Graphes : vocabulaire, cours de Terminale maths expertes
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Un graphe se compose de sommets et d'arêtes ; son ordre est le nombre de sommets.
Deux sommets reliés par une arête sont adjacents ; le degré d'un sommet est le nombre d'arêtes qui y aboutissent.
La somme des degrés vaut le double du nombre d'arêtes : ∑deg(s)=2×(nombre d’areˆtes).
Un graphe complet d'ordre n relie tous les sommets deux à deux et possède 2n(n−1) arêtes.
Une chaîne est un parcours d'arête en arête ; sa longueur est le nombre d'arêtes parcourues.
Un graphe orienté a des arcs à sens unique, un graphe pondéré attache un poids à chaque arête : on les range ensuite dans des matrices.
Pourquoi étudier les graphes ?
Un réseau de métro, un réseau d'amis, des routes entre des villes, des pages web qui se citent : dans tous ces cas, on a des objets et des liens entre certains d'entre eux. Un graphe est l'outil mathématique qui garde seulement cette information : qui est relié à qui. Le dessin exact, la taille des traits, l'emplacement des points n'ont aucune importance.
Le programme de cette option range cette notion dans le chapitre « Graphes et matrices » et en fait un outil des mathématiques discrètes 1. L'histoire des graphes remonte au moins à Euler 1. Dans ce chapitre, tu apprends d'abord le vocabulaire, puis tu le relies aux matrices que tu connais déjà : c'est la suite logique de ton travail sur les opérations matricielles et l'inverse d'une matrice.
Le programme liste précisément les mots à maîtriser : graphe, sommets, arêtes, graphe complet, sommets adjacents, degré, ordre d'un graphe, chaîne et longueur d'une chaîne 1. Ce cours les reprend dans cet ordre, avec une définition claire, un exemple, puis les erreurs que l'on rencontre le plus souvent.
Sommets, arêtes et ordre
Sommets adjacents et degré
Démonstration · Pourquoi cette égalité ?
Chaque arête a exactement deux extrémités. Quand tu calcules le degré de chaque sommet, tu comptes, pour chaque arête, une fois l'une de ses extrémités et une fois l'autre. Chaque arête est donc comptée deux fois dans la somme des degrés. La somme vaut bien deux fois le nombre d'arêtes.
Vérification sur l'exemple : 2+2+3+2+1=10=2×5.
Le graphe complet
Démonstration · Démonstration
Chaque sommet est relié aux n−1 autres sommets, donc tous les degrés valent n−1. La somme des degrés est alors n×(n−1). D'après la propriété sur la somme des degrés, le nombre d'arêtes est la moitié de cette somme, soit 2n(n−1).
Chaînes et longueur d'une chaîne
Graphes orientés et graphes pondérés
Jusqu'ici, une arête se lit dans les deux sens : si A est relié à B, alors B est relié à A. Beaucoup de situations réelles ne sont pas symétriques : une rue à sens unique, un compte qui en suit un autre sans réciprocité. On modifie alors le graphe de deux manières, qui peuvent se combiner.
Trois sortes de graphes
Type de graphe
Liaison
Ce qu'elle porte
Non orienté
Arête
Aucun sens
Orienté
Arc
Un départ et une arrivée
Pondéré
Arête ou arc
Un poids (nombre)
Orienté pondéré
Arc
Un sens et un poids
Trois sortes de graphes · Ce que porte la liaison selon le type de graphe.
Du graphe à la matrice
Le dessin aide l'œil, mais un calcul a besoin d'un tableau de nombres. Le programme cite la matrice d'adjacence d'un graphe comme exemple de représentation matricielle 1. Plus généralement, tout graphe fini peut être représenté par une matrice carrée 3.
