Mathématiques expertes (option) · Terminale

Suites de matrices et état stable : cours de Terminale expertes

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une suite de matrices colonnes vérifiant $U_{n+1}=AU_n+B$ se ramène à $U_n-L=A^n(U_0-L)$ dès que $L$ vérifie $L=AL+B$ .
Pour une chaîne de Markov de matrice de transition $P$ , la loi à l'étape $n$ est $\pi_n=\pi_0P^n$ (matrice ligne).
Un état stable est une matrice ligne $\pi$ dont les coordonnées sont positives, de somme 1, et qui vérifie $\pi P=\pi$ .
À deux états, avec $P=\begin{pmatrix}1-a&a\\b&1-b\end{pmatrix}$ , l'état stable est $\left(\frac{b}{a+b},\frac{a}{a+b}\right)$ et l'écart décroît comme $(1-a-b)^n$ .
Pour trois états, on résout un système : $\pi P=\pi$ donne des équations dépendantes, qu'on complète avec la somme égale à 1.

Pourquoi étudier des suites de matrices ?

Jusqu'ici, tu as manipulé des suites de nombres, puis des matrices, des graphes et des chaînes de Markov. Ce chapitre rassemble ces outils autour d'une même question : que devient un système qui évolue à chaque étape selon la même règle, quand on attend longtemps ?

Le programme de Terminale en mathématiques expertes prévoit l'étude de suites de matrices colonnes vérifiant une relation de récurrence, ainsi que le calcul de puissances de matrices carrées d'ordre 2 ou 3 ¹. Il prévoit aussi, pour une chaîne de Markov à deux ou trois états, l'emploi d'une matrice ligne $\pi_0$ et d'une matrice de transition associée à un graphe pondéré ¹.

Deux situations vont nous occuper :

un vecteur (une matrice colonne) qui évolue selon $U_{n+1}=AU_n+B$ : par exemple deux quantités qui s'influencent l'une l'autre ;
une loi de probabilité (une matrice ligne) qui évolue selon $\pi_{n+1}=\pi_nP$ : par exemple la répartition d'une population entre deux états.

Dans les deux cas, on cherche un état d'équilibre : une valeur qui ne bouge plus d'une étape à la suivante. Dans le second cas, on l'appelle état stable.

État d'équilibre

Suites de colonnes
- U(n+1)=AU(n)+B
- Point fixe L
- U(n)-L=A^n(U0-L)
Chaîne de Markov
- Matrice P
- Loi π(n)=π0P^n
État stable
- πP=π
- Somme égale à 1
Long terme
- Facteur 1-a-b
- Puissances de P

Carte du chapitre

Suites de matrices colonnes : la relation $U_{n+1}=AU_n+B$

Le point fixe et la formule explicite

Démonstration · Démonstration par récurrence

Posons $V_n=U_n-L$ . Alors

$V_{n+1}=U_{n+1}-L=AU_n+B-(AL+B)=A(U_n-L)=AV_n.$

On a utilisé $L=AL+B$ pour remplacer $L$ . La suite $(V_n)$ est donc « géométrique de raison $A$ » : $V_1=AV_0$ , $V_2=AV_1=A^2V_0$ , et si $V_n=A^nV_0$ alors $V_{n+1}=AV_n=A^{n+1}V_0$ . D'où $V_n=A^nV_0$ , c'est-à-dire la formule annoncée.

ExempleUne formule entièrement explicite

Le calcul de puissances est facile quand la matrice est diagonale, ce qui fait partie des exemples d'ordre 2 ou 3 du programme ¹. Prenons $A=\begin{pmatrix}0{,}5&0\\0&0{,}2\end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ et $U_0=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ . Ici $I-A=\begin{pmatrix}0{,}5&0\\0&0{,}8\end{pmatrix}$ , donc $L=\begin{pmatrix}2\\2{,}5\end{pmatrix}$ . La matrice $A$ est diagonale, donc $A^n=\begin{pmatrix}0{,}5^n&0\\0&0{,}2^n\end{pmatrix}$ . La formule donne

$U_n=L+A^n(U_0-L)=\begin{pmatrix}2(1-0{,}5^n)\\2{,}5(1-0{,}2^n)\end{pmatrix}.$

Quand $n$ grandit, $0{,}5^n$ et $0{,}2^n$ tendent vers 0 : $U_n$ se rapproche de $L$ .

