Mathématiques expertes (option) · Terminale

Chaînes de Markov : cours de Terminale maths expertes

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une chaîne de Markov décrit un système qui passe d'un état à un autre au hasard, l'avenir ne dépendant que de l'état présent ⁴.
Le graphe orienté pondéré et la matrice de transition $P$ disent la même chose : $p_{ij}$ est la probabilité d'aller de l'état $i$ à l'état $j$ en une étape ; chaque ligne de $P$ a pour somme 1.
La distribution initiale est une matrice ligne $\pi_0$ ; la loi à l'étape suivante est $\pi_{n+1}=\pi_n P$ ¹.
On en déduit $\pi_n=\pi_0 P^n$ : on multiplie une matrice ligne par une puissance de $P$ .
Piège classique : confondre ligne et colonne, ou oublier de vérifier que chaque ligne de $P$ somme à 1.

Un système qui évolue au hasard

Imagine un système qui peut se trouver, à chaque instant, dans un nombre limité de situations : le temps qu'il fait un jour donné (soleil ou pluie), une machine (en marche ou en panne), un joueur (en tête, à égalité, en retard). D'un instant au suivant, la situation change au hasard, avec des probabilités connues. Les chaînes de Markov sont l'outil qui permet de décrire ces évolutions et de calculer la probabilité de se trouver dans telle situation après plusieurs étapes.

Le programme de la spécialité de mathématiques expertes les étudie pour des systèmes à deux ou trois états, en s'appuyant sur les matrices et les graphes ¹. Dans ce cours, tu retrouves donc tes acquis sur les matrices (produit, puissances) et sur les graphes orientés.

Le nom vient du mathématicien russe Andreï Markov (1856-1922) ⁵. Ses premiers résultats sur ces chaînes à nombre fini d'états datent de 1906 ⁴. Il les a mises au point en travaillant sur la théorie des probabilités ⁵.

Graphe pondéré et matrice de transition

Pour une chaîne de Markov à deux ou trois états, le programme demande de savoir associer un graphe orienté pondéré à la chaîne ¹, puis de travailler avec sa matrice de transition ¹. Les deux objets contiennent exactement la même information.

Du graphe à la matrice : lecture rapide
Dans le graphe	Dans la matrice $P$
Un sommet	Un état (une ligne et une colonne)
Une flèche de i vers j de poids p	Le coefficient p en ligne i, colonne j
Une boucle sur i	Le coefficient diagonal en ligne i, colonne i
Absence de flèche	Un coefficient égal à 0
Toutes les flèches qui partent de i	La ligne i : somme égale à 1

Du graphe à la matrice : lecture rapide · Chaque élément du graphe a un équivalent dans la matrice.

Distribution initiale et loi à l'étape n

La matrice de transition ne dit pas où le système démarre. Pour cela, on a besoin d'une distribution initiale.

Démonstration · Pourquoi $\pi_{n+1}=\pi_nP$

Prenons trois états. Les événements $\{X_n=1\}$ , $\{X_n=2\}$ , $\{X_n=3\}$ forment un système complet d'événements. D'après la formule des probabilités totales, pour chaque état $j$ :

$P(X_{n+1}=j)=\sum_{i=1}^{3}P(X_n=i)\,P(X_{n+1}=j\mid X_n=i)=\sum_{i=1}^{3}\pi_n(i)\,p_{ij}.$

Or le membre de droite est exactement le coefficient d'indice $j$ du produit de la matrice ligne $\pi_n$ par la matrice $P$ : on multiplie la ligne $\pi_n$ par la colonne $j$ de $P$ . Les trois coefficients de $\pi_{n+1}$ sont donc ceux de $\pi_nP$ .

