Mathématiques (spécialité) · TerminaleBac

Limites de suites : cours de Terminale spécialité maths

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une suite converge vers un réel $\ell$ si ses termes restent aussi près qu'on veut de $\ell$ dès que $n$ est assez grand ; la limite, si elle existe, est unique ².
Une suite peut aussi tendre vers $+\infty$ ou $-\infty$ ³ ; elle est alors divergente, mais une suite divergente n'a pas forcément de limite infinie (exemple : $(-1)^n$ ).
Limites de référence : $\frac1n\to0$ , $n^2\to+\infty$ , $q^n\to0$ si $-1<q<1$ , $q^n\to+\infty$ si $q>1$ .
Pour lever une forme indéterminée, on factorise par le terme dominant ; pour une suite coincée entre deux autres de même limite, on applique le théorème des gendarmes ².
Une suite croissante et majorée converge ; croissante et non majorée, elle tend vers $+\infty$ ³.

Introduction : à quoi sert une limite de suite ?

Une suite $(u_n)$ est une liste de nombres indexée par les entiers : $u_0, u_1, u_2,\dots$ Jusqu'ici, tu as étudié son sens de variation, tu as calculé des termes, tu as démontré des propriétés par récurrence. Une question reste ouverte : que devient $u_n$ quand $n$ devient très grand ?

Les termes se stabilisent-ils autour d'une valeur ? Grandissent-ils sans s'arrêter ? Oscillent-ils sans jamais se calmer ? C'est le comportement à l'infini de la suite, et la notion de limite sert à le décrire avec précision.

Cette question est très ancienne. Dans les Éléments, Euclide affirme qu'en retirant à une grandeur plus de sa moitié, puis plus de la moitié de ce qui reste, et ainsi de suite, on finit sous n'importe quelle petite grandeur fixée ². Archimède exploite cette idée pour approcher l'aire d'un disque ou d'une surface sous une parabole par des aires de polygones ². La formalisation moderne est arrivée tard, alors que l'usage intuitif remonte à plus de 2 000 ans ².

Dans ce cours, nous allons :

donner un sens précis à « se rapprocher de $\ell$ » ;
distinguer suites convergentes et divergentes ;
apprendre les limites de référence et les règles de calcul ;
lever les formes indéterminées ;
utiliser le théorème des gendarmes, le théorème de la limite monotone et les suites adjacentes.

Tu as besoin du raisonnement par récurrence, qui servira dans une démonstration importante : celle de la limite de $q^n$ .

Limite finie : la suite converge

Commençons par l'idée. Intuitivement, la limite d'une suite est la valeur vers laquelle les termes s'approchent lorsque l'indice devient énorme ². Cette formulation reste floue : que veut dire « s'approcher » ? Il faut une distance, et dans $\mathbb{R}$ c'est la valeur absolue qui la fournit ².

ExempleVoir la limite sur un exemple

Prenons $u_n = 3 + \dfrac{1}{n}$ pour $n\geq1$ .

$n$	1	10	100	1000
$u_n$	4	3,1	3,01	3,001

Les termes se rapprochent de $3$ . L'écart $u_n - 3 = \frac1n$ devient aussi petit qu'on veut. La suite converge vers 3.

Décortiquons la définition. Un intervalle ouvert autour de $\ell$ , c'est par exemple $]\ell - 0{,}01\,;\,\ell + 0{,}01[$ . On te demande de trouver un rang $N$ tel que tous les termes d'indice $n\geq N$ soient dans cet intervalle. Et cela doit marcher pour un intervalle aussi étroit que l'on voudra : $0{,}001$ , puis $0{,}000001$ , etc. Plus l'intervalle est étroit, plus le rang $N$ sera grand, mais il doit toujours exister.

Le mot « tous » est capital : il ne suffit pas qu'un terme de temps en temps tombe dans l'intervalle. À partir du rang $N$ , plus aucun terme ne doit en sortir.