Chaînes de Markov : la loi à l'étape n

Une chaîne de Markov décrit un système qui passe, à chaque étape, d'un état à un autre avec des probabilités qui ne dépendent que de l'état actuel. Le programme demande, pour une chaîne à deux ou trois états, de manipuler la matrice de transition et son graphe pondéré, et d'exprimer la probabilité de passer de l'état $i$ à l'état $j$ ¹.

Démonstration · Pourquoi $\pi_{n+1}=\pi_nP$

Soit $j$ un état. Pour être dans l'état $j$ à l'étape $n+1$ , on était dans un certain état $i$ à l'étape $n$ puis on est passé de $i$ à $j$ . Par la formule des probabilités totales, avec les états $1,\dots,p$ comme partition :

$\pi_{n+1}^{(j)}=\sum_{i=1}^{p}\pi_n^{(i)}\,p_{ij}.$

Le membre de droite est exactement la coordonnée $j$ du produit de la matrice ligne $\pi_n$ par $P$ . Une récurrence immédiate donne $\pi_n=\pi_0P^n$ . Pour le coefficient de $P^n$ , il suffit de prendre $\pi_0$ égale à la ligne $i$ de la matrice identité (on part sûrement de l'état $i$ ) : $\pi_n$ est alors la ligne $i$ de $P^n$ .

État stable d'une chaîne de Markov

Démonstration · Calcul de l'état stable

Cherchons $\pi=(x\ \ \ 1-x)$ . La condition $\pi P=\pi$ donne, pour la première coordonnée,

$x(1-a)+(1-x)b=x\iff b=x(a+b)\iff x=\frac{b}{a+b}.$

La seconde coordonnée vaut alors $1-x=\dfrac{a}{a+b}$ , et elle vérifie bien la seconde équation puisque la somme des coordonnées de $\pi P$ est 1 comme celle de $\pi$ . Les deux coordonnées sont positives.

Poser l'inconnueÉcrire π = (x y) ou (x y z)
Écrire πP = πUne équation par coordonnée
Ajouter la sommex + y (+ z) = 1
RésoudreSubstitution ou matrice inverse
VérifierCoordonnées positives, πP = π

Trouver l'état stable

Convergence vers l'état stable

Un état stable est une situation d'équilibre. Reste à savoir si la chaîne s'en approche réellement, quelle que soit la loi initiale. Pour deux états, on peut le démontrer entièrement.

Démonstration · Démonstration

Posons $D_n=\pi_n-\pi$ . Comme $\pi_n$ et $\pi$ ont une somme de coordonnées égale à 1, $D_n$ a une somme nulle : $D_n=(u\ \ -u)$ pour un réel $u$ . Puis, avec $\pi P=\pi$ ,

$D_{n+1}=\pi_nP-\pi P=D_nP.$

Calculons : $(u\ \ -u)P=\big(u(1-a)-ub\ \ \ ua-u(1-b)\big)=u(1-a-b)\,(1\ \ -1)$ . Donc $D_{n+1}=(1-a-b)D_n$ : la suite $(D_n)$ est géométrique de raison $1-a-b$ , soit $D_n=(1-a-b)^nD_0$ .

Un exemple complet à trois états

ExempleRésolution

La condition $\pi P=\pi$ s'écrit coordonnée par coordonnée :

$\begin{cases}x=0{,}6x+0{,}2y+0{,}1z\\y=0{,}4x+0{,}5y+0{,}3z\\z=0{,}3y+0{,}6z\end{cases}$

Troisième équation : $0{,}4z=0{,}3y$ , donc $z=0{,}75\,y$ .
Première équation : $0{,}4x=0{,}2y+0{,}1z=0{,}2y+0{,}075\,y=0{,}275\,y$ , donc $x=0{,}6875\,y$ .
Somme : $x+y+z=y\,(0{,}6875+1+0{,}75)=2{,}4375\,y=1$ , donc $y=\dfrac{16}{39}$ .

On en déduit $x=\dfrac{11}{39}$ et $z=\dfrac{12}{39}=\dfrac{4}{13}$ .

