Mathématiques (spécialité) · TerminaleBac

Méthode d'Euler et approximation : cours de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

La méthode d'Euler construit pas à pas une approximation de la solution d'une équation différentielle du premier ordre dont on connaît la condition initiale.
On pose $x_{n+1}=x_n+h$ et $y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n)$ : on avance le long de la tangente sur un petit pas $h$ .
Plus le pas $h$ est proche de 0, meilleure est l'approximation, mais plus il faut de calculs ; un pas trop grand peut donner un résultat très faux.
En Python, une boucle for qui met à jour $x$ et $y$ suffit ; on stocke les points pour tracer la courbe approchée.
Pour juger la qualité de la méthode, on compare avec la solution exacte quand on la connaît.

Pourquoi approcher une solution ?

Dans le chapitre sur les équations différentielles, tu as résolu des équations comme $y'=y$ ou $y'=ay+b$ : on connaissait une formule pour la solution. Mais la plupart des équations qui décrivent la réalité (une population, une température, un mouvement avec frottements) n'ont pas de solution que l'on sait écrire avec des fonctions usuelles. On cherche alors des valeurs approchées.

La méthode d'Euler répond à ce besoin. Elle porte le nom du mathématicien Leonhard Euler (1707 – 1783) et sert à approcher la solution d'une équation différentielle du premier ordre lorsqu'on dispose d'une condition initiale ³. Parmi toutes les techniques de calcul numérique pour ces équations, c'est la plus élémentaire ³.

Dans ce cours, tu vas :

comprendre l'idée géométrique de la méthode (avancer le long d'une tangente) ;
établir la formule de récurrence et la mettre en œuvre à la main ;
écrire l'algorithme en Python ;
étudier l'influence du pas et les limites de la méthode.

Tu utilises ici ce que tu as appris juste avant : les algorithmes de seuil et de dichotomie reposent déjà sur des boucles et des conditions. Ici, une simple boucle suffira.

Le problème posé

L'idée : suivre la tangente

Imagine que tu marches sur une courbe invisible. Tu connais ton point de départ $(x_0\,;\,y_0)$ et, à chaque instant, tu sais dans quelle direction la courbe part : c'est la pente $y'(x)=f(x,y)$ . Que fais-tu ? Tu avances un petit peu en ligne droite dans cette direction, puis tu recalcules la direction au nouveau point, et tu recommences.

C'est exactement la méthode d'Euler. Mathématiquement, on part de l'approximation affine d'une fonction dérivable autour d'un point : pour $h$ proche de 0,

$y(x_0+h)\approx y(x_0)+h\,y'(x_0).$

La droite d'équation $Y=y(x_0)+y'(x_0)(X-x_0)$ est la tangente à la courbe en $x_0$ . Sur un petit intervalle, la courbe reste proche de sa tangente : remplacer l'une par l'autre commet une petite erreur.

La formule de récurrence

Démonstration · D'où vient la formule ?

Supposons $y_n\approx y(x_n)$ . Pour $h$ petit, l'approximation affine donne

$y(x_n+h)\approx y(x_n)+h\,y'(x_n).$

Or $y'(x_n)=f\big(x_n,y(x_n)\big)\approx f(x_n,y_n)$ . En remplaçant, on obtient

$y(x_{n+1})\approx y_n+h\,f(x_n,y_n)=y_{n+1}.$

Chaque pas s'appuie donc sur le résultat du pas précédent : les petites erreurs peuvent s'accumuler, ce qu'on étudiera plus loin.

Point courantOn connaît $(x_n ; y_n)$.
PenteOn calcule $f(x_n,y_n)$.
Avancée$y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n)$
SuiteOn pose $x_{n+1}=x_n+h$ et on recommence.

Un pas de la méthode d'Euler · Chaque pas utilise uniquement le résultat du pas précédent.

Un exemple complet : y' = y

Euler (h = 0,5) comparé à la solution exacte e^x
x_n	y_n (Euler)	e^(x_n)	Écart
0	1	1	0
0,5	1,5	1,649	0,149
1	2,25	2,718	0,468
1,5	3,375	4,482	1,107

Euler (h = 0,5) comparé à la solution exacte e^x · Valeurs exactes arrondies à 10⁻³ ; l'écart augmente avec n.

L'écart grandit au fil des pas : à $x=0{,}5$ , l'erreur est d'environ $0{,}15$ ; à $x=1{,}5$ , elle dépasse $1{,}1$ . Le pas $h=0{,}5$ est trop grand pour cette équation si l'on veut une bonne précision.

L'algorithme en Python

Programmer la méthode revient à traduire la récurrence en boucle. On a besoin de $f$ , des valeurs initiales, du pas et du nombre de pas (ou de la valeur finale de $x$ ). Les ressources d'accompagnement proposent de mettre en place une fonction Euler, puis de la tester avec un grand nombre de points de calcul ¹.

