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Courbes de Bézier : exercices corrigés de Terminale STD2A

Publié le 12 novembre 2026 · Mis à jour le 12 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une courbe de Bézier est définie par des points de contrôle et un paramètre $t$ qui varie de 0 à 1 ³.
Degré 2 : $P(t)=(1-t)^2P_0+2(1-t)tP_1+t^2P_2$ ; degré 3 : quatre points et les coefficients $(1-t)^3$ , $3(1-t)^2t$ , $3(1-t)t^2$ , $t^3$ ³.
Pour calculer un point, évalue les coefficients, vérifie que leur somme vaut 1, puis combine les coordonnées.
Si tous les points de contrôle sont alignés, la courbe est un segment ³.
Pour raccorder deux arcs cubiques sans cassure (continuité $C^1$ ), le point de jonction doit être le milieu du segment qui relie le point de contrôle qui le précède à celui qui le suit ².

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices te font manipuler les courbes de Bézier, un outil très présent en conception graphique : on dessine une forme en déplaçant quelques points plutôt qu'en calculant chaque point de la courbe. Les difficultés augmentent peu à peu. Cherche d'abord seul·e, avec un brouillon et une calculatrice, puis ouvre les indices, et seulement ensuite la correction pas à pas.

Deux réflexes t'aideront dans tous les exercices. D'abord, la somme des coefficients vaut toujours 1 quand $t$ est dans $[0\,;1]$ : si ton total est différent, une multiplication est fausse. Ensuite, dès que $t$ est proche de 0, le résultat est proche de $P_0$ ; dès que $t$ est proche de 1, il est proche du dernier point. Garde ces deux vérifications en tête avant de recopier une réponse.

Les exercices

Exercice 1 Un point d'une courbe de degré 2

★☆☆Environ 8 min

Dans un repère orthonormé, une courbe de Bézier de degré 2 a pour points de contrôle $P_0(0\,;0)$ , $P_1(2\,;4)$ et $P_2(4\,;0)$ .

Calcule l'ordonnée du point $P\left(\tfrac12\right)$ .

Indice 1

Pour $t=\tfrac12$ , calcule d'abord les trois coefficients $(1-t)^2$ , $2(1-t)t$ et $t^2$ .

Indice 2

Les ordonnées de $P_0$ et $P_2$ sont nulles : seul $P_1$ compte pour l'ordonnée.

Voir la correction pas à pas

On remplace $t$ par $\tfrac12$ : $(1-t)^2=\tfrac14$ , $2(1-t)t=\tfrac12$ et $t^2=\tfrac14$ .
On vérifie la somme : $\tfrac14+\tfrac12+\tfrac14=1$ . Le contrôle est bon.
Pour l'ordonnée : $y=\tfrac14\times0+\tfrac12\times4+\tfrac14\times0=2$ .
Pour l'abscisse, on obtient de même $x=\tfrac14\times0+\tfrac12\times2+\tfrac14\times4=2$ , donc $P\left(\tfrac12\right)(2\,;2)$ : l'ordonnée cherchée est 2.

Le point obtenu, $(2\,;2)$ , est situé sous le sommet $P_1(2\,;4)$ : la courbe est tirée vers $P_1$ sans l'atteindre.

Exercice 2 Un coefficient inégal

★☆☆Environ 8 min

Une courbe de Bézier de degré 2 a pour points de contrôle $P_0(1\,;1)$ , $P_1(3\,;5)$ et $P_2(7\,;1)$ .

Calcule l'abscisse du point obtenu pour $t=0{,}25$ .

Indice 1

Ici $1-t=0{,}75$ .

Indice 2

Les coefficients valent $0{,}75^2$ , $2\times0{,}75\times0{,}25$ et $0{,}25^2$ .

Voir la correction pas à pas

On calcule $(1-t)^2=0{,}75^2=0{,}5625$ , soit $\tfrac9{16}$ .
On calcule $2(1-t)t=2\times0{,}75\times0{,}25=0{,}375$ , soit $\tfrac38$ .
On calcule $t^2=0{,}0625$ , soit $\tfrac1{16}$ . Somme : $0{,}5625+0{,}375+0{,}0625=1$ .
Abscisse : $x=\tfrac9{16}\times1+\tfrac38\times3+\tfrac1{16}\times7=\tfrac{9+18+7}{16}=\tfrac{34}{16}=2{,}125$ .

Pour $t$ petit, le point reste proche de $P_0$ : l'abscisse $2{,}125$ est plus proche de 1 que de 7.

Exercice 3 Poids d'un point de contrôle en degré 3

★☆☆Environ 6 min

Pour une courbe de Bézier de degré 3, on considère la valeur $t=0{,}3$ .

Calcule le coefficient qui multiplie $P_1$ , c'est-à-dire $3(1-t)^2t$ .

