Quantificateurs : exercices corrigés de Seconde

Phrase 1 : le mot « tout » donne $\forall$ ; on écrit $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geq 0$. Elle est vraie, car un carré n'est jamais négatif.

Phrase 2 : « il existe » donne $\exists$ ; on écrit $\exists n \in \mathbb{N},\ 2n = 10$. Elle est vraie : $n = 5$ convient, car $2 \times 5 = 10$.

Phrase 3 : on écrit $\forall x \in \mathbb{R},\ x < x^2 + 1$. Pour la tester, on étudie $x^2 + 1 - x$. On peut vérifier, en développant, que $x^2 - x + 1 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}$ ; cette quantité vaut toujours au moins $\frac{3}{4}$, elle est donc strictement positive. L'énoncé est vrai.

Question 1 : on cherche un contre-exemple. On prend $x = -3$ : $f(-3) = 2 \times (-3) + 5 = -6 + 5 = -1$.

Comme $-1$ n'est pas strictement positif, l'énoncé « pour tout $x$, $f(x) > 0$ » est faux. Un seul contre-exemple suffit.

Question 2 : on résout $2x + 5 = 0$, ce qui donne $x = -\frac{5}{2}$. Ce nombre est réel et vérifie $f\left(-\frac{5}{2}\right) = 0$ : l'énoncé est vrai.

Il existe donc bien un réel dont l'image est nulle (et c'est le seul).

On factorise : $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$. On vérifie : $(x-2)(x-3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$.

Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul : $x = 2$ ou $x = 3$. Il suffit d'un seul nombre pour prouver l'existence, par exemple $x = 2$ : $2^2 - 5 \times 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$. L'énoncé de la question 1 est vrai.

L'équation a deux solutions réelles : 2 et 3.

L'unicité demande qu'il n'y ait qu'une seule solution. Or il y en a deux, donc l'énoncé avec $\exists !$ est faux.

Énoncé 1 : la négation est $\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 \leq x$. Pour décider, on cherche un nombre qui convient : $x = 0$ donne $0 \leq 0$, c'est vrai. La négation est vraie, donc l'énoncé 1 est faux.

Énoncé 2 : la négation est $\forall n \in \mathbb{N},\ n^2 \neq 7$. Les carrés d'entiers sont 0, 1, 4, 9, 16… et 7 n'est pas parmi eux (on passe de 4 à 9). La négation est vraie, donc l'énoncé 2 est faux.

Énoncé 3 : la négation est $\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 < 0$. Un carré réel n'est jamais négatif, donc la négation est fausse et l'énoncé 3 est vrai.

Traduction de (A) : « quel que soit le réel $x$, il existe un réel plus grand que $x$ ». Traduction de (B) : « il existe un réel qui est plus grand que tous les réels ».

Pour (A), on choisit $y$ en fonction de $x$ : avec $x = 7$, on prend $y = 7 + 1 = 8$, et on a bien $8 > 7$.

Pour un $x$ quelconque, $y = x + 1$ convient toujours, car $x + 1 > x$. L'énoncé (A) est vrai.

Pour (B), supposons qu'un tel $y$ existe. Prenons $x = y$ : l'inégalité demande $y > y$, ce qui est impossible. Aucun $y$ ne convient, donc (B) est faux.

Énoncé 1 : $3x - 12 = 0$ équivaut à $3x = 12$, donc $x = 4$. Il y a une solution, et elle est unique car l'équation est du premier degré. L'énoncé est vrai.

Énoncé 2 : $x^2 = 4$ a pour solutions $x = 2$ et $x = -2$. Il y a existence, mais pas unicité : l'énoncé est faux.

Énoncé 3 : un carré réel n'est jamais négatif, donc $x^2 = -1$ n'a aucune solution réelle. Sans existence, il ne peut pas y avoir existence et unicité : l'énoncé est faux.