Suites de matrices et état stable : fiche de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une suite de matrices colonnes vérifie une relation du type Un+1=AUn+B ; on cherche d'abord une matrice colonne U fixe, puis on étudie Vn=Un−U, qui vérifie Vn+1=AVn.
Pour une chaîne de Markov de matrice de transition P, la loi à l'étape n est la matrice ligne πn=π0Pn.
Un état stable est une matrice ligne π dont les coefficients sont positifs, de somme 1, et qui vérifie πP=π.
À deux états, avec P=(1−aba1−b), l'état stable est (a+bb,a+ba).
Ce que le programme demande
Cette fiche réunit deux outils qui se complètent : les suites de matrices colonnes définies par récurrence, et les chaînes de Markov. En option Mathématiques expertes, le programme de Terminale fait étudier une suite de matrices colonnes (Un) liée par une relation de récurrence, et demande de savoir calculer des puissances de matrices carrées de petite taille (2 ou 3 lignes) 1. Pour une chaîne de Markov, il introduit la matrice de transition, le graphe pondéré associé et la matrice ligne π0 qui décrit la loi de départ 1.
Suite de matrices colonnes $U_{n+1}=AU_n+B$
Chaîne de Markov : loi à l'étape $n$
État stable
Démonstration · Pourquoi la suite se rapproche de l'état stable
Notons xn la première coordonnée de πn ; la seconde vaut 1−xn. Alors
xn+1=(1−a)xn+b(1−xn)=(1−a−b)xn+b.
Avec x=a+bb, qui vérifie x=(1−a−b)x+b, on obtient en soustrayant : xn+1−x=(1−a−b)(xn−x). Donc xn−x=(1−a−b)n(x0−x). Si ∣1−a−b∣<1, ce terme tend vers 0 : la loi se rapproche de l'état stable, quelle que soit la loi initiale.
Réflexes pour le jour de l'épreuve
Questions flash
4 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
La loi est une matrice ligne qui se multiplie à gauche : πn+1=πnP, donc πn=π0Pn. Écrire Pnπ0 est tentant mais la dimension ne convient pas pour une matrice ligne. Les deux autres propositions ne correspondent à aucune récurrence valable.
Ici a=0.2 et b=0.3, donc x=a+bb=0.50.3=0.6. L'erreur fréquente est de prendre a/(a+b)=0.4, qui est la seconde coordonnée.
C'est vrai : Un+1−U=(AUn+B)−(AU+B)=A(Un−U). La constante B disparaît dans la soustraction, ce qui permet d'écrire Vn=AnV0. Penser que B reste dans la relation vient d'un oubli de la soustraction.
Un état stable vérifie πP=π (produit à gauche), a des coefficients positifs et de somme 1, pour être une vraie loi de probabilité. La proposition Pπ=π inverse l'ordre du produit et ne convient pas à une matrice ligne.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi faut-il ajouter la condition « somme égale à 1 » pour trouver l'état stable ?
Le système πP=π est homogène : si π le vérifie, tout multiple de π aussi. Il admet donc une infinité de solutions. La condition x+y=1 choisit celle qui est une loi de probabilité, c'est-à-dire la seule qui a un sens pour la chaîne.
L'état stable dépend-il de la loi initiale ?
Non, l'état stable ne dépend que de P. Dans le cas à deux états avec ∣1−a−b∣<1, on a vu que xn−x=(1−a−b)n(x0−x) : quelle que soit x0, la suite se rapproche de la même valeur x. C'est la loi initiale qui change seulement la vitesse d'approche.
Comment savoir si je dois utiliser une matrice ligne ou colonne ?
Regarde le type de suite. Pour une chaîne de Markov, la loi est une matrice ligne πn et le produit s'écrit πnP. Pour une récurrence du type Un+1=AUn+B, les termes sont des matrices colonnes et A multiplie à gauche. Le sens du produit découle de ces deux conventions.