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Méthode d'Euler et approximation : exercices corrigés de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

La méthode d'Euler construit une suite de valeurs approchées d'une solution d'équation différentielle du premier ordre à partir d'une condition initiale.³
À chaque pas, on avance de $h$ en suivant la tangente : $x_{n+1}=x_n+h$ et $y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n)$ .
Plus le pas $h$ est proche de 0, meilleure est l'approximation ; avec un pas trop grand, l'erreur peut devenir importante.²³
Pour un seuil, on boucle tant que la valeur n'est pas atteinte ; pour une erreur, on compare à la solution exacte quand elle est connue.
Avec un pas trop grand, la suite peut diverger de la solution : le schéma est instable.³

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices t'entraînent à appliquer la méthode d'Euler. Il s'agit d'une procédure numérique qui fournit des valeurs approchées d'une solution d'équation différentielle du premier ordre, quand on connaît une condition initiale.³ Parmi les méthodes numériques de résolution des équations différentielles, elle est la plus élémentaire.³ Elle se programme facilement, ce qui en fait un prolongement naturel des algorithmes de seuil et de dichotomie que tu as déjà rencontrés.

Les exercices sont rangés par difficulté croissante. Le niveau 1 demande d'appliquer la formule à la main, le niveau 2 de gérer un nombre de pas, un algorithme ou une équation moins simple, le niveau 3 d'analyser la qualité de l'approximation. Cherche d'abord seul, avec ton brouillon, puis ouvre les indices, et enfin la correction.

Les exercices

Exercice 1 Deux pas à la main

★☆☆Environ 5 min

On considère le problème $y'=y$ avec $y(0)=1$ . On applique la méthode d'Euler avec le pas $h=0{,}1$ .

Calcule $y_1$ .
Calcule $y_2$ , valeur approchée de $y(0{,}2)$ .

Indice 1

Ici $f(x,y)=y$ : le second membre ne dépend que de $y$ .

Indice 2

$y_{n+1}=y_n+0{,}1\,y_n=1{,}1\,y_n$ .

Voir la correction pas à pas

On écrit la relation de récurrence : $y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n)=y_n+0{,}1\,y_n=1{,}1\,y_n$ .
Premier pas : $y_1=1{,}1\times 1=1{,}1$ .
Deuxième pas : $y_2=1{,}1\times 1{,}1=1{,}21$ .
On reconnaît une suite géométrique de raison $1{,}1$ , donc $y_n=1{,}1^n$ et $y_2=1{,}1^2=1{,}21$ .

On obtient $y_2=1{,}21$ comme valeur approchée de $y(0{,}2)$ . Quand $f$ ne dépend que de $y$ de façon linéaire, la suite d'Euler est géométrique.

Exercice 2 Quand f ne dépend que de x

★☆☆Environ 6 min

On considère $y'=2x$ avec $y(0)=0$ et le pas $h=0{,}5$ .

Donne $x_0$ , $x_1$ , $x_2$ .
Calcule $y_1$ puis $y_2$ , valeur approchée de $y(1)$ .
La solution exacte est $y(x)=x^2$ . Quelle est l'erreur commise en $x=1$ ?

Indice 1

Ici $f(x,y)=2x$ : il faut bien utiliser l'abscisse $x_n$ du pas en cours.

Indice 2

Le premier pas se fait en $x_0=0$ , où la pente vaut $0$ .

Voir la correction pas à pas

Les abscisses sont $x_0=0$ , $x_1=0{,}5$ , $x_2=1$ .
Premier pas : $y_1=y_0+0{,}5\times f(x_0,y_0)=0+0{,}5\times 2\times 0=0$ .
Deuxième pas : $y_2=y_1+0{,}5\times f(x_1,y_1)=0+0{,}5\times 2\times 0{,}5=0{,}5$ .
La valeur exacte est $y(1)=1^2=1$ . L'erreur est donc $1-0{,}5=0{,}5$ .

L'approximation $0{,}5$ est loin de la valeur exacte $1$ . La pente utilisée sur un pas est celle du début de l'intervalle : comme la pente $2x$ augmente sur chaque intervalle, la méthode sous-estime ici la valeur exacte. Un pas plus petit réduirait cet écart.²

Exercice 3 Décroissance et comparaison

★★☆Environ 10 min

On considère $y'=-2y$ avec $y(0)=3$ . On veut approcher $y(1)$ avec le pas $h=0{,}25$ .

Combien de pas faut-il ?
Montre que $y_{n+1}=0{,}5\,y_n$ .
Calcule $y_4$ .
La valeur exacte est $3\mathrm{e}^{-2}\approx 0{,}406$ . Commente l'écart.

