Ensembles et appartenance : exercices corrigés de 1re technologique

Pour $4$ : le nombre $4$ figure dans la liste, donc $4 \in A$.

Pour $5$ : il est absent de la liste (on ne trouve que des nombres pairs), donc $5 \notin A$.

Pour $10$ : il est le dernier élément listé, donc $10 \in A$.

Pour $0$ : le plus petit élément de $A$ est $2$, donc $0 \notin A$.

Pour $\dfrac{8}{2}$ : on simplifie, $\dfrac{8}{2} = 4$, et $4$ est dans $A$, donc $\dfrac{8}{2} \in A$.

Affirmation 1 : $1$ est un nombre listé dans $E$. Elle est vraie.

Affirmation 2 : $\{1\}$ est un ensemble, mais les éléments de $E$ sont des nombres, et $\{1\}$ n'en fait pas partie. Elle est fausse.

Affirmation 3 : tous les éléments de $\{1\}$ (il n'y a que $1$) sont dans $E$. Elle est vraie.

Affirmation 4 : $1$ est un nombre, pas un ensemble, donc l'inclusion n'a pas de sens ici. Elle est mal écrite.

Affirmation 5 : l'ensemble vide n'a aucun élément, donc aucun élément ne manque dans $E$. Elle est vraie.

Affirmation 6 : $4$ ne figure pas dans $E$, donc $4 \notin E$ est vraie.

Affirmation 7 : tous les éléments de $\{1\,;\,2\,;\,3\}$ sont dans $E$, et même ce sont les mêmes. Elle est vraie : un ensemble est toujours un sous-ensemble de lui-même.

On calcule les multiples successifs : $3,\ 6,\ 9,\ 12,\ 15,\ 18,\ 21,\ 24,\ 27,\ 30$.

On écrit donc $M = \{3\,;\,6\,;\,9\,;\,12\,;\,15\,;\,18\,;\,21\,;\,24\,;\,27\,;\,30\}$.

On compte les éléments : il y en a $10$, donc $\text{Card}(M) = 10$. On peut vérifier : $30 \div 3 = 10$.

Comme $21 = 3 \times 7$, on a $21 \in M$. Comme $25 = 3 \times 8 + 1$, ce n'est pas un multiple de $3$, donc $25 \notin M$.

Dans $I = [-2\,;\,3[$, la borne $-2$ est incluse et la borne $3$ est exclue.

Donc $-2 \in I$ ; $3 \notin I$ ; $0{,}5 \in I$ car $-2 \le 0{,}5 < 3$ ; $-2{,}1 \notin I$ car $-2{,}1 < -2$.

Dans $J = ]1\,;\,5]$, la borne $1$ est exclue et la borne $5$ est incluse.

Donc $1 \notin J$ ; $5 \in J$ ; pour $\sqrt{10}$, on sait que $3 < \sqrt{10} < 4$ (car $9 < 10 < 16$), donc $1 < \sqrt{10} \le 5$ et $\sqrt{10} \in J$.

Intersection : les nombres communs vont de $1$ (exclu, car absent de $J$) à $3$ (exclu, car absent de $I$) : $I \cap J = ]1\,;\,3[$.

Union : les deux intervalles se chevauchent, donc on les recolle de $-2$ (inclus, car dans $I$) à $5$ (inclus, car dans $J$) : $I \cup J = [-2\,;\,5]$.

Les nombres premiers de $1$ à $20$ sont $2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19$. Donc $A = \{2\,;\,3\,;\,5\,;\,7\,;\,11\,;\,13\,;\,17\,;\,19\}$.

Le complémentaire de $A$ dans $E$ se note $\overline{A}$ ou $E \setminus A$.

On compte : $\text{Card}(A) = 8$ et $\text{Card}(E) = 20$.

Chaque élément de $E$ est soit dans $A$, soit dans $\overline{A}$, jamais dans les deux. Donc $\text{Card}(\overline{A}) = 20 - 8 = 12$.

Le nombre $1$ n'est pas premier (il n'a qu'un seul diviseur), donc $1 \notin A$. Il est dans $E$, donc $1 \in \overline{A}$.

On liste : $A = \{2\,;\,4\,;\,6\,;\,8\,;\,10\,;\,12\}$ et $B = \{3\,;\,6\,;\,9\,;\,12\}$.

Les éléments communs sont $6$ et $12$ : $A \cap B = \{6\,;\,12\}$.

On réunit sans répéter : $A \cup B = \{2\,;\,3\,;\,4\,;\,6\,;\,8\,;\,9\,;\,10\,;\,12\}$. On compte $8$ éléments.

On applique la relation : $\text{Card}(A) = 6$, $\text{Card}(B) = 4$, $\text{Card}(A \cap B) = 2$, donc $6 + 4 - 2 = 8$.

Les deux méthodes donnent le même résultat. On soustrait $2$ car les éléments $6$ et $12$ sont comptés deux fois quand on additionne $6$ et $4$.

Un élève qui n'étudie aucune des deux langues n'est ni dans $A$ ni dans $S$, donc il n'est pas dans $A \cup S$. Cet ensemble est $\overline{A \cup S}$, noté aussi $E \setminus (A \cup S)$.

On a $\text{Card}(\overline{A \cup S}) = 5$, donc $\text{Card}(A \cup S) = 30 - 5 = 25$.

On note $x = \text{Card}(A \cap S)$. La relation donne $25 = 18 + 15 - x$.

On résout : $25 = 33 - x$, donc $x = 33 - 25 = 8$.

Contrôle : $18 - 8 = 10$ élèves étudient seulement l'anglais, $15 - 8 = 7$ seulement l'espagnol, et $10 + 8 + 7 = 25$, ce qui est bien $\text{Card}(A \cup S)$.

On calcule les carrés : $0^2 = 0$, $1^2 = 1$, $2^2 = 4$, $3^2 = 9$, $4^2 = 16$, $5^2 = 25$ sont tous inférieurs à $30$.

Le suivant est $6^2 = 36$, qui dépasse $30$, et les carrés suivants sont encore plus grands. Donc $F = \{0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\}$.

On compte : $\text{Card}(F) = 6$ (attention, on compte aussi le $0$).

Comme $5^2 = 25 < 30$, on a $5 \in F$. Comme $6^2 = 36 > 30$, on a $6 \notin F$.

Dans $F$, les nombres pairs sont $0$, $2$ et $4$, donc $G = \{0\,;\,2\,;\,4\}$.

Tous les éléments de $G$ sont dans $F$ : on a bien $G \subset F$.

Les deux ensembles ont les mêmes éléments, $2$ et $5$. Ils sont égaux, car l'ordre de la liste ne change pas un ensemble.

Dans un couple, la première place et la seconde place ont un rôle précis. Comme $2 \neq 5$, on a $(2\,;\,5) \neq (5\,;\,2)$.

Les coordonnées d'un point forment un couple : $A$ et $B$ ont des abscisses différentes, donc les points ne sont pas confondus.

Avec $x = 1$, on obtient $(1\,;\,a)$ et $(1\,;\,b)$. Avec $x = 2$, on obtient $(2\,;\,a)$ et $(2\,;\,b)$.

L'ensemble demandé est $\{(1\,;\,a)\,;\,(1\,;\,b)\,;\,(2\,;\,a)\,;\,(2\,;\,b)\}$.