MéthodeFonction Euler (deux listes en sortie)

def euler(f, x0, y0, h, n):
    xs = [x0]
    ys = [y0]
    x, y = x0, y0
    for _ in range(n):
        y = y + h * f(x, y)   # on utilise l'ancien x et l'ancien y
        x = x + h
        xs.append(x)
        ys.append(y)
    return xs, ys

# y' = y, y(0) = 1, pas 0,1, 10 pas
xs, ys = euler(lambda x, y: y, 0, 1, 0.1, 10)
print(ys[-1])   # environ 2.5937

Les deux listes xs et ys permettent ensuite de tracer la courbe approchée avec une bibliothèque graphique.

Le pas, l'erreur et la stabilité

Pourquoi l'erreur s'accumule-t-elle ? À chaque pas, on remplace la courbe par sa tangente. Si la courbe est convexe, comme celle de $e^x$ , la tangente reste sous la courbe : chaque pas sous-estime un peu, et le point de départ du pas suivant est déjà trop bas. Dans l'exemple $y'=y$ , les valeurs $y_n$ approchent $e^{x}$ par défaut, ce que confirme le tableau précédent.

ExempleUn pas trop grand fait diverger

Prenons $y'=-y$ avec $y(0)=1$ . La solution exacte $e^{-x}$ est positive et décroît vers 0. La formule donne $y_{n+1}=y_n-h\,y_n=(1-h)\,y_n$ , donc $y_n=(1-h)^n$ .

Avec $h=0{,}5$ : $y_n=0{,}5^n$ , la suite décroît vers 0, comme la vraie solution.
Avec $h=1$ : $y_1=0$ , puis tous les termes valent $0$ : l'allure est déjà fausse.
Avec $h=3$ : $y_n=(-2)^n$ . Les valeurs alternent de signe et leur valeur absolue explose.

La suite géométrique de raison $-2$ s'éloigne de la solution au lieu de s'en approcher. Ce phénomène est connu : avec un pas trop grand, les termes calculés grossissent sans cesse et la suite s'écarte de la solution ; on dit que le schéma est instable ³.

Comparer la méthode d'Euler aux valeurs réelles permet de « légitimer » la méthode. ²

Pour aller plus loin : variantes de la méthode

Cette section dépasse un peu le cadre du programme ; elle sert à situer la méthode d'Euler parmi les autres.

Pour corriger l'instabilité d'un pas trop grand, on peut utiliser une méthode d'Euler implicite ³. Dans celle-ci, la pente est évaluée à la fin du pas, au point $(x_{n+1},y_{n+1})$ qui est encore inconnu : il faut donc résoudre une équation à chaque étape. Cette méthode peut ainsi coûter plus cher à utiliser que des méthodes plus élaborées ⁴.

Les méthodes de Runge-Kutta forment une famille plus générale. La plus simple, d'ordre 1, est équivalente à la méthode d'Euler explicite ⁴. Les versions plus évoluées calculent la pente en plusieurs points du pas avant de l'utiliser ⁴, ce qui améliore la précision à pas égal.

Exercices corrigés

Exercice 1 Trois pas pour y' = y

★☆☆Environ 8 min

On considère le problème $y'=y$ , $y(0)=1$ . On applique la méthode d'Euler avec le pas $h=0{,}1$ .

Écris la relation de récurrence entre $y_{n+1}$ et $y_n$ .
Calcule $y_1$ , $y_2$ et $y_3$ .
Donne la valeur de $y_3$ , approximation de $y(0{,}3)$ .

Indice 1

Ici $f(x,y)=y$ , donc $f(x_n,y_n)=y_n$ .

Indice 2

La relation devient $y_{n+1}=y_n(1+h)$ : c'est une suite géométrique.

Voir la correction pas à pas

On a $f(x,y)=y$ , donc $y_{n+1}=y_n+0{,}1\,y_n=1{,}1\,y_n$ .
$y_1=1{,}1\times 1=1{,}1$ .
$y_2=1{,}1\times 1{,}1=1{,}21$ .
$y_3=1{,}1\times 1{,}21=1{,}331$ .

On obtient $y_3=1{,}331$ , à comparer avec $e^{0{,}3}\approx 1{,}350$ : l'approximation est un peu inférieure à la valeur exacte, comme prévu pour une fonction convexe.

Exercice 2 Approcher x² par Euler

★★☆Environ 12 min

On considère $y'=2x$ , $y(0)=0$ , dont la solution exacte est $y(x)=x^2$ . On applique la méthode d'Euler avec $h=0{,}5$ .

Donne $f(x,y)$ et la relation de récurrence.
Complète le tableau des valeurs de $x_n$ et $y_n$ pour $n$ de 0 à 4.
Calcule $y_4$ , approximation de $y(2)$ , puis l'écart avec la valeur exacte.

Indice 1

Ici la pente ne dépend que de $x$ : $f(x_n,y_n)=2x_n$ .

Indice 2

Pense à utiliser $x_n$ , et non $x_{n+1}$ , dans le calcul de la pente.

