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Suites arithmétiques et géométriques : exercices de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une évolution de même quantité à chaque étape donne une suite arithmétique ; une évolution de même pourcentage donne une suite géométrique.
On identifie d'abord la raison, puis on écrit le terme général en fonction de n.
Plusieurs évolutions successives se combinent en multipliant les coefficients multiplicateurs.
Pour une somme, on compte d'abord le nombre de termes, puis on repère le premier et le dernier.
Quand ni la différence ni le quotient de termes consécutifs ne reste constant, le modèle n'est ni arithmétique ni géométrique.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices te font passer d'une situation concrète à un modèle, puis du modèle à un résultat chiffré. Le programme de mathématiques complémentaires demande justement de reconnaître une situation contextualisée qui se modélise par une suite géométrique, de déterminer la raison d'une suite arithmétique ou géométrique, d'exprimer le terme général en fonction de $n$ et de calculer la somme des $n$ premiers termes ⁵. Les exercices suivent cet ordre, du plus simple au plus délicat.

Les exercices

Exercice 1 Un abonnement qui augmente chaque mois

★☆☆Environ 5 min

Un club de sport facture $250$ euros le premier mois, puis le tarif mensuel augmente de $15$ euros chaque mois. On note $u_n$ le tarif du mois de rang $n$ , avec $u_0=250$ .

Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ? Donne sa raison.
Exprime $u_n$ en fonction de $n$ .
Calcule $u_{12}$ .

Indice 1

Le tarif augmente toujours de la même quantité.

Indice 2

Pour passer de $u_0$ à $u_{12}$ , on ajoute 12 fois la raison.

Voir la correction pas à pas

À chaque mois, on ajoute le même montant $15$ : la suite est arithmétique de raison $r=15$ .
Le terme général d'une suite arithmétique est $u_n=u_0+nr$ , donc $u_n=250+15n$ .
On remplace $n$ par $12$ : $u_{12}=250+15\times 12=250+180=430$ .

Au bout de 12 mois d'augmentation, le tarif mensuel atteint 430 euros.

Exercice 2 Un placement à intérêts composés

★☆☆Environ 6 min

Une somme de $800$ euros est placée à $3\,\%$ par an, les intérêts étant ajoutés au capital chaque année. On note $v_n$ le capital après $n$ années, avec $v_0=800$ .

Justifie que $(v_n)$ est géométrique et donne sa raison.
Exprime $v_n$ en fonction de $n$ .
Calcule le capital après 10 ans, arrondi au centime.

Indice 1

Augmenter de $3\,\%$ , c'est multiplier par $1+\frac{3}{100}$ .

Indice 2

Le capital après 10 ans est $v_{10}$ .

Voir la correction pas à pas

Une hausse de $3\,\%$ multiplie le capital par $1{,}03$ : $v_{n+1}=1{,}03\,v_n$ . La suite est géométrique de raison $q=1{,}03$ .
Le terme général est $v_n=v_0\times q^n=800\times 1{,}03^n$ .
On calcule $v_{10}=800\times 1{,}03^{10}\approx 800\times 1{,}3439\approx 1\,075{,}13$ .

Après 10 ans, le capital vaut environ 1 075,13 euros.

Exercice 3 Deux évolutions successives

★★☆Environ 6 min

Le prix d'un article augmente de $10\,\%$ en janvier, puis baisse de $20\,\%$ en février.

Calcule le coefficient multiplicateur global.
En déduire le taux d'évolution global, en pourcentage (négatif pour une baisse).

Indice 1

Le taux d'évolution équivalent à plusieurs évolutions successives s'obtient avec les coefficients multiplicateurs ⁵.

Indice 2

Coefficient = $1+\frac{t}{100}$ pour un taux $t$ .

Voir la correction pas à pas

Hausse de $10\,\%$ : coefficient $1{,}10$ . Baisse de $20\,\%$ : coefficient $1-0{,}20=0{,}80$ .
Le coefficient global est le produit : $1{,}10\times 0{,}80=0{,}88$ .
Le taux global est $0{,}88-1=-0{,}12$ , soit $-12\,\%$ .

L'article perd 12 % de sa valeur sur les deux mois. Les deux taux ne s'additionnent pas : $+10-20=-10$ serait faux.

Exercice 4 Reconstituer une suite arithmétique

★★☆Environ 8 min

Une suite arithmétique $(u_n)$ vérifie $u_3=11$ et $u_8=26$ .

