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Suites arithmétiques et géométriques : cours de Terminale techno

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une suite arithmétique passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$ : $u_{n+1}=u_n+r$ et $u_n=u_0+nr$ .
Une suite géométrique passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$ : $v_{n+1}=q\,v_n$ et $v_n=v_0\,q^n$ .
Une évolution de $t\,\%$ par période donne une suite géométrique de raison $q=1+\frac{t}{100}$ ; plusieurs évolutions successives se traduisent par un produit de coefficients.
Somme des $n$ premiers termes : arithmétique $n\times\frac{\text{premier}+\text{dernier}}{2}$ ; géométrique $\text{premier}\times\frac{1-q^n}{1-q}$ pour $q\neq1$ .
Pour reconnaître la nature d'une suite, calcule des différences successives, puis des quotients successifs.

Pour commencer : pourquoi des suites particulières ?

Une suite est une liste de nombres rangés dans un ordre précis : un premier terme, un deuxième, un troisième, et ainsi de suite. Le terme de rang $n$ se note $u_n$ . Quand tu observes un loyer qui augmente chaque année, un capital placé à la banque ou une population qui diminue, tu regardes en réalité une suite.

En Terminale technologique, deux familles de suites sont au programme : les suites arithmétiques et les suites géométriques. Le programme demande de savoir déterminer la raison d'une telle suite, d'exprimer son terme général en fonction de $n$ , de calculer la somme de ses premiers termes, et de reconnaître une situation concrète qui se modélise par une suite géométrique.¹ Il demande aussi de calculer le taux d'évolution équivalent à plusieurs évolutions successives.¹

Ce cours suit cet ordre : d'abord le vocabulaire, puis les deux familles, puis le lien avec les pourcentages, enfin les sommes. Chaque notion est suivie d'exemples rédigés et des erreurs que l'on rencontre le plus souvent.

Suites

Arithmétique
- On ajoute r
- u0 + n×r
- Points alignés
Géométrique
- On multiplie par q
- v0 × q^n
- Quotients constants
Pourcentages
- q = 1 + t/100
- Coefficients multipliés
- Taux global
Sommes
- n termes
- Moyenne × n
- v0 (1-q^n)/(1-q)

Les suites arithmétiques et géométriques · Vue d'ensemble du chapitre.

Vocabulaire et notations des suites

Il existe deux façons principales de décrire une suite.

Par une formule explicite : $u_n$ est donné directement en fonction de $n$ . Par exemple $u_n=3n+2$ donne $u_0=2$ , $u_1=5$ , $u_2=8$ . On peut calculer n'importe quel terme sans connaître les précédents.
Par une relation de récurrence : on donne le premier terme, puis une règle qui permet de passer d'un terme au suivant. Par exemple $u_0=2$ et $u_{n+1}=u_n+3$ . Pour trouver $u_{50}$ , il faudrait calculer tous les termes précédents, sauf si l'on trouve une formule explicite.

Les suites arithmétiques et géométriques sont intéressantes parce qu'elles possèdent à la fois une relation de récurrence très simple et une formule explicite qu'on sait toujours écrire. Le but du chapitre est précisément de passer de l'une à l'autre.

Les suites arithmétiques

Démonstration · Pourquoi $u_n=u_0+nr$ ?

On écrit les premiers termes :

$u_1=u_0+r$ , puis $u_2=u_1+r=u_0+2r$ , puis $u_3=u_2+r=u_0+3r$ .

À chaque étape on ajoute une fois de plus $r$ . Après $n$ étapes, on a donc ajouté $r$ exactement $n$ fois à $u_0$ , ce qui donne $u_n=u_0+nr$ . (Une démonstration complète utilise un raisonnement par récurrence, mais cette lecture par étapes suffit à comprendre le résultat.)

Les suites géométriques

Démonstration · Pourquoi $v_n=v_0q^n$ ?

On écrit : $v_1=q\,v_0$ , puis $v_2=q\,v_1=q^2v_0$ , puis $v_3=q\,v_2=q^3v_0$ .

À chaque étape on multiplie une fois de plus par $q$ . Après $n$ étapes, le facteur $q$ a été utilisé $n$ fois, donc $v_n=v_0\times q^n$ .