ExempleTrois premiers jours au village

Avec $P$ de l'exemple et $\pi_0=\begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix}$ :

$\pi_1=\pi_0P=\begin{pmatrix}1\times0{,}8+0\times0{,}4 & 1\times0{,}2+0\times0{,}6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}8 & 0{,}2\end{pmatrix}.$

$\pi_2=\pi_1P=\begin{pmatrix}0{,}8\times0{,}8+0{,}2\times0{,}4 & 0{,}8\times0{,}2+0{,}2\times0{,}6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}72 & 0{,}28\end{pmatrix}.$

$\pi_3=\pi_2P=\begin{pmatrix}0{,}72\times0{,}8+0{,}28\times0{,}4 & 0{,}72\times0{,}2+0{,}28\times0{,}6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}688 & 0{,}312\end{pmatrix}.$

À chaque étape, la somme des deux coefficients vaut 1 : c'est un bon contrôle de calcul.

Calculer avec les puissances de P

Calculer $\pi_{10}$ en enchaînant dix produits est long. Les puissances de la matrice de transition donnent une formule directe.

Démonstration · Preuve par récurrence

Initialisation. Pour $n=0$ , $P^0=I$ (la matrice identité) et $\pi_0I=\pi_0$ : la propriété est vraie.

Hérédité. Supposons $\pi_n=\pi_0P^n$ pour un entier $n$ fixé. D'après la propriété précédente,

$\pi_{n+1}=\pi_nP=(\pi_0P^n)P=\pi_0P^{n+1}$

par associativité du produit matriciel. La propriété est donc vraie au rang $n+1$ .

Conclusion. Elle est vraie pour tout entier naturel $n$ .

ExempleCalculer $P^2$ à la main

Pour $P=\begin{pmatrix}0{,}8 & 0{,}2\\ 0{,}4 & 0{,}6\end{pmatrix}$ :

$P^2=\begin{pmatrix}0{,}8\times0{,}8+0{,}2\times0{,}4 & 0{,}8\times0{,}2+0{,}2\times0{,}6\\ 0{,}4\times0{,}8+0{,}6\times0{,}4 & 0{,}4\times0{,}2+0{,}6\times0{,}6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}72 & 0{,}28\\ 0{,}56 & 0{,}44\end{pmatrix}.$

La première ligne retrouve $\pi_2$ calculé plus haut. Chaque ligne somme bien à 1.

Si la première journée est pluvieuse ( $\pi_0=\begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix}$ ), alors $\pi_2$ est la deuxième ligne de $P^2$ : il fera beau le surlendemain avec la probabilité 0,56.

Un exemple complet à trois états

Un élève s'entraîne chaque soir à un exercice de mathématiques. Chaque soir, il est dans l'un des trois états suivants : 1 (il réussit tout), 2 (il réussit en partie), 3 (il bloque). On observe les règles suivantes d'un soir à l'autre :

depuis l'état 1 : il reste en 1 avec la probabilité 0,5 et passe en 2 avec la probabilité 0,5 ;
depuis l'état 2 : il passe en 1 avec la probabilité 0,2, reste en 2 avec la probabilité 0,3 et passe en 3 avec la probabilité 0,5 ;
depuis l'état 3 : il passe en 2 avec la probabilité 0,4 et reste en 3 avec la probabilité 0,6.

Ce modèle est inventé pour s'exercer ; il suppose que le soir suivant ne dépend que du soir présent.

ExempleLoi après deux soirs

Le premier soir, l'élève réussit tout : $\pi_0=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}$ .

$\pi_1=\pi_0P=\begin{pmatrix}0{,}5 & 0{,}5 & 0\end{pmatrix}.$

$\pi_2=\pi_1P=\begin{pmatrix}0{,}5\times0{,}5+0{,}5\times0{,}2 & 0{,}5\times0{,}5+0{,}5\times0{,}3 & 0{,}5\times0{,}0+0{,}5\times0{,}5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}35 & 0{,}40 & 0{,}25\end{pmatrix}.$

Somme : $0{,}35+0{,}40+0{,}25=1$ . Au bout de deux soirs, l'élève a donc la probabilité 0,25 d'être bloqué, alors qu'il ne pouvait pas l'être au bout d'un seul soir : de l'état 1, on ne peut pas aller directement en 3 (le coefficient $p_{13}$ est nul), mais on peut y arriver en passant par l'état 2.