Démonstration · Pourquoi la limite est unique

Supposons qu'une suite ait deux limites $\ell \neq \ell'$ . Choisissons deux intervalles ouverts disjoints, l'un autour de $\ell$ , l'autre autour de $\ell'$ (par exemple de rayon $\frac{|\ell-\ell'|}{3}$ ). À partir d'un certain rang $N_1$ , tous les termes sont dans le premier ; à partir d'un rang $N_2$ , tous sont dans le second. Pour $n\geq\max(N_1,N_2)$ , le terme $u_n$ serait dans les deux intervalles à la fois, ce qui est impossible puisqu'ils sont disjoints. Donc $\ell=\ell'$ .

Limites infinies et suites divergentes

Sur les suites réelles, on accepte aussi $+\infty$ et $-\infty$ comme valeurs de limite ³. Il s'agit de décrire une suite dont les termes deviennent aussi grands (ou aussi négatifs) qu'on le souhaite.

Les comportements possibles d'une suite
Comportement	Exemple	Nature
Limite réelle $\ell$	$3+\frac1n$ (limite 3)	Convergente
Limite $+\infty$	$n^2$	Divergente
Limite $-\infty$	$-n$	Divergente
Pas de limite	$(-1)^n$	Divergente

Les comportements possibles d'une suite · Un même vocabulaire pour classer toute suite réelle.

Les limites de référence

Pour calculer des limites complexes, on part d'un petit stock de limites simples. Les voici, avec leur justification.

Le lien entre les deux familles est très naturel : si une suite positive $(u_n)$ tend vers $+\infty$ , alors $\frac1{u_n}$ tend vers $0$ . En effet, pour avoir $\frac1{u_n}<\varepsilon$ , il suffit d'avoir $u_n>\frac1\varepsilon$ , ce qui arrive à partir d'un certain rang.

Démonstration · Cas q > 1 (inégalité de Bernoulli)

Étape 1 : l'inégalité de Bernoulli. Pour $a>0$ et tout entier $n$ , on a $(1+a)^n\geq1+na$ . On le montre par récurrence.

Initialisation : pour $n=0$ , $(1+a)^0=1\geq1$ . Vrai.
Hérédité : on suppose $(1+a)^n\geq1+na$ . En multipliant par $1+a>0$ : $(1+a)^{n+1}\geq(1+na)(1+a)=1+(n+1)a+na^2\geq1+(n+1)a$ .

Étape 2 : conclusion. Si $q>1$ , on pose $a=q-1>0$ . Alors $q^n\geq1+n(q-1)$ . Comme $q-1>0$ , le membre de droite tend vers $+\infty$ . Donc $q^n$ dépasse tout réel $A$ à partir d'un certain rang : $\lim q^n=+\infty$ .

Cas $0<q<1$ . On écrit $q^n=\dfrac1{(1/q)^n}$ avec $\frac1q>1$ . Le dénominateur tend vers $+\infty$ , donc $q^n\to0$ . Pour $-1<q<0$ , on applique ce résultat à $|q|$ car $|q^n|=|q|^n$ .

Opérations sur les limites et formes indéterminées

Rarement, une suite est directement une limite de référence. Le plus souvent, elle est construite à partir de suites simples par somme, produit ou quotient. On peut alors déterminer sa limite à partir de celles des suites qui la composent, sauf dans certains cas appelés formes indéterminées.

PropriétéSomme, produit, quotient

Si $(u_n)$ et $(v_n)$ ont des limites, alors, en notant $\ell$ et $\ell'$ des réels :

si $u_n\to\ell$ et $v_n\to\ell'$ , alors $u_n+v_n\to\ell+\ell'$ , $u_nv_n\to\ell\ell'$ , et $\frac{u_n}{v_n}\to\frac{\ell}{\ell'}$ si $\ell'\neq0$ ;
si $u_n\to\ell$ et $v_n\to+\infty$ , alors $u_n+v_n\to+\infty$ ;
si $u_n\to+\infty$ et $v_n\to+\infty$ , alors $u_n+v_n\to+\infty$ et $u_nv_n\to+\infty$ ;
si $u_n\to\ell$ (réel) et $v_n\to\pm\infty$ , alors $\frac{u_n}{v_n}\to0$ .

