Équations et inéquations du 1er degré : exercices de 1re techno

On retranche 5 aux deux membres : $3x = 20 - 5$, donc $3x = 15$.

On divise les deux membres par 3 : $x = \dfrac{15}{3} = 5$.

Vérification : $3 \times 5 + 5 = 20$. Le résultat est bon.

On retranche $2x$ aux deux membres : $3x - 7 = 11$.

On ajoute 7 aux deux membres : $3x = 18$.

On divise par 3 : $x = 6$.

Vérification : à gauche $5 \times 6 - 7 = 23$, à droite $2 \times 6 + 11 = 23$.

On retranche 3 aux deux membres : $2x \leq 8$.

On divise par 2, nombre positif, donc le sens reste le même : $x \leq 4$.

L'ensemble des solutions est $]-\infty\,;\,4]$ : le 4 est inclus car l'inégalité n'est pas stricte.

On retranche 4 aux deux membres : $-3x > 9$.

On divise par $-3$, nombre négatif : le sens change, donc $x < -3$.

L'ensemble des solutions est $]-\infty\,;\,-3[$, borne exclue.

Contrôle avec $x = -4$ : $-3 \times (-4) + 4 = 16 > 13$, vrai. Contrôle avec $x = 0$ : $4 > 13$, faux.

Produit en croix : $2(2x - 1) = 3(x + 4)$.

On développe : $4x - 2 = 3x + 12$.

On retranche $3x$ : $x - 2 = 12$.

On ajoute 2 : $x = 14$.

Vérification : à gauche $\dfrac{27}{3} = 9$, à droite $\dfrac{18}{2} = 9$.

Prix de A : $8 + 3x$. Prix de B : $5x$.

On cherche $8 + 3x < 5x$.

On retranche $3x$ : $8 < 2x$.

On divise par 2 : $4 < x$, c'est-à-dire $x > 4$.

Contrôle : pour 4 h, A coûte $8 + 12 = 20$ € et B coûte 20 € : égalité. Pour 5 h, A coûte 23 € et B coûte 25 €.

Le facteur $2x - 6$ s'annule pour $x = 3$ ; il est négatif avant 3 et positif après (coefficient 2 positif).

Le facteur $-x + 5$ s'annule pour $x = 5$ ; il est positif avant 5 et négatif après (coefficient $-1$ négatif).

Sur $]-\infty\,;\,3[$ : négatif × positif = négatif.

Sur $]3\,;\,5[$ : positif × positif = positif.

Sur $]5\,;\,+\infty[$ : positif × négatif = négatif.

Le produit s'annule en 3 et en 5, et on cherche $\geq 0$ : les bornes sont incluses.

a) $x^2 = 49$ a deux solutions, $x = 7$ et $x = -7$, car $7^2 = (-7)^2 = 49$.

b) On ajoute 12 : $3x^2 = 12$, puis on divise par 3 : $x^2 = 4$. Les solutions sont $x = 2$ et $x = -2$.

c) Un carré est toujours positif ou nul, donc $x^2 = -4$ est impossible : il n'y a aucune solution réelle.

Première inéquation : $3x \geq 6$, donc $x \geq 2$, soit $[2\,;\,+\infty[$.

Seconde inéquation : $x < 7$, soit $]-\infty\,;\,7[$.

On cherche les réels qui sont dans les deux ensembles à la fois : ceux qui sont supérieurs ou égaux à 2 et strictement inférieurs à 7.

Contrôle avec $x = 2$ : $3 \times 2 - 2 = 4 \geq 4$ et $2 + 5 = 7 < 12$, vrai. Avec $x = 7$ : $3 \times 7 - 2 = 19 \geq 4$ est vrai, mais $7 + 5 = 12$ n'est pas strictement inférieur à 12, donc 7 est exclu.