Mathématiques · Terminale technologiqueBac

Les courbes de Bézier : cours de Terminale STD2A

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une courbe de Bézier est définie par des points de contrôle $P_0, \dots, P_n$ et un paramètre $t$ qui parcourt $[0\,;1]$ ³.
Degré 2 : $P(t)=(1-t)^2P_0+2(1-t)tP_1+t^2P_2$ . Degré 3 : quatre points, coefficients $(1-t)^3$ , $3(1-t)^2t$ , $3(1-t)t^2$ , $t^3$ ³.
À chaque valeur de $t$ , le point est un barycentre des points de contrôle : les coefficients sont positifs et leur somme vaut 1.
La courbe démarre en $P_0$ ( $t=0$ ) et finit au dernier point de contrôle ( $t=1$ ). Elle est infiniment dérivable ³ et devient un segment quand tous les points de contrôle sont alignés ³.
En design, on assemble des morceaux cubiques avec une continuité $C^1$ ² ; les poignées de contrôle des logiciels de dessin ont été inventées par Pierre Bézier ⁴.

À quoi servent les courbes de Bézier ?

Quand tu dessines une lettre, un logo ou la silhouette d'un objet dans un logiciel de dessin vectoriel, tu manipules des points et des petites poignées. Derrière ces gestes se cache un objet mathématique précis : la courbe de Bézier. Dans ce cours, tu apprends à la définir, à calculer ses points à la main et à comprendre pourquoi elle est si pratique en design.

Tu as déjà travaillé la géométrie dans l'espace et les coordonnées de points. Ici, on reste dans le plan : un point se repère par un couple $(x\,;y)$ , et on va combiner plusieurs points avec des coefficients.

Ces courbes sont polynomiales et paramétriques : leurs coordonnées s'expriment avec des polynômes en une variable $t$ ³. Elles ont été imaginées pour dessiner des pièces de carrosserie automobile ³. Paul de Casteljau les a conçues en 1959 chez Citroën, puis Pierre Bézier est arrivé au même résultat de son côté en 1962 chez Renault ³. Les travaux de Casteljau étaient confidentiels : c'est donc le nom de Bézier qui est resté ³.

Aujourd'hui, on les rencontre dans la synthèse d'images et dans le rendu des polices de caractères ³. Le programme de design (STD2A) les utilise parce qu'elles permettent de tracer des courbes lisses avec très peu d'informations : quelques points suffisent à décrire une forme entière.

Avant Bézier, il existait des courbes d'ajustement appelées splines. Leur défaut : leur aspect changeait quand on tournait le repère, ce qui les rendait inutilisables en conception assistée par ordinateur ³. Bézier a choisi une approche géométrique fondée sur le barycentre, si bien qu'aucun repère n'intervient dans la définition ³. La forme dessinée ne dépend donc pas de la position de la feuille ou de l'écran.

Points de contrôle et paramètre

Le paramètre $t$ joue le rôle d'un curseur. Pour $t=0$ , tu es au début du tracé. Pour $t=1$ , tu es à la fin. Pour $t=0{,}5$ , tu es « au milieu » du parcours, au sens du paramètre (pas forcément au milieu de la longueur de la courbe).

La courbe est obtenue en mélangeant les points de contrôle. Chaque point $P_i$ reçoit un coefficient qui dépend de $t$ . Dans la notation générale, ces coefficients s'écrivent $B_{i,n}(t)$ et la courbe est la somme des $B_{i,n}(t)\,P_i$ ². Pour les degrés 2 et 3, on écrit ces coefficients explicitement, ce qui évite d'utiliser la notation générale.

Courbe de Bézier

Points de contrôle
- P0 à Pn
- Polygone
- Début et fin
Paramètre t
- Intervalle [0 ; 1]
- Curseur
Degré
- Degré 2
- Degré 3
- n+1 points
Propriétés
- Lisse
- Segment si aligné
- Barycentre

Vocabulaire d'une courbe de Bézier · Les mots clés à connaître pour lire et construire une courbe de Bézier.