Détermine sa raison $r$ .
Détermine $u_0$ .
Calcule $u_{20}$ .

Indice 1

Entre $u_3$ et $u_8$ , on a ajouté 5 fois la raison.

Indice 2

Pour tout $p$ et $n$ , $u_n=u_p+(n-p)r$ .

Voir la correction pas à pas

De $u_3$ à $u_8$ , on ajoute $5$ fois la raison : $26-11=5r$ , donc $r=\frac{15}{5}=3$ .
On revient en arrière de 3 rangs : $u_0=u_3-3r=11-9=2$ .
Terme général : $u_n=2+3n$ , donc $u_{20}=2+3\times 20=62$ . On vérifie avec $u_3=2+9=11$ : c'est cohérent.

La suite a pour raison $3$ , pour premier terme $2$ , et $u_{20}=\mathbf{62}$ .

Exercice 5 Somme des premiers termes d'une suite arithmétique

★★☆Environ 8 min

Un coureur s'entraîne en augmentant sa distance de $3$ km chaque semaine. La première semaine, il court $5$ km. On note $d_n$ la distance de la semaine $n$ (avec $n\geq 1$ ).

Exprime $d_n$ en fonction de $n$ .
Calcule la distance totale parcourue sur les 20 premières semaines.

Indice 1

Ici le premier terme est $d_1$ , donc $d_n=d_1+(n-1)r$ .

Indice 2

La somme de $n$ termes d'une suite arithmétique vaut $n\times\frac{\text{premier}+\text{dernier}}{2}$ .

Voir la correction pas à pas

La suite est arithmétique de raison $3$ et de premier terme $d_1=5$ : $d_n=5+3(n-1)$ .
Dernier terme : $d_{20}=5+3\times 19=62$ .
Il y a 20 termes : $S=20\times\frac{5+62}{2}=20\times 33{,}5=670$ .

Le coureur parcourt 670 km en 20 semaines. Calculer une somme de $n$ premiers termes fait partie des attendus du programme ⁵.

Exercice 6 Somme des premiers termes d'une suite géométrique

★★☆Environ 8 min

Une rumeur se propage : le premier jour, 2 personnes la connaissent à travers un message envoyé. Chaque jour, le nombre de nouvelles personnes touchées double. On note $a_k$ le nombre de nouvelles personnes touchées le jour $k$ , avec $a_1=2$ et $a_{k+1}=2a_k$ .

Calcule le nombre total de personnes touchées au bout de 10 jours.

Indice 1

Reconnais la raison $q=2$ .

Indice 2

Pour $q\neq 1$ : $S=\text{premier terme}\times\frac{q^{\,\text{nombre de termes}}-1}{q-1}$ .

Voir la correction pas à pas

La suite $(a_k)$ est géométrique de raison $2$ , de premier terme $2$ .
On additionne 10 termes : $S=a_1\times\frac{q^{10}-1}{q-1}=2\times\frac{2^{10}-1}{2-1}$ .
$2^{10}=1024$ , donc $S=2\times 1023=2046$ .

Au bout de 10 jours, 2 046 personnes ont été touchées. La croissance géométrique est bien plus rapide que la croissance arithmétique.

Exercice 7 Calcul d'un seuil

★★★Environ 12 min

Un capital de $5\,000$ euros est placé à $2\,\%$ par an à intérêts composés. On note $c_n$ le capital après $n$ années.

Exprime $c_n$ en fonction de $n$ .
Détermine le nombre minimal d'années pour que le capital dépasse $6\,000$ euros.
Vérifie ta réponse en calculant $c_{n-1}$ et $c_n$ .

Indice 1

Il faut résoudre $5000\times 1{,}02^n>6000$ , soit $1{,}02^n>1{,}2$ .

Indice 2

Tu peux utiliser le logarithme népérien ou tester les valeurs de $n$ avec la calculatrice ou un petit programme.

Voir la correction pas à pas

La suite est géométrique de raison $1{,}02$ : $c_n=5000\times 1{,}02^n$ .
On cherche $n$ tel que $1{,}02^n>1{,}2$ . Comme $\ln(1{,}02)>0$ , cela revient à $n>\frac{\ln 1{,}2}{\ln 1{,}02}\approx 9{,}2$ .
Le plus petit entier convenable est $n=10$ .
Vérification : $c_9=5000\times 1{,}02^9\approx 5975{,}46<6000$ et $c_{10}\approx 6094{,}97>6000$ .