Ces règles se retrouvent par bon sens. Si $u_n$ est proche de $\ell$ et $v_n$ proche de $\ell'$ , la somme est proche de $\ell+\ell'$ . Si l'un des deux termes devient énorme et que l'autre reste borné, l'énorme l'emporte.

Le théorème des gendarmes

Il arrive qu'on ne sache pas calculer directement la limite, par exemple pour $u_n=\frac{\sin n}{n}$ ou $u_n=\frac{(-1)^n}{n}$ . L'idée consiste alors à coincer la suite entre deux autres dont on connaît la limite.

Démonstration · Idée de la preuve

Prenons un intervalle ouvert $I$ autour de $\ell$ . À partir d'un rang $N_1$ , tous les $v_n$ sont dans $I$ ; à partir de $N_2$ , tous les $w_n$ y sont. Pour $n$ assez grand, $u_n$ est compris entre deux nombres de $I$ . Comme un intervalle contient tout ce qui est entre deux de ses éléments, $u_n\in I$ . Donc $u_n\to\ell$ .

Suites monotones et suites adjacentes

Un autre outil permet de prouver qu'une limite existe sans la calculer : l'étude de la monotonie combinée à une borne.

Méthode générale pour étudier une limite

IdentifierRepérer la forme de la suite
AppliquerLimites de référence et opérations
FactoriserLever la forme indéterminée
EncadrerGendarmes ou limite monotone
ConclureCiter la règle utilisée

Étudier la limite d'une suite

Rédiger au bac : pièges et réflexes

Au bac, la limite d'une suite apparaît dans presque tous les sujets de spécialité. On te demandera typiquement de conjecturer une limite avec la calculatrice, de la démontrer, puis de déterminer un seuil avec un algorithme ou par le calcul.

Exercices corrigés

Exercice 1 Trouver un rang à partir duquel une suite est proche de sa limite

★☆☆Environ 8 min

On considère la suite $u_n=\dfrac1n$ pour $n\geq1$ , de limite $0$ . Déterminer le plus petit entier $N$ tel que, pour tout $n\geq N$ , on ait $u_n<0{,}001$ .

Indice 1

Résous l'inéquation $\frac1n<0{,}001$ en inversant les deux membres (tout est positif).

Indice 2

Un entier strictement supérieur à $1000$ est au moins $1001$ .

Voir la correction pas à pas

On résout $\frac1n<0{,}001$ , soit $\frac1n<\frac1{1000}$ .
Tous les nombres étant strictement positifs, on obtient $n>1000$ .
Le plus petit entier strictement supérieur à $1000$ est $1001$ .
Pour $n\geq1001$ , la suite étant décroissante, on a bien $u_n<0{,}001$ .

Le rang cherché est $N=1001$ . Ce type de raisonnement est celui de la définition : pour chaque précision demandée, on exhibe un rang.

Exercice 2 Limite d'un quotient avec forme indéterminée

★★☆Environ 12 min

Soit $u_n=\dfrac{3n^2+2n}{n^2+1}$ pour $n\in\mathbb{N}$ .

Quelle forme indéterminée obtient-on en passant directement à la limite ?
Factoriser numérateur et dénominateur par $n^2$ .
En déduire la limite de $(u_n)$ .

Indice 1

Après factorisation, il reste des termes de la forme $\frac2n$ et $\frac1{n^2}$ .

Indice 2

Ces termes tendent vers $0$ .

Voir la correction pas à pas

Le numérateur et le dénominateur tendent vers $+\infty$ : on a la forme $\frac\infty\infty$ .
On factorise : $u_n=\dfrac{n^2\left(3+\frac2n\right)}{n^2\left(1+\frac1{n^2}\right)}=\dfrac{3+\frac2n}{1+\frac1{n^2}}$ pour $n\geq1$ .
Comme $\frac2n\to0$ et $\frac1{n^2}\to0$ , le numérateur tend vers $3$ et le dénominateur vers $1$ .
Par quotient, $\lim u_n=\frac31=3$ .