La courbe de degré 2

Cette écriture est vectorielle : elle s'applique à chaque coordonnée. Si $P_i=(x_i\,;y_i)$ , alors

$x(t)=(1-t)^2x_0+2(1-t)t\,x_1+t^2x_2$

et la même formule donne $y(t)$ avec les ordonnées.

Démonstration · Pourquoi la somme vaut 1

On développe le carré de $(1-t)+t$ :

$\big((1-t)+t\big)^2=(1-t)^2+2(1-t)t+t^2.$

Or $(1-t)+t=1$ , donc le membre de gauche vaut $1^2=1$ . La somme des trois coefficients est donc égale à 1. Les trois termes sont positifs car $t$ et $1-t$ sont positifs sur $[0\,;1]$ .

ExempleUn arc de parabole

Prenons $P_0=(0\,;0)$ , $P_1=(2\,;4)$ , $P_2=(4\,;0)$ .

Pour les abscisses : $x(t)=2(1-t)t\times 2+t^2\times 4=4t-4t^2+4t^2=4t$ .

Pour les ordonnées : $y(t)=2(1-t)t\times 4=8t(1-t)$ .

Pour $t=\tfrac12$ , les coefficients valent $\tfrac14$ , $\tfrac12$ , $\tfrac14$ . On obtient

$x=\tfrac14\times0+\tfrac12\times2+\tfrac14\times4=2,\qquad y=\tfrac14\times0+\tfrac12\times4+\tfrac14\times0=2.$

Le point est $(2\,;2)$ . Comme $x=4t$ , on a $t=\tfrac x4$ , donc $y=8\cdot\tfrac x4\left(1-\tfrac x4\right)=2x-\tfrac{x^2}{2}$ : cette courbe est un arc de parabole.

Points de la courbe de degré 2 de l'exemple
t	x(t)	y(t)
0	0	0
0,25	1	1,5
0,5	2	2
0,75	3	1,5
1	4	0

Points de la courbe de degré 2 de l'exemple · Points de contrôle (0 ; 0), (2 ; 4), (4 ; 0).

La courbe de degré 3 (cubique)

La cubique est la plus utilisée en pratique. Avec quatre points, tu peux dessiner une courbe qui change de sens de courbure (une forme en « S »), ce que le degré 2 ne permet pas. Pour dessiner une forme longue, on met plusieurs cubiques bout à bout : un cours universitaire sur ces courbes conseille de se placer dans le cas $n=3$ et de relier les morceaux ².

Démonstration · Les coefficients du degré 3 : somme égale à 1

On développe le cube de $(1-t)+t$ :

$1=\big((1-t)+t\big)^3=(1-t)^3+3(1-t)^2t+3(1-t)t^2+t^3.$

Les quatre termes sont les coefficients de la formule. Leur somme vaut 1, et chacun est positif sur $[0\,;1]$ .

ExempleUne cubique symétrique

Prenons $P_0=(0\,;0)$ , $P_1=(0\,;4)$ , $P_2=(4\,;4)$ , $P_3=(4\,;0)$ .

Pour $t=\tfrac12$ . Les coefficients valent $\tfrac18$ , $\tfrac38$ , $\tfrac38$ , $\tfrac18$ .

$x=\tfrac38\times4+\tfrac18\times4=2,\qquad y=\tfrac38\times4+\tfrac38\times4=3.$

Le point est $(2\,;3)$ .

Pour $t=\tfrac14$ . Les coefficients valent $\tfrac{27}{64}$ , $\tfrac{27}{64}$ , $\tfrac{9}{64}$ , $\tfrac1{64}$ (leur somme fait bien $\tfrac{64}{64}=1$ ).

$x=\tfrac{9+1}{64}\times4=0{,}625,\qquad y=\tfrac{27+9}{64}\times4=2{,}25.$

Le point est $(0{,}625\,;2{,}25)$ . Par symétrie par rapport à la droite $x=2$ , le point pour $t=\tfrac34$ est $(3{,}375\,;2{,}25)$ .

Points de la cubique de l'exemple
t	x(t)	y(t)
0	0	0
0,25	0,625	2,25
0,5	2	3
0,75	3,375	2,25
1	4	0

Points de la cubique de l'exemple · Points de contrôle (0 ; 0), (0 ; 4), (4 ; 4), (4 ; 0).

