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Somme de termes : cours de Terminale technologique

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une somme de termes est le résultat de l'addition de termes consécutifs d'une suite ; on la note avec le symbole $\Sigma$ (sigma majuscule).⁴
Le programme demande de calculer la somme des $n$ premiers termes d'une suite arithmétique ou géométrique.¹
Suite arithmétique : $S = n \times \dfrac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$ .
Suite géométrique de raison $q \neq 1$ : $S = \text{premier terme} \times \dfrac{1-q^{n}}{1-q}$ ; si $q=1$ , $S = n \times \text{premier terme}$ .
Avant tout calcul : compter correctement le nombre de termes et repérer le premier et le dernier terme.

Introduction : pourquoi additionner des termes ?

Tu connais déjà les suites arithmétiques et les suites géométriques. Tu sais calculer un terme de rang donné, par exemple le 15e terme d'une suite. Mais une question revient très souvent dans les problèmes concrets : combien cela fait-il au total ?

Quelques situations typiques :

un salaire qui augmente de la même somme chaque année : combien aura-t-on gagné en tout au bout de 10 ans ?
une épargne dans laquelle on verse chaque mois plus que le mois précédent ;
un stock qui diminue de 20 % chaque semaine : quelle quantité aura-t-on consommée en 8 semaines ?

Chaque fois, il faut additionner des termes consécutifs d'une suite. En terminale technologique, le programme te demande deux choses : repérer ce genre de situation, puis calculer la somme des $n$ premiers termes d'une suite arithmétique ou géométrique.¹

Faire 10 additions à la main, c'est possible. En faire 100 ou 1 000, c'est long et on se trompe facilement. Dans ce cours, tu vas voir comment obtenir la somme en un seul calcul, grâce à une formule que tu sauras aussi retrouver.

Qu'est-ce qu'une somme de termes ? La notation Σ

Écrire tous les termes devient vite pénible. Les mathématiciens utilisent donc un symbole abrégé : la lettre grecque sigma majuscule, $\Sigma$ . Le programme mentionne explicitement cette notation pour les sommes de termes de suites arithmétiques et géométriques.¹ Ce symbole est un sigma capital agrandi, qui sert de symbole de sommation.⁴

L'idée de Gauss : additionner de 1 à n

Avant la formule générale, regardons une méthode célèbre. Une légende raconte que le jeune Carl Friedrich Gauss, vers l'âge de sept ans, aurait calculé en un instant la somme des entiers de 1 à 100 alors que son maître pensait occuper la classe longtemps.⁴ L'anecdote est peut-être inventée, mais la méthode, elle, est tout à fait correcte.⁴

Voici l'idée. On associe le premier terme et le dernier, puis le deuxième et l'avant-dernier, et ainsi de suite :

$1 + 100 = 101$
$2 + 99 = 101$
$3 + 98 = 101$
…
$50 + 51 = 101$

On obtient 50 paires, toutes de somme 101. Le total vaut donc $50 \times 101 = 5\,050$ .⁴

Somme des n premiers termes d'une suite arithmétique

Prenons une suite arithmétique $(u_n)$ de raison $r$ . Dans une suite arithmétique, deux termes situés à égale distance des extrémités ont toujours la même somme que les deux extrémités. C'est ce qui rend la méthode de Gauss valable pour toutes les suites arithmétiques.

Démonstration · Démonstration de la formule

Notons $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{n-1}$ . En écrivant la somme à l'envers : $S = u_{n-1} + u_{n-2} + \dots + u_0$ .

Additionnons les deux écritures terme à terme : $2S = (u_0 + u_{n-1}) + (u_1 + u_{n-2}) + \dots + (u_{n-1} + u_0)$ .

Or, pour chaque $k$ , $u_k + u_{n-1-k} = u_0 + kr + u_0 + (n-1-k)r = 2u_0 + (n-1)r = u_0 + u_{n-1}$ .

Les $n$ parenthèses sont donc toutes égales à $u_0 + u_{n-1}$ et $2S = n(u_0 + u_{n-1})$ . On divise par 2 : on obtient la formule.

