Tableaux croisés et fréquences conditionnelles : exercices de 1re

On repère le caractère demandé : le régime de restauration, modalité « demi-pensionnaire ».

L'effectif de cette modalité sans tenir compte du sexe se lit dans la ligne de totaux : $124$ élèves. On peut le revérifier : $66+58=124$.

La population de référence est l'échantillon entier, soit $200$ élèves.

On calcule $\dfrac{124}{200}=0{,}62$.

La condition est « être jeune » : on se place dans la ligne des jeunes, qui compte $80$ adhérents.

Dans cette ligne, $48$ jeunes pratiquent la natation.

On divise l'effectif de la cellule par le total de la ligne : $\dfrac{48}{80}=0{,}6$.

On interprète : $60\,\%$ des jeunes font de la natation.

Le nombre de garçons est $250-125=125$.

Le nombre de filles musiciennes est $90-40=50$, car les $90$ musiciens se partagent entre filles et garçons.

On complète les autres cellules : filles non musiciennes $125-50=75$ ; garçons non musiciens $125-40=85$ ; non-musiciens en tout $75+85=160$. Contrôle : $90+160=250$.

Pour la question 2, la population de référence est l'ensemble des filles : $125$.

On calcule $\dfrac{50}{125}=0{,}4$.

Question 1 : $P(T)=\dfrac{250}{500}=0{,}5$.

Question 2 : la condition est $T$, donc la population de référence est la colonne « Télétravail », soit $250$ salariés. Parmi eux, $150$ sont cadres.

On obtient $P_T(C)=\dfrac{150}{250}=0{,}6$.

Question 3 : cette fois la condition est « être cadre », donc la population de référence est la ligne « Cadres » de $200$ salariés, dont $150$ télétravaillent : $P_C(T)=\dfrac{150}{200}=0{,}75$.

La différence vient du dénominateur : $250$ dans un cas, $200$ dans l'autre, alors que le numérateur $150$ est le même.

Garçons : $\dfrac{72}{180}=0{,}40$, soit $40\,\%$.

Filles : $\dfrac{99}{220}=0{,}45$, soit $45\,\%$.

L'écart est $45\,\%-40\,\%=5$ points de pourcentage.

Comparer les effectifs bruts ($72$ contre $99$) serait trompeur, car il y a plus de filles que de garçons dans l'échantillon : seules les fréquences conditionnelles sont comparables.

Pour la question 3, les résultats décrivent cet échantillon de $400$ élèves. Un écart de $5$ points est modeste, et on ne peut pas affirmer qu'il se retrouve dans toute la population sans outils supplémentaires.

Chez les filles, la fréquence conditionnelle des « oui » est $\dfrac{90}{150}=0{,}6$.

Chez les garçons, elle vaut $\dfrac{x}{200}$ : le dénominateur est le total de la ligne des garçons.

On résout l'équation $\dfrac{x}{200}=0{,}6$, ce qui donne $x=0{,}6\times 200=120$.

On vérifie : $120$ garçons répondent oui et $80$ répondent non, ce qui fait bien $200$.

Machine A : $0{,}6\times 10\,000=6\,000$ pièces. Machine B : $4\,000$ pièces.

Défectueuses de A : $2\,\%$ de $6\,000$, soit $120$. Défectueuses de B : $5\,\%$ de $4\,000$, soit $200$.

Pièces conformes : $6\,000-120=5\,880$ pour A ; $4\,000-200=3\,800$ pour B. Total des défectueuses : $120+200=320$.

Le tableau est donc : A : $120$ défectueuses, $5\,880$ conformes, total $6\,000$ ; B : $200$ défectueuses, $3\,800$ conformes, total $4\,000$ ; total général $320$ défectueuses, $9\,680$ conformes, $10\,000$.

Question 2 : la population de référence est la colonne des pièces défectueuses, soit $320$ pièces, dont $120$ viennent de A : $\dfrac{120}{320}=0{,}375$.

Question 3 : non. La machine A produit $60\,\%$ des pièces, mais seulement $37{,}5\,\%$ des pièces défectueuses, car son taux de défauts est plus faible que celui de B.

Malades : $90$ positifs et $100-90=10$ négatifs. Non-malades : $114$ positifs et $1\,900-114=1\,786$ négatifs.

Totaux de colonnes : tests positifs $90+114=204$ ; tests négatifs $10+1\,786=1\,796$ ; contrôle $204+1\,796=2\,000$.

Question 2 : population de référence = les $100$ malades ; $\dfrac{90}{100}=0{,}9$.

Question 3 : population de référence = les $204$ tests positifs ; $\dfrac{90}{204}\approx 0{,}4412$.

Question 4 : les deux fréquences n'ont pas la même population de référence. Les malades sont rares ($5\,\%$ de l'échantillon), donc même un petit taux de tests positifs chez les non-malades produit beaucoup de positifs au total, parmi lesquels les vrais malades ne sont qu'une partie.