Propriétés à connaître

Démonstration · Pourquoi la courbe passe par $P_0$ et $P_3$ (degré 3)

Pour $t=0$ : $(1-t)^3=1$ et les trois autres coefficients contiennent le facteur $t$ , donc ils valent 0. On obtient $P(0)=P_0$ .

Pour $t=1$ : $(1-t)=0$ , donc les trois premiers coefficients sont nuls, et $t^3=1$ . On obtient $P(1)=P_3$ .

Le même raisonnement vaut pour le degré 2 avec $P_0$ et $P_2$ .

Méthode : calculer un point de la courbe

DegréNombre de points de contrôle moins un.
CoefficientsRemplacer t et vérifier que la somme vaut 1.
CoordonnéesCalculer x puis y avec les mêmes coefficients.
ContrôleLe point est proche du polygone de contrôle.

Calculer un point de la courbe

ExempleExemple rédigé (degré 2, $t=\tfrac14$)

Points de contrôle : $P_0=(1\,;2)$ , $P_1=(5\,;10)$ , $P_2=(9\,;2)$ .

Étape 1. Trois points : degré 2.

Étape 2. Pour $t=\tfrac14$ : $(1-t)^2=\tfrac{9}{16}$ , $2(1-t)t=2\times\tfrac34\times\tfrac14=\tfrac{6}{16}$ , $t^2=\tfrac1{16}$ .

Étape 3. $\tfrac{9}{16}+\tfrac{6}{16}+\tfrac{1}{16}=1$ : les coefficients sont corrects.

Étape 4. $x=\tfrac{9}{16}\times1+\tfrac{6}{16}\times5+\tfrac1{16}\times9=\tfrac{9+30+9}{16}=3$ .

Étape 5. $y=\tfrac{9}{16}\times2+\tfrac{6}{16}\times10+\tfrac1{16}\times2=\tfrac{18+60+2}{16}=5$ .

Le point est $P(\tfrac14)=(3\,;5)$ . Il est plus proche de $P_0$ que de $P_2$ , ce qui est logique car $t$ est petit.

Raccorder des courbes : l'usage en design

Un seul morceau de Bézier ne suffit pas pour dessiner un contour complexe, comme une lettre ou la carrosserie d'une voiture. On enchaîne donc plusieurs cubiques. Pour que le contour reste lisse à l'endroit du raccord, il faut garantir une continuité $C^1$ entre deux morceaux consécutifs ². Cela veut dire qu'il n'y a ni cassure ni changement brutal de direction à la jonction.

C'est exactement ce que cherche un graphiste quand il règle son tracé : un contour qui paraît d'un seul geste.

Les logiciels de dessin proposent des poignées de contrôle : en les déplaçant, tu modifies la courbe en direct. Cette idée vient de Pierre Bézier, un ingénieur français (1910-1999) ⁴. Il voulait une interface simple, utilisable par tout le monde pour travailler les formes ⁴. Les poignées de ce type restent employées de nos jours ⁴.

Plus tard, John Warnock a réutilisé les travaux de Bézier pour décrire les courbes et les polices de caractères dans le langage de description de pages PostScript. Il a fondé la société Adobe en 1982 pour le diffuser ⁴. Les contours des lettres que tu lis à l'écran sont donc, très souvent, des morceaux de courbes de Bézier. L'informaticien Donald Knuth a de son côté défini des contours de caractères avec son logiciel Metafont, où un point peut être l'intersection d'un segment et d'une courbe de Bézier ⁴.

Récapitulatif et méthode d'examen

Bézier : savoir-faire

Écrire
- Formule degré 2
- Formule degré 3
Calculer
- Coefficients
- Coordonnées
- Contrôle
Reconnaître
- Segment
- Début et fin
Raccorder
- Cubiques
- Continuité C1

Ce qu'il faut savoir faire

Exercices corrigés

Exercice 1 Un point d'une courbe de degré 2

★☆☆Environ 8 min

Une courbe de Bézier de degré 2 a pour points de contrôle $P_0=(1\,;2)$ , $P_1=(5\,;10)$ et $P_2=(9\,;2)$ (unités : cm). Calcule les coordonnées du point $P(t)$ pour $t=\tfrac14$ et donne l'ordonnée de ce point.