Construire PUne ligne par état de départ, somme égale à 1.
Écrire π0Matrice ligne de la situation de départ.
Multiplierπ(n+1) = π(n) × P, ou π0 × Pⁿ directement.
ContrôlerLes coefficients de πn sont dans [0 ; 1], somme 1.

Démarche pour calculer la loi à l'étape n · La démarche vaut pour deux ou trois états.

Erreurs fréquentes et bonnes pratiques

Le chapitre suivant étudie ce que deviennent les suites $\pi_n$ quand $n$ devient grand : c'est la notion d'état stable, qui s'appuie sur tout ce qui précède.

Exercices corrigés

Exercice 1 Une machine en marche ou en panne

★☆☆Environ 8 min

Une machine est, chaque matin, dans l'un des deux états A (en marche) ou B (en panne). Si elle est en marche un matin, elle l'est encore le lendemain avec la probabilité 0,9. Si elle est en panne un matin, elle est en marche le lendemain avec la probabilité 0,6. Le lundi matin, elle est en marche.

Écris la matrice de transition $P$ dans l'ordre (A, B).
Écris $\pi_0$ et calcule $\pi_1$ .
Quelle est la probabilité que la machine soit en marche le mercredi matin (c'est-à-dire à l'étape 2) ?

Indice 1

Complète chaque ligne pour que sa somme vaille 1.

Indice 2

Utilise $\pi_{n+1}=\pi_nP$ deux fois.

Voir la correction pas à pas

Ligne A : $p_{AA}=0{,}9$ donc $p_{AB}=0{,}1$ . Ligne B : $p_{BA}=0{,}6$ donc $p_{BB}=0{,}4$ . Ainsi $P=\begin{pmatrix}0{,}9 & 0{,}1\\ 0{,}6 & 0{,}4\end{pmatrix}$ .
Le lundi, la machine est sûrement en marche : $\pi_0=\begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix}$ . Donc $\pi_1=\pi_0P=\begin{pmatrix}0{,}9 & 0{,}1\end{pmatrix}$ .
Calcul de $\pi_2=\pi_1P$ . Premier coefficient : $0{,}9\times0{,}9+0{,}1\times0{,}6=0{,}81+0{,}06=0{,}87$ .
Second coefficient : $0{,}9\times0{,}1+0{,}1\times0{,}4=0{,}13$ . Contrôle : $0{,}87+0{,}13=1$ .

La probabilité que la machine soit en marche le mercredi matin est $0{,}87$ .

Exercice 2 Retrouver un coefficient manquant

★☆☆Environ 5 min

Un graphe pondéré à deux états 1 et 2 a pour matrice de transition $P=\begin{pmatrix}a & 0{,}3\\ 0{,}5 & b\end{pmatrix}$ .

Calcule $a$ et $b$ .
Dessine mentalement le graphe : quelles boucles possède-t-il ?

Indice 1

Que vaut la somme des coefficients d'une ligne ?

Voir la correction pas à pas

La première ligne somme à 1 : $a+0{,}3=1$ , donc $a=0{,}7$ .
La seconde ligne somme à 1 : $0{,}5+b=1$ , donc $b=0{,}5$ .
Les coefficients diagonaux $a$ et $b$ sont les poids des boucles : une boucle de poids 0,7 sur l'état 1 et une boucle de poids 0,5 sur l'état 2.

On trouve $a=0{,}7$ et $b=0{,}5$ . Le seul fait que chaque ligne somme à 1 suffit pour compléter une matrice de transition.

Exercice 3 Trois états : l'élève et son exercice

★★☆Environ 12 min

On reprend la chaîne à trois états du cours, de matrice $P=\begin{pmatrix}0{,}5 & 0{,}5 & 0\\ 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}5\\ 0 & 0{,}4 & 0{,}6\end{pmatrix}$ . Cette fois, le premier soir, l'élève est dans l'état 2 : $\pi_0=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\end{pmatrix}$ .