Vérification avec la deuxième équation, qu'on n'a pas utilisée : $0{,}4\times11+0{,}5\times16+0{,}3\times12=4{,}4+8+3{,}6=16$ , soit $\dfrac{16}{39}$ pour $y$ . Elle est bien satisfaite : $\pi=\left(\frac{11}{39}\ \ \frac{16}{39}\ \ \frac{12}{39}\right)$ .

Récapitulatif de méthode

Exercices corrigés

Exercice 1 État stable de deux états

★☆☆Environ 8 min

Une machine est soit en marche (état 1), soit en panne (état 2). Chaque jour, une machine en marche tombe en panne avec la probabilité $0{,}1$ ; une machine en panne est réparée avec la probabilité $0{,}3$ .

Écris la matrice de transition $P$ .
Détermine l'état stable $\pi=(x\ \ y)$ .
Quelle proportion de jours la machine est-elle en marche à long terme ? Donne $x$ .

Indice 1

Chaque ligne de $P$ doit avoir pour somme 1.

Indice 2

Utilise $x=\frac{b}{a+b}$ avec $a$ la probabilité de quitter l'état 1.

Voir la correction pas à pas

La ligne 1 est $(0{,}9\ \ 0{,}1)$ et la ligne 2 est $(0{,}3\ \ 0{,}7)$ : $P=\begin{pmatrix}0{,}9&0{,}1\\0{,}3&0{,}7\end{pmatrix}$ .
On pose $\pi=(x\ \ y)$ avec $x+y=1$ . La première coordonnée de $\pi P=\pi$ donne $0{,}9x+0{,}3y=x$ .
On remplace $y=1-x$ : $0{,}9x+0{,}3-0{,}3x=x$ , soit $0{,}3=0{,}4x$ .
Donc $x=0{,}75$ et $y=0{,}25$ . On vérifie : $0{,}75\times0{,}1+0{,}25\times0{,}7=0{,}075+0{,}175=0{,}25$ .

À long terme, la machine est en marche trois jours sur quatre : $\pi=(0{,}75\ \ 0{,}25)$ .

Exercice 2 Point fixe d'une suite de colonnes

★★☆Environ 12 min

On considère $U_{n+1}=AU_n+B$ avec $A=\begin{pmatrix}0{,}6&0{,}2\\0{,}1&0{,}5\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}3\\1{,}5\end{pmatrix}$ .

Écris l'équation vérifiée par un point fixe $L=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ .
Montre que $I-A$ est inversible.
Détermine $x$ .
Pour $V_n=U_n-L$ , que vaut $V_{n+1}$ en fonction de $V_n$ ?

Indice 1

Le point fixe vérifie $L=AL+B$ .

Indice 2

Calcule le déterminant de $I-A$ : un produit en croix.

Voir la correction pas à pas

Un point fixe vérifie $L=AL+B$ , soit $(I-A)L=B$ .
On a $I-A=\begin{pmatrix}0{,}4&-0{,}2\\-0{,}1&0{,}5\end{pmatrix}$ , de déterminant $0{,}4\times0{,}5-(-0{,}2)(-0{,}1)=0{,}18\neq0$ : la matrice est inversible.
Le système est $0{,}4x-0{,}2y=3$ et $-0{,}1x+0{,}5y=1{,}5$ . En multipliant la seconde par $4$ : $-0{,}4x+2y=6$ . On additionne avec la première : $1{,}8y=9$ , donc $y=5$ .
On reporte : $0{,}4x-1=3$ , donc $x=10$ .
Avec $V_n=U_n-L$ , on a $V_{n+1}=AV_n$ , d'où $V_n=A^nV_0$ .

Le point fixe est $L=\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}$ et l'écart $U_n-L$ évolue selon $A^n$ .

Exercice 3 État stable à trois états

★★★Environ 15 min

Un animal se déplace entre trois salles alignées 1, 2, 3. Depuis la salle 1, il reste avec la probabilité $0{,}5$ ou va en 2. Depuis la salle 2, il reste avec la probabilité $0{,}5$ , ou va en 1 ou en 3 avec la probabilité $0{,}25$ chacune. Depuis la salle 3, il reste avec la probabilité $0{,}5$ ou va en 2.