Indice 1

Écris d'abord les trois coefficients pour $t=\tfrac14$ et contrôle que leur somme vaut 1.

Indice 2

Calcule l'abscisse et l'ordonnée séparément avec les mêmes coefficients.

Voir la correction pas à pas

Le degré est 2, donc $P(t)=(1-t)^2P_0+2(1-t)tP_1+t^2P_2$ .
Pour $t=\tfrac14$ : $(1-t)^2=\tfrac{9}{16}$ , $2(1-t)t=\tfrac{6}{16}$ et $t^2=\tfrac{1}{16}$ . Somme : $\tfrac{16}{16}=1$ .
Abscisse : $x=\tfrac{9}{16}\times1+\tfrac{6}{16}\times5+\tfrac{1}{16}\times9=\tfrac{48}{16}=3$ cm.
Ordonnée : $y=\tfrac{9}{16}\times2+\tfrac{6}{16}\times10+\tfrac{1}{16}\times2=\tfrac{80}{16}=5$ cm.
Le point est $P(\tfrac14)=(3\,;5)$ : son ordonnée vaut 5 cm.

Le point obtenu est $(3\,;5)$ . Il se trouve dans la zone délimitée par le polygone de contrôle, plus près de $P_0$ que de $P_2$ , ce qui est cohérent avec un petit $t$ .

Exercice 2 Le milieu d'une cubique

★★☆Environ 10 min

Une courbe de Bézier de degré 3 a pour points de contrôle $P_0=(0\,;0)$ , $P_1=(2\,;8)$ , $P_2=(6\,;8)$ et $P_3=(8\,;0)$ (unités : cm). Calcule le point obtenu pour $t=\tfrac12$ et donne son ordonnée.

Indice 1

Pour $t=\tfrac12$ , les quatre coefficients valent $\tfrac18$ , $\tfrac38$ , $\tfrac38$ , $\tfrac18$ .

Indice 2

Les points $P_0$ et $P_3$ ont une ordonnée nulle : ils ne contribuent pas à l'ordonnée.

Voir la correction pas à pas

Pour $t=\tfrac12$ : $(1-t)^3=\tfrac18$ , $3(1-t)^2t=\tfrac38$ , $3(1-t)t^2=\tfrac38$ , $t^3=\tfrac18$ . Somme : $\tfrac{8}{8}=1$ .
Abscisse : $x=\tfrac18\times0+\tfrac38\times2+\tfrac38\times6+\tfrac18\times8=\tfrac{0+6+18+8}{8}=4$ cm.
Ordonnée : $y=\tfrac18\times0+\tfrac38\times8+\tfrac38\times8+\tfrac18\times0=\tfrac{24+24}{8}=6$ cm.
Le point est $P(\tfrac12)=(4\,;6)$ : son ordonnée vaut 6 cm.
Vérification : la figure est symétrique par rapport à la droite $x=4$ , et le milieu de la courbe est bien sur cet axe.

Le milieu de la courbe est $(4\,;6)$ . La courbe reste sous les points $P_1$ et $P_2$ situés à la hauteur 8 : elle est attirée par eux sans les atteindre.

Exercice 3 Reconnaître un segment

★★★Environ 12 min

On considère $A=(0\,;0)$ , $B=(2\,;1)$ et $C=(4\,;3)$ , puis $A'=(0\,;0)$ , $B'=(2\,;1)$ et $C'=(4\,;2)$ .

Pour chacune des deux listes, la courbe de Bézier de degré 2 est-elle un segment ?
Pour la liste qui donne un segment, calcule le point pour $t=\tfrac12$ .

Indice 1

Utilise le critère d'alignement des points de contrôle : compare deux coefficients directeurs.

Indice 2

Pour le calcul, les coefficients du degré 2 à $t=\tfrac12$ sont $\tfrac14$ , $\tfrac12$ , $\tfrac14$ .