Graphe
Sommets
Ordre
Adjacents
Arêtes
Degré
Somme = 2 × arêtes
Chaîne
Longueur
Arêtes parcourues
Complet
Tous adjacents
n(n-1)/2 arêtes
Variantes
Orienté
Pondéré
Le vocabulaire des graphes · Les mots du chapitre autour du mot graphe.
Méthodes types et pièges à éviter
Exercices corrigés
Exercice 1 Les poignées de main
★☆☆Environ 5 min
Dans une salle, 9 personnes se serrent toutes la main deux à deux, une seule fois chacune. On modélise la situation par un graphe dont les sommets sont les personnes et dont les arêtes sont les poignées de main.
Quel est l'ordre du graphe, et de quel type de graphe s'agit-il ?
Quel est le degré de chaque sommet ?
Combien y a-t-il de poignées de main au total ?
Indice 1
Chaque personne serre la main à toutes les autres.
Indice 2
Utilise la formule du nombre d'arêtes d'un graphe complet.
Voir la correction pas à pas
Les sommets sont les 9 personnes : l'ordre est 9. Toutes les paires de personnes sont reliées par une arête, donc le graphe est complet.
Chaque personne serre la main aux 8 autres : tous les degrés valent 8.
Le nombre d'arêtes est 29×8=36. On vérifie avec la somme des degrés : 9×8=72=2×36.
Il y a 36 poignées de main. Retiens la méthode : un graphe complet d'ordre n a 2n(n−1) arêtes.
Exercice 2 Retrouver le nombre d'arêtes
★☆☆Environ 5 min
Un graphe d'ordre 6 a pour degrés : 4,3,3,2,2,2.
Calcule la somme des degrés.
Déduis-en le nombre d'arêtes du graphe.
Indice 1
Utilise le lien entre somme des degrés et nombre d'arêtes.
Voir la correction pas à pas
La somme des degrés est 4+3+3+2+2+2=16.
Chaque arête est comptée deux fois dans cette somme, donc le nombre d'arêtes est 16÷2=8.
Le graphe possède 8 arêtes. La somme étant paire, la situation est cohérente.
Exercice 3 Lire une matrice d'adjacence
★★☆Environ 10 min
Un graphe non orienté d'ordre 4, de sommets A,B,C,D (dans cet ordre), a pour matrice d'adjacence :
M=0110101111010110
Donne le degré de chaque sommet.
Combien le graphe a-t-il d'arêtes ? Liste-les.
Donne une chaîne de longueur 3 reliant A à D.
Indice 1
Le degré d'un sommet est la somme des coefficients de sa ligne.
Indice 2
Un 1 à la ligne i, colonne j correspond à une arête entre les sommets i et j ; ne compte pas chaque arête deux fois.
Voir la correction pas à pas
Sommes des lignes : A : 0+1+1+0=2 ; B : 1+0+1+1=3 ; C : 1+1+0+1=3 ; D : 0+1+1+0=2.
Somme des degrés : 2+3+3+2=10, donc 10÷2=5 arêtes : AB, AC, BC, BD, CD.
Une chaîne de longueur 3 de A à D : A−B−C−D. On vérifie : AB, BC et CD sont bien des arêtes, et on parcourt 3 arêtes.
Les degrés sont 2,3,3,2 et le graphe a 5 arêtes. Lire les lignes de la matrice suffit pour retrouver le vocabulaire du graphe.
Exercice 4 Une liste de degrés impossible
★★★Environ 10 min
Un élève affirme avoir dessiné un graphe d'ordre 5 dont les cinq sommets sont tous de degré 3.
Calcule la somme des degrés.
Explique pourquoi cet élève se trompe.
Propose une modification d'un seul degré qui rende la somme paire.
Indice 1
La somme des degrés est liée au nombre d'arêtes par un facteur 2.
Indice 2
Quelle parité doit avoir la somme des degrés ?
Voir la correction pas à pas
La somme des degrés est 5×3=15.
Elle doit être égale à deux fois le nombre d'arêtes, donc être paire. Or 15 est impair : le graphe annoncé n'existe pas.
