Suites arithmétiques et géométriques : modèles, cours de Terminale

Un loyer qui augmente chaque année, un capital placé à intérêts, une population qui décroît, un abonnement qui s'ajoute mois après mois : toutes ces situations se décrivent par une suite, c'est-à-dire une liste de nombres indexée par $n=0,1,2,\dots$ Le programme de Mathématiques complémentaires demande de savoir reconnaître une situation qui se modélise par une suite géométrique, de déterminer la raison d'une suite arithmétique ou géométrique, d'exprimer le terme général en fonction de $n$ et de calculer la somme des $n$ premiers termes ⁵.

Dans ce cours, tu vas apprendre à faire exactement cela, dans l'ordre : définir, calculer un terme, calculer une somme, puis choisir le bon modèle devant un énoncé concret. Cette dernière étape est la plus délicate, parce qu'aucun énoncé ne dit « voici une suite géométrique ». C'est à toi de repérer ce qui reste constant.

Deux idées simples structurent tout le chapitre.

• Si à chaque étape on ajoute la même quantité, on obtient une suite arithmétique.
• Si à chaque étape on multiplie par le même coefficient, on obtient une suite géométrique.

Les ressources d'accompagnement s'appuient par exemple sur des motifs géométriques, des figures que l'on reprend tout au long du travail sur les suites ⁴. Une troisième famille, les suites arithmético-géométriques, mêle ajout et multiplication ; elle prolonge ce chapitre ⁶.

La raison se calcule en faisant la différence de deux termes consécutifs : $r=u_{n+1}-u_n$. Pour montrer qu'une suite est arithmétique, il faut que cette différence soit la même pour tout $n$, et pas seulement pour les premiers termes. Vérifier que $u_1-u_0=u_2-u_1$ ne prouve rien : cela montre seulement que la propriété est possible.

Si aucun terme n'est nul, la raison se lit comme un quotient : $q=\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$. Pour montrer qu'une suite à termes non nuls est géométrique, on prouve que ce quotient ne dépend pas de $n$. Pour montrer au contraire qu'elle ne l'est pas, un seul contre-exemple suffit : si $\frac{u_1}{u_0}\neq\frac{u_2}{u_1}$, la suite n'est pas géométrique.

Dans un énoncé, on ne donne presque jamais la raison. On donne une phrase : « augmente de 3 % par an », « perd 40 abonnés par mois », « baisse de 8 % chaque semaine ». Il faut traduire.

Cumuler les versements d'un abonnement, ou les intérêts reçus sur plusieurs années, revient à additionner des termes consécutifs. Le programme cite la notation $\Sigma$ et demande de calculer la somme des $n$ premiers termes d'une suite arithmétique ou géométrique ⁵.

La notation $\sum_{k=0}^{n}u_k$ se lit « somme des $u_k$ pour $k$ allant de $0$ à $n$ » ; elle contient $n+1$ termes. Compter le nombre de termes avant d'appliquer une formule évite la plupart des erreurs.

Que faire lorsqu'une grandeur subit à la fois un apport fixe et une fuite proportionnelle ? On obtient une suite arithmético-géométrique, qui vérifie une relation de la forme $u_{n+1}=a\,u_n+b$ ⁶. Si $a=1$, c'est une suite arithmétique ; si $b=0$, c'est une suite géométrique ⁶. Ces deux suites sont donc les cas particuliers d'une même famille.

On rencontre ces suites dans la modélisation de flux de population, et dans les plans de remboursement d'un emprunt à mensualités constantes ⁶. La méthode pour les étudier consiste à se ramener à une suite géométrique grâce à une suite auxiliaire ⁶. Retenir que les deux modèles de ce cours en sont les briques de base suffit pour l'instant.