Suites de matrices et état stable : quiz de Terminale expertes

Quiz

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1. Une chaîne de Markov a pour matrice de transition $P$ et pour état initial la matrice ligne $\pi_0$. Quelle égalité donne l'état à l'étape suivante ?

   $\pi_{n+1}=\pi_nP$$\pi_{n+1}=P\pi_n$$\pi_{n+1}=P+\pi_n$$\pi_{n+1}=\pi_n P^{-1}$
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2. Dans une matrice de transition, la somme des coefficients de chaque ligne est égale à 1.

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3. Avec $P=\begin{pmatrix}0{,}8&0{,}2\\0{,}3&0{,}7\end{pmatrix}$ et $\pi_0=(1\;\;0)$, quelle est la première coordonnée de $\pi_1=\pi_0P$ ?

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4. Avec la même matrice $P$ et $\pi_0=(1\;\;0)$, quelle est la première coordonnée de $\pi_2=\pi_1P$ ?

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5. Quelles conditions définissent un état stable $\pi$ d'une chaîne de Markov de matrice $P$ ?

   $\pi P=\pi$ et la somme des coordonnées de $\pi$ vaut 1$\pi P=0$ et la somme des coordonnées vaut 1$P\pi=\pi$ sans autre condition$\pi P=\pi$ et $\pi$ a ses coordonnées toutes égales
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6. Avec $P=\begin{pmatrix}0{,}8&0{,}2\\0{,}3&0{,}7\end{pmatrix}$, l'état stable est $(a\;\;b)$. Que vaut $a$ ?

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7. Pour la matrice $P$ précédente, l'état stable dépend de l'état initial $\pi_0$ choisi.

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8. Une suite de matrices colonnes vérifie $U_{n+1}=AU_n+B$. Si elle converge vers $U$, quelle équation $U$ vérifie-t-il ?

   $U=AU+B$, soit $(I-A)U=B$$U=AU$$U=B$$U=A^{-1}B$
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9. On pose $U_{n+1}=AU_n+B$ avec $A=\begin{pmatrix}0{,}5&0\\0&0{,}2\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}$. La deuxième coordonnée du point fixe $U$ vaut :

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10. Si $B$ est la matrice nulle et $U_{n+1}=AU_n$, quelle expression de $U_n$ est correcte ?

    $U_n=A^nU_0$$U_n=nAU_0$$U_n=U_0A^n$$U_n=A+nU_0$
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11. Quelles matrices peuvent être des matrices de transition ? (plusieurs réponses)

    Plusieurs réponses possibles.

    $\begin{pmatrix}0{,}5&0{,}5\\0{,}2&0{,}8\end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}0{,}6&0{,}5\\0{,}3&0{,}7\end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}1&0\\0{,}4&0{,}6\end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}0{,}5&-0{,}5\\0{,}2&0{,}8\end{pmatrix}$
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12. Avec $P=\begin{pmatrix}0{,}8&0{,}2\\0{,}3&0{,}7\end{pmatrix}$, quelle est la probabilité de passer de l'état 1 à l'état 2 en exactement deux étapes ?

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13. Pour une chaîne à trois états, quelles sont les tailles de $\pi_0$ et de $P$ ?

    $\pi_0$ de taille $1\times3$ et $P$ de taille $3\times3$$\pi_0$ de taille $3\times1$ et $P$ de taille $3\times3$$\pi_0$ de taille $1\times3$ et $P$ de taille $1\times3$$\pi_0$ de taille $3\times3$ et $P$ de taille $3\times3$
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14. Soit $P=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ et $\pi_0=(1\;\;0)$. Que peut-on dire de la suite $(\pi_n)$ ?

    Elle alterne entre $(1\;\;0)$ et $(0\;\;1)$, donc elle ne converge pasElle converge vers $(1\;\;0)$Elle converge vers $(0{,}5\;\;0{,}5)$Elle est constante
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15. Si $(\pi_n)$ converge vers une matrice ligne $\pi$ et que $\pi_{n+1}=\pi_nP$, alors $\pi$ vérifie $\pi P=\pi$.

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