Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques
Ensembles et appartenance : cours de Première technologique
Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Un ensemble est caractérisé par ses éléments ; la relation « appartient à » (∈) lie un élément à un ensemble 6.
- On décrit un ensemble en extension (on liste les éléments) ou en compréhension (on donne une condition) 3.
- Un sous-ensemble n'est pas un élément : on écrit ∈ entre un élément et un ensemble, ⊂ entre deux ensembles.
- Union ∪, intersection ∩, complémentaire et cardinal Card(A) sont les outils de base pour compter et classer 3.
- Le piège le plus fréquent : confondre élément et sous-ensemble 6.
Pourquoi apprendre le vocabulaire des ensembles ?
Dans un énoncé de mathématiques, de statistiques ou d'économie, tu rencontres des phrases comme « les clients qui ont acheté deux produits », « les nombres compris entre 2 et 5 » ou « les élèves qui ne font pas de sport ». Chacune désigne une collection d'objets. Le vocabulaire des ensembles permet d'en parler sans ambiguïté, avec des mots et des symboles lus de la même façon par tous.
En Première technologique, ce vocabulaire appartient aux parties transversales du programme. Il n'a pas de chapitre à lui : il réapparaît au fil de l'année, en probabilités, en algorithmique ou à propos des fonctions 3. Le programme attend que tu saches ce que sont un élément, un sous-ensemble, l'ensemble vide et l'appartenance, et que tu maîtrises l'écriture des ensembles de nombres et des intervalles 3.
Le cours suit cet ordre : d'abord l'ensemble et l'appartenance, puis les façons de décrire un ensemble, les sous-ensembles, les ensembles de nombres, et pour finir les opérations (union, intersection, complémentaire, cardinal). Il prépare ensuite l'implication, l'équivalence et le contre-exemple.
Ensemble, élément et appartenance
Décrire un ensemble : en extension et en compréhension
Pour parler d'un ensemble, il faut pouvoir le décrire. Il existe deux grandes façons de le faire, et le programme les relie à la notion d'ensemble : la génération de listes en compréhension et en extension 3. Tu les retrouveras aussi en programmation, quand tu construis une liste de valeurs.
Ensemble vide, sous-ensembles et inclusion
Ensembles de nombres et intervalles
Les ensembles de nombres sont les ensembles que tu utilises le plus souvent. Le programme demande d'en connaître la notation, ainsi que celle des intervalles 3.
Opérations sur les ensembles : union, intersection, complémentaire, cardinal
Une fois que tu sais ce qu'est un ensemble, tu peux en construire de nouveaux à partir d'ensembles connus. Les opérations d'union et d'intersection, la notation du complémentaire et celle du cardinal sont au programme 3. Pour les illustrer, on prend un ensemble de référence (le « tout ») dans lequel vivent les ensembles et .
Démonstration · Pourquoi on retranche le cardinal de l'intersection
Quand on additionne et , chaque élément de seulement est compté une fois, chaque élément de seulement est compté une fois, mais chaque élément de est compté deux fois : une fois avec et une fois avec . Dans l'union, il ne doit apparaître qu'une fois. On retire donc une fois , ce qui donne la formule.
Vérification avec l'exemple : , et on a bien listé 6 éléments dans .
Méthode générale et pièges à éviter
Exercices corrigés
Exercice 1 Union de deux listes de nombres
Soit l'ensemble des entiers pairs compris entre 2 et 12 (bornes incluses) et l'ensemble des multiples de 3 compris entre 3 et 12 (bornes incluses).
- Écrire et en extension.
- Déterminer .
- Calculer .
Indice 1
Parcours les entiers de 2 à 12 un par un et garde ceux qui vérifient la condition.
Indice 2
Utilise la formule puis vérifie en listant l'union.
Voir la correction pas à pas
Pour : les entiers pairs de 2 à 12 sont 2, 4, 6, 8, 10, 12. Donc et .
Pour : les multiples de 3 de 3 à 12 sont 3, 6, 9, 12. Donc et .
Éléments communs : 6 et 12 sont dans les deux listes. Donc et .
Par la formule : .
Contrôle en listant : , soit 8 éléments.
L'union compte 8 éléments. Retiens que les éléments communs, 6 et 12, ne sont comptés qu'une fois dans l'union.
Exercice 2 Complémentaire dans un ensemble de référence
Soit l'ensemble des entiers de 1 à 20 (bornes incluses) et l'ensemble des multiples de 4 appartenant à .
- Écrire en extension et donner .
- Calculer , où est le complémentaire de dans .
- Le nombre 18 appartient-il à ?
Indice 1
Les multiples de 4 sont 4, 8, 12… jusqu'à ne plus dépasser 20.
Indice 2
Le complémentaire contient tout ce qui est dans mais pas dans : utilise .
Voir la correction pas à pas
Les multiples de 4 inférieurs ou égaux à 20 sont 4, 8, 12, 16, 20. Donc .
Cet ensemble a 5 éléments : .
L'ensemble a 20 éléments. Donc .
Pour 18 : , car 18 est compris entre 1 et 20, et , car 18 n'est pas un multiple de 4 (). Donc .
Le complémentaire de dans compte 15 éléments, et .
