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Chaînes de Markov : fiche de révision de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Une chaîne de Markov décrit une suite d'états aléatoires où le futur dépend seulement de l'état présent, pas du passé 4.
- Elle se donne par une distribution initiale (matrice ligne) et une matrice de transition , associée à un graphe orienté pondéré 1.
- Chaque ligne de contient des probabilités positives de somme 1.
- On passe d'une étape à la suivante par , donc .
- Piège classique : multiplier dans le mauvais ordre (écrire au lieu de ) ou confondre ligne et colonne de .
L'idée centrale : un futur qui ne dépend que du présent
Matrice de transition et graphe pondéré
Calculer la loi à l'étape n
Pièges et réflexes à garder
Questions flash
4 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
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Dans une chaîne de Markov, l'information utile pour prévoir le futur est contenue dans l'état présent, sans mémoire du passé 4. La première réponse décrit le contraire. La troisième est fausse aussi : le futur dépend bien du présent, mais seulement de lui.
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Une ligne regroupe les probabilités de passer d'un état donné vers chacun des états possibles ; ces issues couvrent tous les cas, donc la somme vaut 1. Les colonnes, elles, n'ont aucune raison de sommer à 1, ce qui piège souvent.
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On calcule puis . Répondre 0,64 revient à oublier le chemin qui passe par à l'étape 1 puis revient en .
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Avec une matrice ligne, on calcule , la matrice ligne étant à gauche. Écrire inverse l'ordre du produit, qui n'est pas commutatif ; ici ce produit n'est même pas défini, car les tailles ne sont pas compatibles.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si une situation se modélise par une chaîne de Markov ?
Vérifie que l'état de demain, en probabilité, ne dépend que de l'état d'aujourd'hui et pas des jours précédents 4. Il faut aussi que les probabilités de passage restent les mêmes d'une étape à l'autre. À l'examen, l'énoncé annonce en général lui-même le modèle et donne le graphe ou la matrice.
Faut-il toujours dessiner le graphe ?
Non, mais il aide. Le programme demande de savoir associer un graphe orienté pondéré à une chaîne à deux ou trois états 1. Il permet de contrôler la matrice : chaque sommet doit avoir des flèches sortantes dont les poids somment à 1.
Pourquoi la matrice ligne est-elle à gauche de P ?
Parce que la distribution initiale est une matrice ligne 1 et que va de la ligne vers la colonne . Le produit combine bien chaque probabilité de départ avec la ligne correspondante de : chaque case de départ pondère la ligne de son état.
Sources
- Mathématiques expertes - Document officiel PDF, Ministère de l'Éducation Nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
- Chaînes de Markov - Cours L3 et Master, CNRS - Léo Gayral. Consulté le 6 novembre 2026.
- Structures et algorithmes aléatoires - TD 7 Chaînes de Markov, École Normale Supérieure. Consulté le 6 novembre 2026.
- Chaîne de Markov, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
- Andreï Markov (mathématicien), Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
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