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Méthode d'Euler et approximation : fiche de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

La méthode d'Euler construit pas à pas des valeurs approchées d'une solution d'une équation différentielle du premier ordre, à partir d'une condition initiale ³.
Récurrence à retenir : $x_{n+1}=x_n+h$ et $y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n)$ , où $h$ est le pas.
Plus le pas est proche de 0, meilleure est l'approximation ; trop grand, l'erreur peut devenir élevée ²³.
En programmation : une boucle qui met à jour $x$ et $y$ ; on compare ensuite avec la solution exacte pour juger la qualité ¹.

L'essentiel à retenir

La méthode d'Euler porte le nom du mathématicien Leonhard Euler (1707 – 1783). C'est une procédure numérique qui permet de résoudre par approximation des équations différentielles du premier ordre associées à une condition initiale ³. On la présente comme la plus simple des méthodes de résolution numérique des équations différentielles ³.

Elle sert quand on ne sait pas (ou qu'on ne veut pas) calculer la solution exacte : on fabrique à la place deux suites de valeurs, que l'on peut ensuite tracer ou comparer à la vraie courbe.

La formule de récurrence

L'algorithme en Python

MéthodeStructure à connaître

Il faut savoir écrire une fonction qui prend le point de départ, le pas et le nombre d'étapes, et renvoie les listes des $x_n$ et des $y_n$ ¹.

def euler(f, x0, y0, h, N):
    X = [x0]
    Y = [y0]
    x, y = x0, y0
    for k in range(N):
        y = y + h * f(x, y)
        x = x + h
        X.append(x)
        Y.append(y)
    return X, Y

Le pas et la qualité de l'approximation

Comparer avec la solution exacte

Les questions qu'on se pose

Pourquoi ne trouve-t-on pas exactement la solution avec la méthode d'Euler ?

Parce qu'on remplace la courbe par ses tangentes sur de petits intervalles : à chaque pas, on commet une petite erreur, qui s'accumule. La méthode est simple, mais l'erreur peut être assez élevée si le pas est trop grand ³. Réduire le pas diminue cette erreur.

Comment savoir si mon approximation est de bonne qualité ?

Si tu connais la solution exacte $\varphi$ , calcule l'écart $\varphi(x_n)-y_n$ et trace les deux courbes ². Sinon, relance le calcul avec un pas plus petit : si les valeurs changent peu, l'approximation est fiable. Sur de longs intervalles, reste prudent, car la courbe peut s'éloigner de l'évolution théorique ¹.

Quel est le lien avec les suites ?

Les valeurs calculées forment deux suites, $(x_n)$ arithmétique de raison $h$ et $(y_n)$ définie par récurrence ². Quand $f(x,y)=ay$ , la suite $(y_n)$ est géométrique de raison $1+ah$ , ce qui permet d'écrire $y_n$ directement.

Sources

Ressources Éduscol — Méthode d'Euler et approximation numérique, Éduscol (Ministère de l'Éducation nationale). Consulté le 6 novembre 2026.
La méthode d'Euler — Ressources pédagogiques, Académie de Besançon. Consulté le 6 novembre 2026.
Méthode d'Euler, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Méthodes de Runge-Kutta, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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