Chaînes de Markov : quiz de Terminale (maths expertes)

Quiz

15 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.

1. Quelle phrase traduit la propriété de Markov ?

   Pour prédire le futur, seul l'état présent compte ; le passé n'apporte rien de plus.Pour prédire le futur, il faut connaître tous les états passés du processus.Le futur est toujours identique au présent.Chaque état ne peut être visité qu'une seule fois.
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2. De quelle nationalité est le mathématicien Andreï Markov, dont les chaînes portent le nom ?

   RusseFrançaisAllemandAméricain
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3. En quelle année Markov a-t-il publié ses premiers résultats sur les chaînes à espace d'états fini ?

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4. Les premiers résultats publiés par Markov concernaient des chaînes à espace d'états infini.

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5. On considère le graphe à deux états A et B : de A on reste en A avec la probabilité 0,7 ou on va en B avec 0,3 ; de B on va en A avec 0,4 ou on reste en B avec 0,6. Quelle est la matrice de transition $P$ (états dans l'ordre A, B) ?

   $\begin{pmatrix}0{,}7 & 0{,}3\\ 0{,}4 & 0{,}6\end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}0{,}7 & 0{,}4\\ 0{,}3 & 0{,}6\end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}0{,}3 & 0{,}7\\ 0{,}6 & 0{,}4\end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}0{,}7 & 0{,}3\\ 0{,}6 & 0{,}4\end{pmatrix}$
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6. Laquelle de ces matrices ne peut pas être la matrice de transition d'une chaîne de Markov à deux états ?

   $\begin{pmatrix}0{,}5 & 0{,}5\\ 0{,}2 & 0{,}8\end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0{,}3 & 0{,}7\end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}0{,}6 & 0{,}5\\ 0{,}4 & 0{,}5\end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$
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7. Soit $P=\begin{pmatrix}0{,}2 & a\\ 0{,}5 & 0{,}5\end{pmatrix}$ la matrice de transition d'une chaîne de Markov. Quelle est la valeur de $a$ ?

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8. On reprend $P=\begin{pmatrix}0{,}7 & 0{,}3\\ 0{,}4 & 0{,}6\end{pmatrix}$ avec la distribution initiale $\pi_0=(0{,}5\ \ 0{,}5)$. Quelle est la première composante de $\pi_1=\pi_0P$ (probabilité d'être en A à l'étape 1) ?

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9. Même chaîne que ci-dessus. On part de l'état A à coup sûr. Quelle est la probabilité d'être en A après deux étapes ?

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10. Avec $P=\begin{pmatrix}0{,}5 & 0{,}5\\ 0{,}2 & 0{,}8\end{pmatrix}$ et $\pi_0=(1\ \ 0)$, quelle est la probabilité d'être dans le second état à l'étape 2 ?

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11. Quelle relation permet de passer de la distribution $\pi_n$ à la distribution $\pi_{n+1}$ ?

    $\pi_{n+1}=\pi_n P$$\pi_{n+1}=P\,\pi_n$ avec $\pi_n$ matrice ligne$\pi_{n+1}=\pi_n+P$$\pi_{n+1}=\pi_n P^{-1}$
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12. Combien de coefficients contient la matrice de transition d'une chaîne de Markov à trois états ?

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13. On représente une chaîne de Markov à trois états par un graphe dont les arcs sont orientés et chargés de probabilités. Lesquelles de ces affirmations sont vraies ?

    Plusieurs réponses possibles.

    Les sommets sont les états de la chaîne.Un arc de poids $p$ de $i$ vers $j$ correspond au coefficient de $P$ en ligne $i$, colonne $j$.La somme des poids des arcs qui partent d'un même sommet vaut 1.La somme des poids des arcs qui arrivent en un même sommet vaut toujours 1.
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14. La distribution initiale d'une chaîne de Markov à trois états est représentée par une matrice ligne $\pi_0$ à trois coefficients ¹.

    VraiFaux
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15. Un élève affirme : « pour prévoir la météo de demain avec une chaîne de Markov, connaître la météo des dix derniers jours donne une prévision plus précise que connaître celle d'aujourd'hui seulement ». Que penses-tu de cette affirmation ?

    Elle est fausse dans le modèle de Markov : seul l'état d'aujourd'hui intervient.Elle est vraie, car plus on a de données, plus la prévision est précise.Elle est vraie, mais seulement si la chaîne a plus de trois états.Elle est fausse, car la météo ne peut pas être modélisée du tout.
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