Mathématiques (spécialité) · Terminale · Géométrie dans l'espace

Orthogonalité et projeté orthogonal

• Deux droites sont orthogonales quand leurs vecteurs directeurs ont un produit scalaire nul ; une droite est orthogonale à un plan quand son vecteur directeur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.
• Le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}=0$ ; si $\vec{n}(a\,;b\,;c)$, l'équation est $ax+by+cz+d=0$.
• Le projeté orthogonal $H$ de $A$ sur un plan $\mathcal{P}$ est le point de $\mathcal{P}$ tel que $(AH)$ soit orthogonale à $\mathcal{P}$ : c'est le point de $\mathcal{P}$ le plus proche de $A$.
• Méthode sur un plan : écrire $H=A+t\vec{n}$, reporter dans l'équation du plan, trouver $t$. Sur une droite $(A\,;\vec{u})$ : $H=A+t\vec{u}$ avec $t=\dfrac{\overrightarrow{AM}\cdot\vec{u}}{\|\vec{u}\|^2}$.