Calcule $\pi_1$ .
Calcule la probabilité d'être dans l'état 3 à l'étape 2.
Vérifie que les coefficients de $\pi_2$ somment à 1.

Indice 1

Multiplier $\pi_0$ par $P$ revient ici à lire une ligne de $P$ .

Indice 2

Pour la probabilité de l'état 3 à l'étape 2, utilise la troisième colonne de $P$ .

Voir la correction pas à pas

Comme $\pi_0$ choisit la ligne 2 de $P$ , $\pi_1=\begin{pmatrix}0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}5\end{pmatrix}$ .
Le coefficient d'indice 3 de $\pi_2$ est le produit de $\pi_1$ par la colonne 3 de $P$ , soit $\begin{pmatrix}0\\0{,}5\\0{,}6\end{pmatrix}$ : $0{,}2\times0+0{,}3\times0{,}5+0{,}5\times0{,}6=0{,}15+0{,}30=0{,}45$ .
Premier coefficient : $0{,}2\times0{,}5+0{,}3\times0{,}2+0{,}5\times0=0{,}10+0{,}06=0{,}16$ .
Deuxième coefficient : $0{,}2\times0{,}5+0{,}3\times0{,}3+0{,}5\times0{,}4=0{,}10+0{,}09+0{,}20=0{,}39$ .
Somme : $0{,}16+0{,}39+0{,}45=1$ . Le calcul est cohérent.

On obtient $\pi_2=\begin{pmatrix}0{,}16 & 0{,}39 & 0{,}45\end{pmatrix}$ : la probabilité d'être dans l'état 3 à l'étape 2 est $0{,}45$ .

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si un énoncé décrit une chaîne de Markov ?

Cherche un système avec un petit nombre d'états et des probabilités de passage d'un état à l'autre qui ne dépendent que de l'état présent, pas de l'historique ⁴. L'énoncé donne en général ces probabilités sous forme de phrases, de tableau ou de graphe.

À quoi sert le graphe si j'ai la matrice ?

Le graphe et la matrice contiennent la même information ¹. Le graphe aide à visualiser les transitions possibles et à repérer les chemins ; la matrice permet de calculer avec le produit matriciel. L'énoncé donne souvent l'un, et on te demande de passer à l'autre.

Pourquoi écrire $\pi_0$ en ligne et non en colonne ?

Parce que la matrice $P$ est construite avec les états de départ en lignes. Avec une matrice ligne à gauche, le produit $\pi_nP$ additionne bien, pour chaque état d'arrivée, les contributions de tous les états de départ. Avec une colonne, il faudrait transposer $P$ et on s'éloigne du programme.

Que faire si une ligne de ma matrice ne somme pas à 1 ?

Tu as oublié une flèche ou mal lu un poids. Relis l'énoncé état par état. Si l'énoncé donne toutes les probabilités sauf une, utilise la somme égale à 1 pour la retrouver.

Est-ce que les puissances de $P$ se calculent toujours à la main ?

Non. À l'examen comme en exercice, on utilise la calculatrice dès que l'ordre est 3 ou que la puissance est élevée. On doit en revanche savoir poser le calcul (écrire $\pi_0P^n$ ), calculer $P^2$ à la main pour une matrice d'ordre 2 et interpréter le résultat.

Sources

Mathématiques expertes - Document officiel PDF, Ministère de l'Éducation Nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Chaînes de Markov - Cours L3 et Master, CNRS - Léo Gayral. Consulté le 6 novembre 2026.
Structures et algorithmes aléatoires - TD 7 Chaînes de Markov, École Normale Supérieure. Consulté le 6 novembre 2026.
Chaîne de Markov, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Andreï Markov (mathématicien), Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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L'essentiel

Un système qui évolue au hasard

Graphe pondéré et matrice de transition

Distribution initiale et loi à l'étape n

Calculer avec les puissances de P

Un exemple complet à trois états

Erreurs fréquentes et bonnes pratiques

Exercices corrigés

Exercice 1 Une machine en marche ou en panne

Exercice 2 Retrouver un coefficient manquant

Exercice 3 Trois états : l'élève et son exercice

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