Il faut 10 ans pour dépasser 6 000 euros. Les calculs de seuil se traitent aussi par algorithme, avec une boucle qui s'arrête dès que le seuil est franchi ³.

Exercice 8 Ni arithmétique, ni géométrique

★★★Environ 12 min

Une retenue d'eau reçoit chaque semaine un apport fixe de $10$ milliers de litres, mais perd $5\,\%$ de son contenu par évaporation et infiltration. Au départ, elle contient $100$ milliers de litres. On note $w_n$ le contenu après $n$ semaines, donc $w_{n+1}=0{,}95\,w_n+10$ . Ce type de situation (apport fixe et fuite proportionnelle) est un exemple classique de modèle plus général que les deux suites étudiées ici ⁶.

Calcule $w_1$ et $w_2$ .
Montre que $(w_n)$ n'est ni arithmétique ni géométrique.

Indice 1

Applique deux fois la relation de récurrence.

Indice 2

Compare $w_1-w_0$ avec $w_2-w_1$ , puis $\frac{w_1}{w_0}$ avec $\frac{w_2}{w_1}$ .

Voir la correction pas à pas

$w_1=0{,}95\times 100+10=105$ .
$w_2=0{,}95\times 105+10=99{,}75+10=109{,}75$ .
Différences : $w_1-w_0=5$ et $w_2-w_1=4{,}75$ . Elles diffèrent : la suite n'est pas arithmétique.
Quotients : $\frac{w_1}{w_0}=1{,}05$ et $\frac{w_2}{w_1}\approx 1{,}0452$ . Ils diffèrent : la suite n'est pas géométrique.

Le contenu après deux semaines est 109,75 milliers de litres, et la suite n'est ni arithmétique ni géométrique. Il faut un modèle qui combine les deux idées : c'est l'objet des suites arithmético-géométriques, dont la relation de récurrence est affine ⁶.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si une situation relève d'une suite arithmétique ou géométrique ?

Regarde ce qui change d'une étape à l'autre. Si on ajoute ou retire toujours la même quantité (un tarif qui monte de 15 euros), la suite est arithmétique. Si on applique toujours le même pourcentage (un capital qui gagne 3 % par an), elle est géométrique, de raison égale au coefficient multiplicateur. Reconnaître une situation qui se modélise par une suite géométrique est un attendu du programme ⁵. Si l'on a à la fois un ajout fixe et un pourcentage, le modèle n'est ni l'un ni l'autre ⁶.

Faut-il toujours partir de u₀ ou de u₁ ?

Cela dépend de l'énoncé. Le terme général $u_n=u_0+nr$ (ou $u_0q^n$ ) suppose que le premier terme porte le rang $0$ . Si la suite commence au rang $1$ , on écrit $u_n=u_1+(n-1)r$ ou $u_1q^{n-1}$ . Le plus sûr est de compter le nombre d'évolutions entre le premier terme et celui que tu cherches.

Pourquoi ne peut-on pas additionner deux taux d'évolution successifs ?

Parce que le second taux s'applique à une valeur déjà modifiée par le premier. On passe donc par les coefficients multiplicateurs et on les multiplie, comme le demande le calcul du taux d'évolution équivalent à plusieurs évolutions successives ⁵. Par exemple, $+10\,\%$ puis $-20\,\%$ donne un coefficient de $1{,}10\times0{,}80=0{,}88$ , soit $-12\,\%$ et non $-10\,\%$ .

Sources

Édubase - Suites arithmétiques et géométriques, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Programmes et ressources en mathématiques - voie générale et technologique, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Édubase - Calcul de seuil pour une suite arithmético-géométrique, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Suites, exponentielle, probabilités : modéliser et représenter, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Ressource d'accompagnement pédagogique — Mathématiques complémentaires, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Suite arithmético-géométrique, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Exercice 2 Un placement à intérêts composés

Exercice 3 Deux évolutions successives

Exercice 4 Reconstituer une suite arithmétique

Exercice 5 Somme des premiers termes d'une suite arithmétique

Exercice 6 Somme des premiers termes d'une suite géométrique

Exercice 7 Calcul d'un seuil

Exercice 8 Ni arithmétique, ni géométrique

Les questions qu'on se pose

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Supérieur