Indice 1

Commence par $1-t=0{,}7$ .

Indice 2

Calcule $0{,}7^2$ , puis multiplie par 3 et par $0{,}3$ .

Voir la correction pas à pas

On calcule $1-t=1-0{,}3=0{,}7$ .
On élève au carré : $0{,}7^2=0{,}49$ .
On multiplie : $3\times0{,}49\times0{,}3=0{,}441$ .

Le coefficient de $P_1$ vaut $0{,}441$ . Pour comparaison, celui de $P_0$ est $0{,}7^3=0{,}343$ : à $t=0{,}3$ , $P_1$ pèse donc davantage que $P_0$ dans la position du point.

Exercice 4 Un arc cubique symétrique

★★☆Environ 12 min

Une courbe de Bézier de degré 3 a pour points de contrôle $P_0(0\,;0)$ , $P_1(0\,;8)$ , $P_2(8\,;8)$ et $P_3(8\,;0)$ .

Calcule l'ordonnée du point $P\left(\tfrac12\right)$ .

Indice 1

Pour $t=\tfrac12$ , les quatre coefficients valent $\tfrac18$ , $\tfrac38$ , $\tfrac38$ , $\tfrac18$ .

Indice 2

Les ordonnées de $P_0$ et $P_3$ sont nulles.

Voir la correction pas à pas

Avec $t=\tfrac12$ : $(1-t)^3=\tfrac18$ , $3(1-t)^2t=\tfrac38$ , $3(1-t)t^2=\tfrac38$ , $t^3=\tfrac18$ .
Somme : $\tfrac18+\tfrac38+\tfrac38+\tfrac18=1$ .
Ordonnée : $y=\tfrac18\times0+\tfrac38\times8+\tfrac38\times8+\tfrac18\times0=3+3=6$ .
Abscisse : $x=0+\tfrac38\times0+\tfrac38\times8+\tfrac18\times8=3+1=4$ . Le point est $(4\,;6)$ , sur l'axe de symétrie $x=4$ : c'est cohérent.

Les points de contrôle forment un carré ouvert de côté 8, mais l'arc n'atteint que la hauteur 6 : la courbe reste à l'intérieur de la ligne brisée.

Exercice 5 Vitesse de départ d'un arc de degré 2

★★☆Environ 14 min

Une courbe de Bézier de degré 2 a pour points de contrôle $P_0(1\,;2)$ , $P_1(4\,;6)$ et $P_2(9\,;3)$ . Le point $P(t)$ est dérivable en $t$ ; on admet que le vecteur dérivé est obtenu en dérivant chaque coordonnée.

Montre que $P'(0)=2\,\overrightarrow{P_0P_1}$ .
Calcule la norme de $P'(0)$ .

Indice 1

Écris $P(t)$ sous la forme $(1-2t+t^2)P_0+(2t-2t^2)P_1+t^2P_2$ avant de dériver.

Indice 2

$P'(0)$ ne garde que les termes constants après dérivation.

Voir la correction pas à pas

On développe : $P(t)=(1-2t+t^2)P_0+(2t-2t^2)P_1+t^2P_2$ .
On dérive : $P'(t)=(-2+2t)P_0+(2-4t)P_1+2tP_2$ .
En $t=0$ : $P'(0)=-2P_0+2P_1=2(P_1-P_0)=2\,\overrightarrow{P_0P_1}$ .
Ici $\overrightarrow{P_0P_1}(3\,;4)$ , donc $P'(0)(6\,;8)$ .
Norme : $\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$ .

Au départ, la courbe suit la direction du premier segment de la ligne brisée, $[P_0P_1]$ . C'est ce qui permet de régler la direction d'un tracé en déplaçant une poignée de contrôle.

Exercice 6 Quand la courbe devient un segment

★★☆Environ 10 min

Une courbe de Bézier de degré 2 a pour points de contrôle $P_0(0\,;1)$ , $P_1(2\,;m)$ et $P_2(6\,;4)$ .

Détermine la valeur de $m$ pour que la courbe soit un segment de droite.

Indice 1

Une courbe de Bézier est un segment exactement lorsque ses points de contrôle sont alignés.

Indice 2

Compare les coefficients directeurs des droites $(P_0P_1)$ et $(P_0P_2)$ .

Voir la correction pas à pas

La courbe est un segment si et seulement si $P_0$ , $P_1$ , $P_2$ sont alignés ³.
Coefficient directeur de $(P_0P_2)$ : $\dfrac{4-1}{6-0}=\dfrac12$ .
Coefficient directeur de $(P_0P_1)$ : $\dfrac{m-1}{2-0}=\dfrac{m-1}{2}$ .
L'alignement impose $\dfrac{m-1}{2}=\dfrac12$ , donc $m-1=1$ et $m=2$ .
Contrôle : $P_1(2\,;2)$ est bien sur la droite d'équation $y=\tfrac12x+1$ .