RaisonVérifier que la suite est arithmétique, noter r
Premier termeRepérer le premier terme de la somme
Nombre de termesCompter n avec soin
Dernier termePremier + (n-1) x r
Formulen x (premier + dernier) / 2

Calculer une somme arithmétique en 5 étapes · Méthode pour la somme des termes d'une suite arithmétique.

Somme des n premiers termes d'une suite géométrique

Pour une suite géométrique, les paires de Gauss ne fonctionnent plus : l'écart entre deux termes consécutifs n'est pas constant. Il faut une autre astuce, qui consiste à multiplier la somme par la raison puis à comparer.

Démonstration · Démonstration pour q différent de 1

On a $S = u_0 + u_0 q + u_0 q^2 + \dots + u_0 q^{n-1}$ .

En multipliant par $q$ : $qS = u_0 q + u_0 q^2 + \dots + u_0 q^{n-1} + u_0 q^{n}$ .

On soustrait : presque tous les termes se compensent, il reste $S - qS = u_0 - u_0 q^{n}$ , c'est-à-dire $S(1-q) = u_0(1 - q^{n})$ .

Comme $q \neq 1$ , on peut diviser par $1 - q$ et on obtient $S = u_0 \times \dfrac{1-q^{n}}{1-q}$ .

Reconnaître la situation et choisir la formule

Dans un problème, l'énoncé ne dit pas toujours « calculer la somme d'une suite ». C'est à toi de voir que l'on additionne des termes qui se suivent : le programme attend cette capacité de repérage.¹ Il attend aussi que tu retrouves la raison d'une suite arithmétique ou géométrique à partir d'une situation, et que tu exprimes son terme général en fonction de $n$ .²

Voici des indices de vocabulaire.

Dans l'énoncé	Type de suite	Formule à utiliser
« augmente de 50 € chaque mois », « on ajoute 3 chaque fois »	arithmétique	$n \times \dfrac{\text{premier}+\text{dernier}}{2}$
« augmente de 5 % », « diminue de 20 % », « double »	géométrique	$\text{premier} \times \dfrac{1-q^n}{1-q}$
« en tout », « au total », « cumulé »	une somme	à calculer après avoir identifié la suite

Résoudre une question inverse et éviter les pièges

Parfois, la somme est connue et on cherche le nombre de termes. Pour les suites arithmétiques, on obtient une équation que l'on sait résoudre.

Exercices corrigés

Exercice 1 Salaire sur dix ans

★☆☆Environ 6 min

Un employé gagne 1 800 € la première année. Son salaire annuel augmente ensuite de 60 € chaque année. Calcule le total gagné en 10 ans.

Indice 1

Quelle est la nature de la suite des salaires ?

Indice 2

Calcule d'abord le salaire de la 10e année.

Voir la correction pas à pas

La suite des salaires est arithmétique : premier terme 1 800, raison 60.
Il y a 10 termes. Le dernier est $1\,800 + 9 \times 60 = 2\,340$ .
On applique la formule : $S = 10 \times \dfrac{1\,800 + 2\,340}{2}$ .
$S = 10 \times 2\,070 = 20\,700$ .

L'employé gagne 20 700 € en 10 ans.

Exercice 2 Somme de multiplications par 3

★★☆Environ 6 min

Calcule la somme $2 + 6 + 18 + 54 + \dots$ des 8 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3.

Indice 1

Quelle est la raison ? Quel est le nombre de termes ?

Indice 2

Utilise la formule avec $q \neq 1$ .

Voir la correction pas à pas

La suite est géométrique : premier terme 2, raison $q = 3$ , $n = 8$ termes.
On applique : $S = 2 \times \dfrac{1 - 3^{8}}{1 - 3}$ .
$3^{8} = 6\,561$ , donc $S = 2 \times \dfrac{1 - 6\,561}{-2}$ .
$S = 2 \times 3\,280 = 6\,560$ .