Écris la matrice de transition.
Détermine l'état stable $(x\ \ y\ \ z)$ .
Donne la probabilité $y$ de se trouver dans la salle 2 à long terme.

Indice 1

Écris les trois équations de $\pi P=\pi$ en lisant les colonnes de $P$ .

Indice 2

La première et la troisième équations montrent que $x=z$ .

Voir la correction pas à pas

$P=\begin{pmatrix}0{,}5&0{,}5&0\\0{,}25&0{,}5&0{,}25\\0&0{,}5&0{,}5\end{pmatrix}$ : chaque ligne a pour somme 1.
Première équation de $\pi P=\pi$ : $x=0{,}5x+0{,}25y$ , soit $0{,}5x=0{,}25y$ et $y=2x$ .
Troisième équation : $z=0{,}25y+0{,}5z$ , donc $0{,}5z=0{,}25y$ et $z=x$ .
Somme : $x+2x+x=1$ , donc $x=0{,}25$ , $y=0{,}5$ , $z=0{,}25$ .
Contrôle avec la deuxième équation : $0{,}5x+0{,}5y+0{,}5z=0{,}125+0{,}25+0{,}125=0{,}5=y$ .

L'état stable est $(0{,}25\ \ 0{,}5\ \ 0{,}25)$ : à long terme, l'animal est dans la salle du milieu une fois sur deux.

Les questions qu'on se pose

À quoi sert l'état stable concrètement ?

Il décrit le comportement à long terme d'un système qui évolue au hasard : répartition d'une population entre deux états, part de temps passé dans chaque situation. Il se calcule en résolvant un système, sans avoir à calculer de grandes puissances de $P$ .

Comment savoir si je dois chercher $\pi P=\pi$ ou $P\pi=\pi$ ?

Regarde la convention de l'énoncé. Dans ce cours, la loi est une matrice ligne et les lignes de $P$ somment à 1 : on cherche $\pi P=\pi$ . Si l'énoncé utilise des colonnes de somme 1 et des vecteurs colonnes, on cherche $P\pi=\pi$ . Dans le doute, vérifie quelle somme vaut 1.

Pourquoi une des équations de $\pi P=\pi$ est-elle inutile ?

Parce que chaque ligne de $P$ somme à 1 : en additionnant toutes les équations, on obtient une égalité toujours vraie. Le système a donc une équation redondante, et il faut ajouter la condition « somme des coordonnées égale à 1 » pour obtenir une solution unique.

La suite $(U_n)$ converge-t-elle toujours vers le point fixe ?

Non. La formule $U_n-L=A^n(U_0-L)$ montre que cela dépend du comportement de $A^n$ . Dans les exemples du cours, les coefficients de $A^n$ tendent vers 0 et la suite converge vers $L$ ; si $A$ a des coefficients plus grands, la suite peut s'éloigner de $L$ .

Peut-on utiliser la calculatrice à l'épreuve ?

Calculer des puissances de matrices, résoudre un système ou calculer un inverse se fait très bien à la calculatrice, et le programme prévoit des exemples de calcul de puissances de matrices d'ordre 2 ou 3 ¹. Écris tout de même la ligne de calcul posée (le système, l'équation) : c'est ce qui montre que tu as compris la méthode.

Sources

Programme visé : Programme de Terminale Mathématiques expertes — Graphes et matrices · eduscol.education.fr

Programme de Terminale Mathématiques expertes — Graphes et matrices, eduscol.education.fr. Consulté le 6 novembre 2026.
Matrice de Householder, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Représentation d'état, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Suites de matrices et état stable : cours de Terminale expertes

L'essentiel

Pourquoi étudier des suites de matrices ?

Suites de matrices colonnes : la relation $U_{n+1}=AU_n+B$

Le point fixe et la formule explicite

Chaînes de Markov : la loi à l'étape n

État stable d'une chaîne de Markov

Convergence vers l'état stable

Un exemple complet à trois états

Récapitulatif de méthode

Exercices corrigés

Exercice 1 État stable de deux états

Exercice 2 Point fixe d'une suite de colonnes

Exercice 3 État stable à trois états

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Les questions qu'on se pose

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