Pour $m=2$ , les trois points sont alignés et la courbe est le segment joignant $P_0$ à $P_2$ . Pour toute autre valeur de $m$ , la courbe est arrondie.

Exercice 7 Raccorder deux arcs cubiques

★★★Environ 18 min

Pour dessiner une forme, on relie deux courbes de Bézier cubiques, en garantissant une continuité de classe $C^1$ au point de jonction ². Le premier arc a pour points de contrôle $P_0$ , $P_1$ , $P_2(6\,;4)$ et $P_3(8\,;6)$ . Le second arc commence en $Q_0=P_3$ et a pour deuxième point de contrôle $Q_1$ . On suppose que les deux arcs sont parcourus avec $t\in[0\,;1]$ .

Montre que $P'(1)=3\,\overrightarrow{P_2P_3}$ pour le premier arc, et que $Q'(0)=3\,\overrightarrow{Q_0Q_1}$ pour le second.
Détermine les coordonnées de $Q_1$ pour que $P'(1)=Q'(0)$ .

Donne l'abscisse de $Q_1$ .

Indice 1

Dérive la formule de degré 3 et remplace $t$ par 1, puis par 0.

Indice 2

La condition $P'(1)=Q'(0)$ revient à $\overrightarrow{P_2P_3}=\overrightarrow{Q_0Q_1}$ avec $Q_0=P_3$ .

Voir la correction pas à pas

Pour un arc cubique : $P'(t)=3(1-t)^2(P_1-P_0)+6(1-t)t(P_2-P_1)+3t^2(P_3-P_2)$ .
En $t=1$ , seul le dernier terme reste : $P'(1)=3(P_3-P_2)=3\,\overrightarrow{P_2P_3}$ .
En $t=0$ , seul le premier terme reste : $Q'(0)=3(Q_1-Q_0)=3\,\overrightarrow{Q_0Q_1}$ .
La condition $P'(1)=Q'(0)$ donne $\overrightarrow{Q_0Q_1}=\overrightarrow{P_2P_3}$ .
Ici $\overrightarrow{P_2P_3}(2\,;2)$ et $Q_0=P_3(8\,;6)$ , donc $Q_1(8+2\,;6+2)=(10\,;8)$ .
Autrement dit, $P_3$ est le milieu de $[P_2Q_1]$ : l'abscisse de $Q_1$ est $2\times8-6=10$ .

Pour obtenir un raccord sans cassure, les points $P_2$ , $P_3=Q_0$ et $Q_1$ doivent être alignés, avec $P_3$ au milieu. C'est exactement la règle qu'appliquent les logiciels de dessin lorsqu'ils affichent deux poignées symétriques de part et d'autre d'un point d'ancrage.

Les questions qu'on se pose

À quoi servent les courbes de Bézier dans la vie réelle ?

Elles ont été conçues pour dessiner des pièces de carrosserie d'automobiles, par Paul de Casteljau en 1959 chez Citroën et indépendamment par Pierre Bézier en 1962 chez Renault ³. On les retrouve aujourd'hui dans la synthèse d'images et dans le dessin des polices de caractères ³. Pierre Bézier a aussi imaginé la poignée de contrôle, qui permet de déformer une courbe en déplaçant un point à l'écran ⁴.

Pourquoi la courbe ne passe-t-elle pas par tous les points de contrôle ?

Les points de contrôle jouent le rôle d'aimants : chacun tire la courbe vers lui, avec un poids qui dépend de $t$ . Les coefficients de la formule sont tous positifs sur $[0\,;1]$ et leur somme vaut 1, donc chaque point de la courbe est une moyenne pondérée des points de contrôle : il reste à l'intérieur de la zone qu'ils délimitent et, en général, ne passe que par le premier et le dernier. Dans les exercices, tu l'as vu avec $P\left(\tfrac12\right)=(2\,;2)$ , situé sous $P_1(2\,;4)$ .

Sources

Transdisciplinarité STD2A - Ressources pédagogiques géométrie et design, Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
Courbes de Bézier - Option agrégation C, CNRS. Consulté le 11 novembre 2026.
Courbe de Bézier, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
Pierre Bézier, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

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L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Les exercices

Exercice 1 Un point d'une courbe de degré 2

Exercice 2 Un coefficient inégal

Exercice 3 Poids d'un point de contrôle en degré 3

Exercice 4 Un arc cubique symétrique

Exercice 5 Vitesse de départ d'un arc de degré 2

Exercice 6 Quand la courbe devient un segment

Exercice 7 Raccorder deux arcs cubiques

Les questions qu'on se pose

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