La limite est $3$ : c'est le rapport des coefficients des termes dominants. Retiens la factorisation, c'est elle qu'on attend dans la rédaction.

Exercice 3 Seuil pour une suite géométrique

★★★Environ 12 min

Soit $u_n=1{,}5^n$ .

Justifier que $\lim u_n=+\infty$ .
Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n>1000$ (on pourra utiliser la fonction logarithme népérien).

Indice 1

Pour la question 1, regarde la valeur de la raison par rapport à $1$ .

Indice 2

Pour la question 2, $1{,}5^n>1000\iff n\ln(1{,}5)>\ln(1000)$ , car $\ln$ est croissante.

Voir la correction pas à pas

La raison $q=1{,}5$ est strictement supérieure à $1$ , donc $\lim 1{,}5^n=+\infty$ .
On résout $1{,}5^n>1000$ . En passant au logarithme (fonction croissante) : $n\ln(1{,}5)>\ln(1000)$ .
Comme $\ln(1{,}5)>0$ , on divise : $n>\dfrac{\ln 1000}{\ln 1{,}5}\approx17{,}04$ .
Le plus petit entier strictement supérieur à $17{,}04$ est $18$ .
Vérification : $1{,}5^{17}\approx985{,}3<1000$ et $1{,}5^{18}\approx1477{,}9>1000$ .

Le premier rang pour lequel $u_n>1000$ est $n=18$ . La suite étant croissante, l'inégalité reste vraie pour tous les rangs suivants.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si une suite converge ou diverge ?

Commence par chercher sa limite avec les limites de référence et les règles d'opérations. Si tu trouves un réel, elle converge ; si tu trouves $\pm\infty$ , elle diverge. Si la suite est définie par récurrence, étudie sa monotonie et ses bornes : croissante et majorée (ou décroissante et minorée) implique la convergence ³.

Quelle différence entre « diverger » et « tendre vers l'infini » ?

Tendre vers $\pm\infty$ est un cas de divergence, mais pas le seul. Une suite divergente peut aussi ne pas avoir de limite, comme $(-1)^n$ . Toute suite qui tend vers l'infini diverge, mais l'inverse est faux.

Pourquoi $\infty-\infty$ n'est-il pas égal à $0$ ?

Parce que « $\infty$ » ne désigne pas un nombre mais un comportement. Avec $n^2-n$ on obtient $+\infty$ , avec $(n+1)-n$ on obtient $1$ , avec $n-n^2$ on obtient $-\infty$ . Les trois suites ont la forme $+\infty-\infty$ et trois limites différentes. D'où le nom d'indétermination : il faut transformer l'expression.

Une calculatrice suffit-elle pour prouver une limite ?

Non. Elle permet de conjecturer une limite en calculant de nombreux termes, mais ne démontre rien : une suite peut rester proche d'une valeur pendant des millions de termes avant de s'en éloigner. Au bac, une conjecture doit toujours être suivie d'une démonstration.

Peut-on utiliser le théorème des gendarmes avec une inégalité qui n'est vraie qu'à partir d'un certain rang ?

Oui. Une limite ne dépend que du comportement à partir d'un certain rang : il suffit que l'encadrement $v_n\leq u_n\leq w_n$ soit vrai pour tout $n$ assez grand, et que $v_n$ et $w_n$ aient la même limite ².

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques - spécialité Terminale générale (Suites, Limites de suites) · Ministère de l'Éducation Nationale / Eduscol

Programme de mathématiques - spécialité Terminale générale (Suites, Limites de suites), Ministère de l'Éducation Nationale / Eduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Limite d'une suite, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Suite (mathématiques), Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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L'essentiel

Introduction : à quoi sert une limite de suite ?

Limite finie : la suite converge

Limites infinies et suites divergentes

Les limites de référence

Opérations sur les limites et formes indéterminées

Le théorème des gendarmes

Suites monotones et suites adjacentes

Méthode générale pour étudier une limite

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Exercice 1 Trouver un rang à partir duquel une suite est proche de sa limite

Exercice 2 Limite d'un quotient avec forme indéterminée

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