Indice 1

Le nombre de pas est $\dfrac{b-x_0}{h}$ .

Indice 2

$y_{n+1}=y_n+h(-2y_n)=(1-2h)\,y_n$ .

Voir la correction pas à pas

Nombre de pas : $\dfrac{1-0}{0{,}25}=4$ .
Relation : $y_{n+1}=y_n+0{,}25\times(-2y_n)=y_n-0{,}5\,y_n=0{,}5\,y_n$ .
La suite est géométrique de raison $0{,}5$ et de premier terme $3$ : $y_4=3\times 0{,}5^4=3\times 0{,}0625=0{,}1875$ .
Comparaison : l'approximation $0{,}1875$ est un peu plus de deux fois plus petite que la valeur exacte $0{,}406$ . Le pas $0{,}25$ est trop grand pour une décroissance aussi rapide.

La méthode donne $y_4=0{,}1875$ . L'écart avec la valeur exacte est visible : le pas choisi est insuffisant, ce qui illustre le lien entre pas et qualité de l'approximation.²

Exercice 4 Algorithme de seuil

★★☆Environ 12 min

On reprend $y'=y$ , $y(0)=1$ , avec le pas $h=0{,}1$ . On veut savoir à partir de quel rang la valeur approchée dépasse $2$ . On propose :

def seuil():
    n = 0
    y = 1
    while y <= 2:
        y = y + 0.1 * y
        n = n + 1
    return n

Que représente la variable n ?
Quelle valeur renvoie seuil() ? Justifie par le calcul.

Indice 1

Après $n$ passages dans la boucle, y vaut $1{,}1^n$ .

Indice 2

Résous $1{,}1^n>2$ avec le logarithme.

Voir la correction pas à pas

La variable n compte les pas effectués : à la sortie, c'est le plus petit rang $n$ tel que $y_n>2$ .
Après $n$ passages, y vaut $1{,}1^n$ , car chaque pas multiplie par $1{,}1$ .
On cherche le plus petit entier $n$ tel que $1{,}1^n>2$ , soit $n>\dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}1}\approx 7{,}27$ .
Le plus petit entier convenable est $n=8$ . Vérification : $1{,}1^7\approx 1{,}949<2$ et $1{,}1^8\approx 2{,}144>2$ .

La fonction renvoie $8$ . C'est la même structure qu'un algorithme de seuil classique : la boucle while s'arrête dès que la condition de dépassement est réalisée.

Exercice 5 Une équation non linéaire

★★☆Environ 10 min

On considère $y'=y\left(1-\dfrac{y}{10}\right)$ avec $y(0)=1$ et le pas $h=1$ .

Calcule $y_1$ .
Calcule $y_2$ .
Pourquoi ne peut-on pas ici écrire une suite géométrique ?

Indice 1

Ici $f(x,y)=y\left(1-\dfrac{y}{10}\right)$ : le coefficient multiplicateur dépend de $y$ .

Indice 2

Garde la valeur exacte de $y_1$ pour calculer $y_2$ .

Voir la correction pas à pas

Premier pas : $y_1=1+1\times 1\times\left(1-\dfrac{1}{10}\right)=1+0{,}9=1{,}9$ .
Deuxième pas : $f(x_1,y_1)=1{,}9\times(1-0{,}19)=1{,}9\times 0{,}81=1{,}539$ .
Donc $y_2=1{,}9+1\times 1{,}539=3{,}439$ .
Le facteur par lequel on multiplie $y_n$ change à chaque pas, car il dépend de $y_n$ : ce n'est pas une suite géométrique.

On obtient $y_2=3{,}439$ . Quand $f$ n'est pas linéaire, il n'y a plus de formule fermée simple pour la suite : c'est là que le calcul numérique devient utile.

Exercice 6 Mesurer l'erreur

★★★Environ 15 min

On considère $y'=y$ , $y(0)=1$ , dont la solution exacte est $y(x)=\mathrm{e}^x$ . On approche $y(1)$ par la méthode d'Euler avec $n$ pas de longueur $h=\dfrac{1}{n}$ .

Exprime $y_n$ en fonction de $n$ .
Pour $n=10$ , calcule l'erreur $\mathrm{e}-y_{10}$ , arrondie au dix-millième.
Pour $n=100$ , on trouve $y_{100}\approx 2{,}7048$ . L'erreur a-t-elle été divisée environ par 10 ? Qu'en conclus-tu ?

Indice 1

$y_{k+1}=y_k\left(1+\dfrac{1}{n}\right)$ : suite géométrique.