Voir la correction pas à pas

$f(x,y)=2x$ , donc $y_{n+1}=y_n+0{,}5\times 2x_n=y_n+x_n$ .
$n=0$ : $x_0=0$ , $y_0=0$ .
$n=1$ : $x_1=0{,}5$ , $y_1=0+0=0$ .
$n=2$ : $x_2=1$ , $y_2=0+0{,}5=0{,}5$ .
$n=3$ : $x_3=1{,}5$ , $y_3=0{,}5+1=1{,}5$ .
$n=4$ : $x_4=2$ , $y_4=1{,}5+1{,}5=3$ .
La valeur exacte est $y(2)=4$ : l'écart vaut $4-3=1$ .

On trouve $y_4=3$ alors que $y(2)=4$ . Le pas $0{,}5$ est grand et la méthode utilise toujours la pente du début du pas, ce qui sous-estime une fonction croissante convexe.

Exercice 3 Décroissance et comparaison

★★★Environ 15 min

On considère $y'=-y$ , $y(0)=2$ , dont la solution exacte est $y(x)=2e^{-x}$ .

Montre que, pour un pas $h$ , on a $y_n=2(1-h)^n$ .
Avec $h=0{,}5$ , calcule $y_2$ et compare à $y(1)$ .
Pour quelles valeurs de $h$ la suite $(y_n)$ est-elle positive pour tout $n$ ? Que se passe-t-il pour $h=3$ ?

Indice 1

Écris $y_{n+1}=y_n-h\,y_n$ et reconnais une suite géométrique.

Indice 2

Une suite géométrique de raison $q$ garde un signe constant si $q\geqslant 0$ .

Voir la correction pas à pas

Avec $f(x,y)=-y$ : $y_{n+1}=y_n-h\,y_n=(1-h)\,y_n$ . C'est une suite géométrique de raison $1-h$ et de premier terme $2$ , donc $y_n=2(1-h)^n$ .
Pour $h=0{,}5$ : $y_2=2\times 0{,}5^2=0{,}5$ .
La valeur exacte est $y(1)=2e^{-1}\approx 0{,}736$ : l'approximation $0{,}5$ est trop basse.
La suite est positive pour tout $n$ si $1-h\geqslant 0$ , c'est-à-dire $h\leqslant 1$ (avec $h<1$ elle reste strictement positive).
Pour $h=3$ : raison $-2$ , donc $y_n=2(-2)^n$ . Les termes alternent de signe et leur valeur absolue croît : la suite diverge alors que la vraie solution tend vers 0.

Le calcul de $y_2$ donne $0{,}5$ . Retiens surtout que la raison $1-h$ montre directement pourquoi un pas trop grand rend le schéma instable.

Les questions qu'on se pose

Est-ce que la méthode d'Euler peut tomber au bac ?

Elle relève du chapitre « Algorithmique et programmation » et peut apparaître sous forme de calculs à la main de quelques termes, de compléter un script Python ou d'interpréter un tracé. Entraîne-toi aux trois : écrire la récurrence, calculer $y_1$ , $y_2$ , $y_3$ , et lire un programme.

Comment choisir le pas h ?

Il n'existe pas de valeur universelle. Un pas plus petit améliore l'approximation ², mais augmente le nombre de calculs. En pratique, on compare les résultats obtenus avec $h$ et avec $h/2$ : s'ils sont proches, le pas est acceptable. Un pas trop grand peut même faire diverger la suite calculée ³.

Pourquoi utiliser Euler si on connaît la solution exacte ?

On ne l'utilise pas dans ce cas pour calculer, mais pour tester la méthode : on compare l'approximation à la solution connue afin de juger de la qualité de la méthode ¹. Pour une équation sans solution explicite, la méthode devient réellement utile.

Quelle différence entre Euler explicite et implicite ?

Dans la version explicite, on calcule $y_{n+1}$ avec la pente au début du pas ; c'est celle du cours. Dans la version implicite, la pente est prise à la fin du pas, ce qui oblige à résoudre une équation à chaque étape ⁴, mais corrige l'instabilité d'un pas trop grand ³. Cette version dépasse le programme de Terminale.

Pourquoi mes valeurs sont-elles toujours plus petites que la vraie solution ?

Si la solution est croissante et convexe, comme $e^x$ , la tangente reste sous la courbe. À chaque pas, tu sous-estimes donc un peu, et l'erreur s'accumule. Pour une fonction concave, le phénomène s'inverse.

Sources

Ressources Éduscol — Méthode d'Euler et approximation numérique, Éduscol (Ministère de l'Éducation nationale). Consulté le 6 novembre 2026.
La méthode d'Euler — Ressources pédagogiques, Académie de Besançon. Consulté le 6 novembre 2026.
Méthode d'Euler, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Méthodes de Runge-Kutta, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

Signaler une erreur sur cette page

Méthode d'Euler et approximation : cours de Terminale

L'essentiel

Pourquoi approcher une solution ?

Le problème posé

L'idée : suivre la tangente

La formule de récurrence

Un exemple complet : y' = y

L'algorithme en Python

Le pas, l'erreur et la stabilité

Pour aller plus loin : variantes de la méthode

Exercices corrigés

Exercice 1 Trois pas pour y' = y

Exercice 2 Approcher x² par Euler

Exercice 3 Décroissance et comparaison

Quiz

Les questions qu'on se pose

Sources

Primaire

Collège

Lycée

Supérieur