
Exercices corrigés
Exercice 1 Résoudre une équation avec des parenthèses
★☆☆Environ 5 min
Résous l'équation 3(x+4)=5x−6 et vérifie ta solution.
Indice 1
Commence par développer le membre de gauche.
Indice 2
Regroupe les termes en x d'un côté et les nombres de l'autre.
Voir la correction pas à pas
On développe : 3(x+4)=3x+12. L'équation devient 3x+12=5x−6.
On regroupe : 12+6=5x−3x, soit 18=2x.
On divise par 2 : x=9.
Vérification : à gauche 3(9+4)=39, à droite 5×9−6=39. Les deux membres sont égaux.
La solution est x=9.
Exercice 2 Résoudre une inéquation avec division par un négatif
★★☆Environ 6 min
Résous l'inéquation 7−3x≥2x−8 et écris l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
Indice 1
Tu peux regrouper les x du côté où leur coefficient reste positif.
Indice 2
Si tu divises par un négatif, pense à inverser le sens.
Voir la correction pas à pas
On ajoute 3x aux deux membres : 7≥5x−8.
On ajoute 8 aux deux membres : 15≥5x.
On divise par 5, positif, le sens est conservé : 3≥x, soit x≤3.
Contrôle avec x=0 : 7≥−8, vrai. Contrôle avec x=4 : −5≥0, faux.
On écrit l'intervalle, le 3 étant inclus.
L'ensemble des solutions est ]−∞;3].
Exercice 3 Un problème de budget
★★☆Environ 8 min
Un loueur de vélos demande 3 € de frais de dossier, puis 1,50 € par kilomètre parcouru. Léa veut dépenser 21 € au maximum. Quelle distance maximale, en kilomètres, peut-elle parcourir ?
Indice 1
Appelle x la distance en kilomètres et écris le prix en fonction de x.
Indice 2
« Au maximum » se traduit par le signe ≤.
Voir la correction pas à pas
Soit x la distance en kilomètres. Le prix est 3+1,5x euros.
La condition est 3+1,5x≤21.
On retranche 3 : 1,5x≤18.
On divise par 1,5, positif : x≤12.
Contrôle : pour x=12, le prix est 3+18=21 €, ce qui correspond bien au budget.
Léa peut parcourir au maximum 12 km.
Exercice 4 Système de deux inéquations
★★★Environ 8 min
Résous le système : 4−x>1 et 2x+3≥−5. Donne l'ensemble des solutions.
Indice 1
Résous chaque inéquation séparément, en écrivant son intervalle.
Indice 2
Attention à l'inversion du sens quand tu divises par −1 dans la première.
Voir la correction pas à pas
Première inéquation : 4−x>1 donne −x>−3. On multiplie par −1 et on inverse le sens : x<3. Intervalle : ]−∞;3[.
Seconde inéquation : 2x+3≥−5 donne 2x≥−8, puis x≥−4. Intervalle : [−4;+∞[.
On garde les réels qui vérifient les deux : ceux qui sont supérieurs ou égaux à −4 et strictement inférieurs à 3.
Contrôle avec x=−4 : 8>1 vrai et −5≥−5 vrai. Contrôle avec x=3 : 1>1 faux, donc 3 est exclu.
L'ensemble des solutions est [−4;3[.
Quiz
9 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
On ajoute 9 : 6x=24, puis on divise par 6 : x=4. La réponse x=24 vient d'une division oubliée après avoir ajouté 9 ; x=1 vient d'un calcul 15−9=6 puis d'une division de 6 par 6, sans tenir compte du signe du terme déplacé. Vérification : 6×4−9=15.
On divise les deux membres par −2, qui est négatif : le sens s'inverse, donc x<−3. La réponse x>−3 garde le sens à tort. Contrôle : x=−4 donne 8>6, vrai ; x=0 donne 0>6, faux.
C'est faux : multiplier par un nombre négatif inverse le sens. Par exemple, 2<5 devient −6>−15. Le sens ne reste inchangé que pour une multiplication par un nombre positif.
On développe : 3x+6=2x+9. On regroupe : 3x−2x=9−6, soit x=3. Vérification : 3(3+2)=15 et 2×3+9=15.
3x−2≥7 et 5−x≤2x contiennent x à la puissance 1 avec un signe d'inégalité. x2<9 est une inéquation, mais x y est au carré. 4x+3=1 est une équation, pas une inéquation.
Les réels inférieurs ou égaux à 5 vont de −∞ à 5, le 5 étant inclus : ]−∞;5]. L'intervalle ]−∞;5[ exclut le 5, ce qui correspond à x<5. Les deux autres intervalles sont de l'autre côté de 5.
Il faut les réels qui vérifient les deux conditions à la fois : strictement plus grands que 1 et strictement plus petits que 4, soit ]1;4[. Prendre tous les réels reviendrait à unir les intervalles au lieu de prendre leur partie commune.
Comme 72=49 et (−7)2=49, il y a deux solutions : 7 et −7. Répondre « 7 » seulement oublie la solution négative. Répondre 24,5 revient à diviser 49 par 2, comme si l'équation était 2x=49.
−2x+8>0 donne −2x>−8, puis x<4 en inversant le sens. L'erreur x>4 vient d'une division par −2 sans inversion. Vérification : x=0 donne 8>0, bon ; x=5 donne −2, négatif.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi le sens de l'inégalité change-t-il quand on divise par un nombre négatif ?
Multiplier par un nombre négatif retourne la droite des nombres : ce qui était à gauche se retrouve à droite. Par exemple, 2<5 devient −2>−5 après multiplication par −1. Pour éviter l'inversion, tu peux déplacer les termes afin que le coefficient de x soit positif.
Comment savoir s'il faut écrire un crochet ouvert ou fermé ?
Regarde le signe d'inégalité. Avec < ou >, la valeur limite est exclue : crochet tourné vers l'extérieur. Avec ≤ ou ≥, elle est incluse : crochet tourné vers l'intérieur. Du côté de +∞ ou de −∞, le crochet est toujours ouvert.
Que faire quand $x$ disparaît pendant la résolution ?
Regarde la phrase qui reste. Si elle est fausse (par exemple 1=5), l'équation n'a aucune solution. Si elle est toujours vraie (par exemple 4=4), tous les réels sont solutions. Dans les deux cas, ne donne pas de valeur de x.
Comment vérifier rapidement ma réponse à une inéquation ?
Choisis un nombre dans l'ensemble que tu as trouvé et remplace x par ce nombre dans l'inéquation de départ : elle doit être vraie. Choisis ensuite un nombre en dehors : elle doit être fausse. Teste aussi la valeur limite : elle est solution seulement avec une inégalité large.
Quelle différence entre une équation, une inéquation et un système d'inéquations ?
Une équation a un signe = et, au premier degré, une seule solution en général. Une inéquation a un signe d'inégalité et une infinité de solutions, décrites par un intervalle. Un système réunit deux inéquations : on ne garde que les réels qui vérifient les deux, donc l'intersection des intervalles.
Comment traduire « au plus » et « au moins » dans un problème ?
« Au plus » se traduit par ≤ : on ne dépasse pas la valeur. « Au moins » se traduit par ≥ : on atteint au minimum la valeur. « Strictement moins » donne < et « strictement plus » donne >. Termine toujours par une phrase de réponse adaptée au contexte.