Exercice 3 Élément ou sous-ensemble ?
Soit l'ensemble .
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant :
Puis donner .
Indice 1
Commence par lister soigneusement les éléments de : regarde où sont les accolades.
Indice 2
Une inclusion exige que chaque élément de soit un élément de .
Voir la correction pas à pas
Éléments de : le nombre 1, le nombre 2 et l'ensemble . Il y en a trois.
- est vraie : 1 est le premier élément.
- est fausse : le nombre 3 n'est pas un élément ; c'est qui en est un.
- est vraie : l'ensemble figure parmi les éléments de .
- est vraie : 1 et 2 sont deux éléments de .
- est fausse : il faudrait que 3 soit un élément de , ce qui n'est pas le cas.
Conclusion sur le cardinal : .
Les accolades décident de tout : est un élément de , mais n'en est pas un. On conclut .
Quiz
7 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
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Le nombre 5 est un élément de , donc est correcte. Écrire est faux, car ⊂ lie deux ensembles et 5 est un nombre. L'écriture est fausse aussi : est une partie de , pas un élément. Enfin l'élément s'écrit toujours à gauche du symbole d'appartenance, jamais à droite.
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Les impairs de 0 à 9 sont 1, 3, 5, 7, 9. La deuxième liste contient 10, qui est pair et n'est pas strictement inférieur à 10. La troisième inclut 0, qui est pair. La quatrième oublie 1, qui répond bien aux deux conditions.
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L'intersection regroupe les éléments présents dans les deux ensembles : 4 et 5. La deuxième réponse est l'union, qui rassemble tous les éléments. Les deux dernières ne contiennent que des éléments propres à ou à , pas des éléments communs.
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Les multiples de 5 entre 1 et 30 sont 5, 10, 15, 20, 25 et 30, soit 6 éléments. Un décompte qui donne 5 oublie la borne 30, qui est bien un multiple de 5 et appartient à l'intervalle.
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L'égalité n'est vraie que si et n'ont aucun élément commun. Sinon, les éléments de sont comptés deux fois dans la somme, et il faut retrancher . Avec et , l'union a 3 éléments et la somme des cardinaux donne 4.
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La borne 2 est incluse (crochet fermé), donc . Le nombre 4,9 est compris entre 2 et 5 : il est dans . En revanche 5 est exclu, car le crochet est tourné vers l'extérieur, et 1,9 est plus petit que la borne inférieure.
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L'ensemble vide n'a aucun élément, et comme il n'y a aucun élément à vérifier, il est inclus dans tout ensemble. L'ensemble n'est pas vide : il contient le nombre 0. Dire que le vide n'est inclus dans aucun ensemble contredit la définition de l'inclusion. Enfin, est l'ensemble vide lui-même : il n'a aucun élément, donc il n'a pas d'« unique élément ».
Les questions qu'on se pose
Quelle est la différence entre ∈ et ⊂ ?
Le symbole ∈ relie un élément à un ensemble : . Le symbole ⊂ relie deux ensembles : . La confusion entre élément et sous-ensemble est l'une des erreurs les plus courantes 6. Avant d'écrire un symbole, demande-toi si l'objet de gauche est un nombre (ou un objet) ou un ensemble.
Pourquoi dit-on que l'ordre des éléments ne compte pas ?
Parce qu'un ensemble est caractérisé par les éléments qui lui appartiennent, et par rien d'autre 6. Si deux listes ont les mêmes éléments, elles décrivent le même ensemble : . De même, répéter un élément ne change pas l'ensemble.
À quoi servent les ensembles dans la suite du programme ?
Le vocabulaire ensembliste est l'une des parties transversales du programme : il revient au fil des chapitres 3. Tu l'utilises pour décrire des intervalles de solutions, pour définir des événements en probabilités (avec la notation du complémentaire) ou pour compter des éléments. Il prépare aussi l'implication, l'équivalence et le contre-exemple.
Comment savoir si je dois utiliser une union ou une intersection ?
Repère le mot de liaison. Si l'énoncé parle d'éléments qui vérifient les deux conditions à la fois (« et »), c'est l'intersection ∩. S'il parle d'éléments qui vérifient au moins une des conditions (« ou »), c'est l'union ∪. Teste sur un élément précis : s'il est dans seulement, il est dans l'union mais pas dans l'intersection.
Sources
Programme visé : Programmes et ressources en mathématiques - voie générale et technologique · Éduscol - Ministère de l'Éducation Nationale
- Programmes et ressources en mathématiques - voie générale et technologique, Éduscol - Ministère de l'Éducation Nationale. Consulté le 11 novembre 2026.
- Difficultés liées au langage mathématique : vocabulaire ensembliste et logique, Éduscol - Ministère de l'Éducation Nationale. Consulté le 11 novembre 2026.
- Programme d'enseignement de mathématiques de première technologique, Ministère de l'Éducation Nationale. Consulté le 11 novembre 2026.
- Classes inversées - Ressources mathématiques pour enseignants, Réseau Canopé - Ministère de l'Éducation Nationale. Consulté le 11 novembre 2026.
- Notation mathématique : logique symbolique, Universalis. Consulté le 11 novembre 2026.
- Appartenance (mathématiques), Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
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