Voir la correction pas à pas

Liste $A, B, C$ : coefficient directeur de $(AB)$ égal à $\tfrac12$ , celui de $(BC)$ égal à $\tfrac{3-1}{4-2}=1$ . Ils sont différents : les points ne sont pas alignés, la courbe n'est pas un segment.
Liste $A', B', C'$ : coefficient directeur de $(A'B')$ égal à $\tfrac12$ , celui de $(B'C')$ égal à $\tfrac{2-1}{4-2}=\tfrac12$ . Les points sont alignés, donc la courbe est un segment.
Pour $t=\tfrac12$ avec $A', B', C'$ : $x=\tfrac14\times0+\tfrac12\times2+\tfrac14\times4=2$ .
Ordonnée : $y=\tfrac14\times0+\tfrac12\times1+\tfrac14\times2=1$ .
Le point est $(2\,;1)$ , qui est bien sur la droite $y=\tfrac12x$ passant par les trois points.

Seule la liste $A', B', C'$ donne un segment, puisque ses points sont alignés. Le point du milieu est $(2\,;1)$ , qui est ici le point de contrôle $B'$ .

Les questions qu'on se pose

Pourquoi la courbe de Bézier ne passe-t-elle pas par tous les points de contrôle ?

Parce que ces points servent à commander la forme, pas à la traverser. À chaque valeur de $t$ , le point de la courbe est un barycentre de tous les points de contrôle, avec des coefficients positifs de somme 1. Les points intermédiaires l'attirent sans qu'elle y passe en général (elle peut seulement les traverser dans certains cas où tout est aligné). Seules les extrémités sont atteintes, pour $t=0$ et $t=1$ .

À quoi servent les courbes de Bézier dans la vie courante ?

Elles servent à concevoir des carrosseries d'automobiles, à dessiner des polices de caractères et à produire des images de synthèse ³. Dans un logiciel de dessin, les poignées que tu déplaces pour courber un trait reposent sur ce principe ⁴.

Comment vérifier rapidement mes coefficients avant de calculer un point ?

Additionne-les : la somme doit valoir 1 pour toute valeur de $t$ de $[0\,;1]$ . Pour le degré 2, à $t=\tfrac14$ , tu dois trouver $\tfrac{9}{16}+\tfrac{6}{16}+\tfrac{1}{16}=1$ . Si le total est différent, une puissance ou un facteur (le 2 ou le 3) est mal recopié.

Quelle différence entre le degré 2 et le degré 3 ?

Le degré 2 utilise trois points de contrôle et donne un arc simple, sans changement de courbure. Le degré 3 en utilise quatre : on peut alors dessiner une forme en « S ». Les formules des deux cas sont à connaître ³. En pratique, pour une forme longue, on raccorde plusieurs cubiques avec une continuité $C^1$ ².

Que signifie le paramètre $t$ et pourquoi varie-t-il entre 0 et 1 ?

Le paramètre $t$ est un curseur qui fait avancer le point le long de la courbe. On le prend dans l'intervalle $[0\,;1]$ ³ : pour $t=0$ on est au départ, pour $t=1$ à l'arrivée. Avec ces valeurs, les coefficients restent positifs, ce qui garantit que le point est un vrai barycentre des points de contrôle.

Sources

Transdisciplinarité STD2A - Ressources pédagogiques géométrie et design, Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
Courbes de Bézier - Option agrégation C, CNRS. Consulté le 11 novembre 2026.
Courbe de Bézier, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
Pierre Bézier, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

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L'essentiel

À quoi servent les courbes de Bézier ?

Points de contrôle et paramètre

La courbe de degré 2

La courbe de degré 3 (cubique)

Propriétés à connaître

Méthode : calculer un point de la courbe

Raccorder des courbes : l'usage en design

Récapitulatif et méthode d'examen

Exercices corrigés

Exercice 1 Un point d'une courbe de degré 2

Exercice 2 Le milieu d'une cubique

Exercice 3 Reconnaître un segment

Quiz

Les questions qu'on se pose

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