Suites géométriques et pourcentages d'évolution

C'est le lien le plus utile pour les situations concrètes. Les suites géométriques servent à étudier les phénomènes qui croissent ou décroissent d'un même pourcentage à intervalles réguliers, comme une population dont la taille double ou diminue de moitié à chaque période.² Le programme demande justement de reconnaître une situation contextualisée qui se modélise par une suite géométrique.¹

Somme des premiers termes

Le programme prévoit le calcul de la somme des $n$ premiers termes d'une suite arithmétique ou géométrique, avec la notation $\Sigma$ .¹ Pour une suite $(u_n)$ , on écrit

$S=u_0+u_1+\dots+u_{n-1}=\sum_{k=0}^{n-1}u_k.$

Cette somme contient bien $n$ termes : de $u_0$ à $u_{n-1}$ . Compter le nombre de termes avant d'appliquer une formule est un réflexe indispensable.

Démonstration · L'idée de Gauss

Écris la somme $S=u_0+u_1+\dots+u_{n-1}$ , puis la même somme dans l'ordre inverse, et additionne colonne par colonne :

$\begin{aligned} S&=u_0+u_1+\dots+u_{n-1}\\ S&=u_{n-1}+u_{n-2}+\dots+u_0 \end{aligned}$

Chaque colonne vaut $u_0+u_{n-1}$ (quand on avance d'un côté, on recule de $r$ de l'autre). Il y a $n$ colonnes, donc $2S=n\,(u_0+u_{n-1})$ et $S=n\times\frac{u_0+u_{n-1}}{2}$ .

Démonstration · D'où vient la formule ?

Multiplions la somme par $q$ :

$\begin{aligned} S&=v_0+v_0q+\dots+v_0q^{n-1}\\ qS&=v_0q+v_0q^2+\dots+v_0q^{n} \end{aligned}$

En soustrayant, presque tous les termes s'annulent : $S-qS=v_0-v_0q^n$ . On factorise : $S(1-q)=v_0(1-q^n)$ . Comme $q\neq1$ , on divise par $1-q$ et l'on obtient la formule.

Reconnaître, modéliser, éviter les pièges

À retenirTableau de comparaison

	Arithmétique	Géométrique
Passage au terme suivant	on ajoute $r$	on multiplie par $q$
Récurrence	$u_{n+1}=u_n+r$	$v_{n+1}=q\,v_n$
Terme général	$u_n=u_0+nr$	$v_n=v_0q^n$
Test	différences constantes	quotients constants
Situation type	ajout d'une quantité fixe	évolution en pourcentage constant

Exercices corrigés

Exercice 1 Un terme d'une suite arithmétique

★☆☆Environ 5 min

Une suite $(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_0=5$ et de raison $r=3$ . Calcule $u_{20}$ .

Indice 1

Utilise la formule $u_n=u_0+nr$ .

Voir la correction pas à pas

On identifie la nature : la suite est arithmétique, donc $u_n=u_0+nr$ .
On remplace : $u_{20}=5+20\times3$ .
On calcule la multiplication : $20\times3=60$ .
On additionne : $u_{20}=5+60=65$ .

Le terme de rang $20$ vaut $65$ .

Exercice 2 Un placement à intérêts composés

★★☆Environ 10 min

Un capital de $200$ euros augmente de $5\,\%$ chaque année. On note $C_n$ le capital après $n$ années, avec $C_0=200$ . Donne la nature de $(C_n)$ puis calcule $C_{10}$ , arrondi au centime.

Indice 1

Une hausse de $5\,\%$ multiplie par $1{,}05$ .

Indice 2

Écris $C_n=C_0\times q^n$ .

Voir la correction pas à pas

Une hausse de $5\,\%$ multiplie par $1+\frac{5}{100}=1{,}05$ à chaque année.
Chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par le même nombre : $(C_n)$ est géométrique de raison $q=1{,}05$ .
Son terme général est $C_n=200\times1{,}05^n$ .
On calcule $1{,}05^{10}\approx1{,}62889$ .
Donc $C_{10}\approx200\times1{,}62889\approx325{,}78$ .

