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Suites de matrices et état stable

• Une suite de matrices colonnes vérifiant $U_{n+1}=AU_n+B$ se ramène à $U_n-L=A^n(U_0-L)$ dès que $L$ vérifie $L=AL+B$.
• Pour une chaîne de Markov de matrice de transition $P$, la loi à l'étape $n$ est $\pi_n=\pi_0P^n$ (matrice ligne).
• Un état stable est une matrice ligne $\pi$ dont les coordonnées sont positives, de somme 1, et qui vérifie $\pi P=\pi$.
• À deux états, avec $P=\begin{pmatrix}1-a&a\\b&1-b\end{pmatrix}$, l'état stable est $\left(\frac{b}{a+b},\frac{a}{a+b}\right)$ et l'écart décroît comme $(1-a-b)^n$.