Indice 2

Utilise $\mathrm{e}\approx 2{,}71828$ et $1{,}1^{10}\approx 2{,}5937$ .

Voir la correction pas à pas

La suite est géométrique de raison $1+\dfrac{1}{n}$ et de premier terme $1$ , donc $y_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ .
Pour $n=10$ : $y_{10}=1{,}1^{10}\approx 2{,}5937$ .
Erreur : $\mathrm{e}-y_{10}\approx 2{,}71828-2{,}59374\approx 0{,}1245$ .
Pour $n=100$ : l'erreur vaut environ $2{,}71828-2{,}7048=0{,}0135$ .
Le rapport $\dfrac{0{,}1245}{0{,}0135}\approx 9{,}2$ : l'erreur a bien été divisée par un peu moins de $10$ quand le pas a été divisé par $10$ .

L'erreur en $x=1$ vaut environ $0{,}1245$ avec dix pas. En divisant le pas par $10$ , l'erreur est à peu près divisée par $10$ . Cela confirme que les approximations sont d'autant meilleures que le pas est proche de 0.²

Exercice 7 Quand le pas est trop grand

★★★Environ 15 min

On considère $y'=-10y$ avec $y(0)=1$ . La solution exacte, $y(x)=\mathrm{e}^{-10x}$ , est positive et tend vers $0$ .

Avec $h=0{,}25$ , exprime $y_{n+1}$ en fonction de $y_n$ .
Calcule $y_1$ , $y_2$ , $y_3$ et $y_4$ .
Compare avec le comportement de la solution exacte.
Avec $h=0{,}05$ , que devient la raison de la suite ?

Indice 1

$y_{n+1}=(1-10h)\,y_n$ .

Indice 2

Une raison de valeur absolue supérieure à 1 fait croître les valeurs absolues.

Voir la correction pas à pas

Relation : $y_{n+1}=y_n+0{,}25\times(-10\,y_n)=y_n-2{,}5\,y_n=-1{,}5\,y_n$ .
Les termes sont $y_1=-1{,}5$ , $y_2=2{,}25$ , $y_3=-3{,}375$ et $y_4=5{,}0625$ .
La solution exacte reste positive et tend vers $0$ , alors que la suite d'Euler alterne de signe et que ses valeurs absolues augmentent : elle diverge de la solution.³
Avec $h=0{,}05$ , la raison vaut $1-10\times 0{,}05=0{,}5$ , comprise entre $0$ et $1$ : la suite décroît vers $0$ comme la solution.

Avec un pas trop grand, la suite prend des valeurs de plus en plus grandes en valeur absolue et s'éloigne de la solution : le schéma est instable.³ Réduire le pas règle ici le problème. On retient qu'un résultat numérique doit toujours être confronté à ce qu'on sait du comportement de la solution.

Les questions qu'on se pose

Comment choisir le pas h ?

Un pas plus petit donne en général une meilleure approximation,² mais demande plus de calculs. Un pas trop grand peut donner une erreur élevée.³ En pratique, on commence avec un pas raisonnable, puis on le divise et on regarde si les valeurs changent peu : si oui, le résultat est probablement fiable.

Que faire quand le sujet ne donne pas la solution exacte ?

Tu ne peux pas calculer l'erreur, mais tu peux comparer les résultats obtenus avec deux pas différents, et vérifier que le comportement est cohérent avec l'équation (signe de $y'$ , croissance ou décroissance).

Pourquoi la méthode d'Euler existe-t-elle, alors qu'on sait résoudre certaines équations ?

Beaucoup d'équations différentielles n'ont pas de solution exprimable avec les fonctions usuelles. La méthode d'Euler donne alors des valeurs approchées. Elle est aussi utile pour juger la qualité d'une méthode numérique en la comparant à une solution analytique connue.¹

Sources

Ressources Éduscol — Méthode d'Euler et approximation numérique, Éduscol (Ministère de l'Éducation nationale). Consulté le 6 novembre 2026.
La méthode d'Euler — Ressources pédagogiques, Académie de Besançon. Consulté le 6 novembre 2026.
Méthode d'Euler, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Méthodes de Runge-Kutta, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Comment utiliser ces exercices

Les exercices

Exercice 1 Deux pas à la main

Exercice 2 Quand f ne dépend que de x

Exercice 3 Décroissance et comparaison

Exercice 4 Algorithme de seuil

Exercice 5 Une équation non linéaire

Exercice 6 Mesurer l'erreur

Exercice 7 Quand le pas est trop grand

Les questions qu'on se pose

Sources

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Supérieur