Si on remplace l'un des degrés 3 par 4 (ou par 2), la somme devient 16 (ou 14), qui est paire. Il faudrait encore vérifier que le graphe se construit réellement : la parité est une condition nécessaire, pas toujours suffisante.
Un graphe d'ordre 5 ne peut pas avoir cinq sommets de degré 3. Ce raisonnement par parité est un réflexe à avoir dès qu'on te donne une liste de degrés.
Quiz
8 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
L'ordre est le nombre de sommets, donc 7. Répondre 12 confond l'ordre avec le nombre d'arêtes ; répondre 19 additionne deux grandeurs qui n'ont rien à voir.
Chaque arête est comptée deux fois dans la somme des degrés, donc le nombre d'arêtes est 18÷2=9. La réponse 18 oublie la division par 2.
Le nombre d'arêtes est 210×9=45. La valeur 90 correspond au produit n(n−1) non divisé par 2, ce qui compte chaque arête deux fois.
La longueur est le nombre d'arêtes parcourues : AC, CD, DE, EF, soit 4. La réponse 5 compte les sommets au lieu des arêtes.
La somme vaut 3×5+2=17, un nombre impair. Or la somme des degrés est toujours le double du nombre d'arêtes, donc paire : c'est impossible. Le fait que chaque degré soit inférieur à 6 ne suffit pas pour conclure à l'existence.
La somme des degrés vaut le double du nombre d'arêtes, donc elle est paire, et un sommet sans arête est de degré 0. Deux sommets adjacents peuvent avoir des degrés différents : dans l'exemple du cours, C (degré 3) est adjacent à D (degré 2). L'ordre compte les sommets et non les arêtes.
Un arc est un couple ordonné de sommets : l'ordre compte. L'arc de A vers B est donc distinct de l'arc de B vers A. La confusion vient des arêtes d'un graphe non orienté, qui n'ont pas de sens.
Le degré est la somme des coefficients de la ligne : 1+1+0+1+0=3. La valeur 5 est le nombre de colonnes (l'ordre), pas le nombre de 1.
Les questions qu'on se pose
Quelle différence entre l'ordre d'un graphe et son nombre d'arêtes ?
L'ordre est le nombre de sommets ; le nombre d'arêtes est une autre grandeur. Un graphe d'ordre 4 peut avoir de 0 à 6 arêtes. Dans les énoncés, regarde bien si on te parle de points (sommets) ou de traits (arêtes).
Pourquoi la somme des degrés est-elle toujours paire ?
Parce que chaque arête a deux extrémités et contribue donc deux fois à la somme des degrés. La somme est le double du nombre d'arêtes, donc un nombre pair. C'est un bon moyen de repérer un énoncé incohérent.
Peut-on avoir plusieurs arêtes entre les deux mêmes sommets, ou une arête d'un sommet vers lui-même ?
Dans les graphes simples utilisés pour construire le vocabulaire, deux sommets sont reliés par au plus une arête et un sommet n'est pas relié à lui-même. Dans ce cas, la diagonale de la matrice d'adjacence est nulle. Si un énoncé autorise des boucles ou des arêtes multiples, il le dit expressément, et les formules de dénombrement doivent alors être adaptées.
À quoi servent les graphes dans la suite du chapitre ?
Ils servent à modéliser des situations par des matrices. Le chapitre suivant utilise les puissances de la matrice d'adjacence pour compter des chaînes, et les graphes orientés pondérés permettent ensuite de décrire des chaînes de Markov simples 1.
Faut-il savoir dessiner le graphe pour répondre aux questions ?
Non, ce n'est pas obligatoire, mais un croquis aide à ne pas se tromper. Le plus sûr est de passer par la liste des arêtes ou par la matrice d'adjacence, qui définissent réellement le graphe. Le dessin, lui, n'est qu'une représentation parmi d'autres.