Après $10$ ans, le capital vaut environ $325{,}78$ euros.

Exercice 3 Somme de termes arithmétiques

★★☆Environ 8 min

Une suite arithmétique a pour premier terme $u_0=4$ et pour raison $2$ . Calcule la somme $S=u_0+u_1+\dots+u_9$ .

Indice 1

Compte d'abord le nombre de termes, puis calcule le dernier.

Voir la correction pas à pas

De $u_0$ à $u_9$ , il y a $10$ termes.
Le dernier terme vaut $u_9=4+9\times2=22$ .
On applique $S=n\times\frac{\text{premier}+\text{dernier}}{2}$ avec $n=10$ .
$S=10\times\frac{4+22}{2}=10\times13=130$ .

La somme des dix premiers termes est $130$ .

Exercice 4 Somme de termes géométriques

★★★Environ 10 min

Une suite géométrique a pour premier terme $v_0=3$ et pour raison $q=2$ . Calcule la somme des $8$ premiers termes $v_0+v_1+\dots+v_7$ .

Indice 1

Comme $q\neq1$ , utilise $S=v_0\frac{1-q^n}{1-q}$ .

Indice 2

Il y a $8$ termes, donc $n=8$ .

Voir la correction pas à pas

La raison est différente de $1$ : on utilise la formule de la somme géométrique.
On remplace : $S=3\times\frac{1-2^8}{1-2}$ .
On calcule $2^8=256$ , donc $1-256=-255$ .
On divise par $1-2=-1$ : $\frac{-255}{-1}=255$ .
On multiplie : $S=3\times255=765$ .

La somme des $8$ premiers termes vaut $765$ .

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si une suite est arithmétique ou géométrique ?

Calcule d'abord les différences entre termes consécutifs : si elles sont toutes égales, la suite est arithmétique. Sinon, calcule les quotients : s'ils sont tous égaux, elle est géométrique. Si aucun des deux n'est constant, elle n'est ni l'une ni l'autre. Pour une démonstration, il faut établir la constance pour tout $n$ , pas seulement sur les premiers termes.

Quelle est la différence entre $u_n=u_0+nr$ et $u_{n+1}=u_n+r$ ?

La seconde est la relation de récurrence : elle relie un terme au suivant. La première est la formule explicite : elle donne $u_n$ directement à partir de $n$ , sans calculer les termes précédents. On passe de la récurrence à la formule en comptant combien de fois on a ajouté $r$ .

Pourquoi une évolution en pourcentage donne-t-elle une suite géométrique ?

Parce qu'un pourcentage d'évolution agit par multiplication : une hausse de $t\,\%$ multiplie par $1+\frac{t}{100}$ quelle que soit la valeur de départ. Si le taux est le même à chaque période, on multiplie toujours par le même coefficient, ce qui est exactement la définition d'une suite géométrique.

Que faire si l'énoncé numérote les années à partir de 1 et non de 0 ?

Repère le premier terme donné. Si le premier terme est $u_1$ , alors $u_n=u_1+(n-1)r$ pour une suite arithmétique et $v_n=v_1\,q^{\,n-1}$ pour une suite géométrique. Écrire clairement le rang du premier terme avant de calculer évite l'erreur d'un cran, très fréquente à l'examen.

Comment choisir la bonne formule de somme ?

Identifie d'abord la nature de la suite. En arithmétique, on prend le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier. En géométrique, on prend le premier terme multiplié par $\frac{1-q^n}{1-q}$ , avec $q\neq1$ . Dans les deux cas, compte soigneusement le nombre de termes $n$ avant d'appliquer la formule.

Sources

Document pédagogique - Suites arithmétiques et géométriques (ressource Éduscol), Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
Suite géométrique, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
Suite arithmético-géométrique, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

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Suites arithmétiques et géométriques : cours de Terminale techno

L'essentiel

Pour commencer : pourquoi des suites particulières ?

Vocabulaire et notations des suites

Les suites arithmétiques

Les suites géométriques

Suites géométriques et pourcentages d'évolution

Somme des premiers termes

Reconnaître, modéliser, éviter les pièges

Exercices corrigés

Exercice 1 Un terme d'une suite arithmétique

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