La somme des 8 premiers termes vaut 6 560.

Exercice 3 Combien de termes ?

★★★Environ 8 min

Déterminer l'entier $n$ tel que $1 + 2 + 3 + \dots + n = 210$ .

Indice 1

Utilise la formule de la somme des entiers de 1 à $n$ .

Indice 2

Tu obtiens $n(n+1) = 420$ ; cherche deux entiers consécutifs de produit 420.

Voir la correction pas à pas

On écrit $\dfrac{n(n+1)}{2} = 210$ .
On en déduit $n(n+1) = 420$ .
On cherche deux entiers consécutifs dont le produit est 420 : $20 \times 21 = 420$ .
Donc $n = 20$ (l'autre solution de l'équation est négative et ne convient pas).

Il faut additionner les 20 premiers entiers : $\dfrac{20 \times 21}{2} = 210$ .

Exercice 4 Entraînement progressif

★★☆Environ 7 min

Une sportive court 3 km la première semaine, puis augmente sa distance hebdomadaire de 0,5 km chaque semaine. Quelle distance totale parcourt-elle en 8 semaines ?

Indice 1

Les distances forment une suite arithmétique.

Indice 2

Calcule la distance de la 8e semaine.

Voir la correction pas à pas

Suite arithmétique : premier terme 3, raison 0,5, $n = 8$ .
Dernier terme : $3 + 7 \times 0{,}5 = 6{,}5$ .
Somme : $S = 8 \times \dfrac{3 + 6{,}5}{2}$ .
$S = 8 \times 4{,}75 = 38$ .

Elle parcourt 38 km au total.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir quelle formule utiliser, arithmétique ou géométrique ?

Regarde comment on passe d'un terme au suivant. Si on ajoute toujours le même nombre, la suite est arithmétique. Si on multiplie toujours par le même nombre (un pourcentage, un doublement…), elle est géométrique. Vérifie sur les premiers termes avant de choisir.²

Faut-il apprendre les formules par cœur ?

Il vaut mieux les connaître, mais aussi savoir les retrouver. Pour la formule arithmétique, pense à la méthode de Gauss : on associe le premier et le dernier terme.⁴ Pour la formule géométrique, retiens l'astuce « $S - qS$ ». Cela permet de corriger une erreur de mémoire.

Comment compter le nombre de termes sans me tromper ?

Utilise la règle « dernier indice − premier indice + 1 ». De $u_0$ à $u_9$ , il y a $9 - 0 + 1 = 10$ termes. De $u_1$ à $u_{10}$ , il y en a aussi 10. En cas de doute, écris les premiers et derniers termes.

À quoi sert une somme de termes dans la vie courante ?

Elle permet de calculer des totaux : salaires cumulés, épargne, distances parcourues, stocks consommés. Le programme demande d'ailleurs de reconnaître ce type de situation et de calculer la somme des termes consécutifs.¹

Que se passe-t-il si la raison d'une suite géométrique vaut 1 ?

Tous les termes sont égaux au premier terme. La somme vaut simplement $n \times$ premier terme. La formule avec $1-q$ ne peut pas servir, car on diviserait par zéro.

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques de terminale technologique - Suites · Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse

Programme de mathématiques de terminale technologique - Suites, Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 11 novembre 2026.
Ressources d'accompagnement - Mathématiques Terminale technologique, Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
Ressources d'accompagnement - Enseignement des mathématiques, Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
Somme (arithmétique), Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

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Somme de termes : cours de Terminale technologique

L'essentiel

Introduction : pourquoi additionner des termes ?

Qu'est-ce qu'une somme de termes ? La notation Σ

L'idée de Gauss : additionner de 1 à n

Somme des n premiers termes d'une suite arithmétique

Somme des n premiers termes d'une suite géométrique

Reconnaître la situation et choisir la formule

Résoudre une question inverse et éviter les pièges

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Exercice 1 Salaire sur dix ans

Exercice 2 Somme de multiplications par 3

Exercice 3 Combien de termes ?

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