Limites de suites : exercices corrigés de Terminale

On écrit $3n+1 = 3(n+2) - 5$, car $3(n+2) = 3n+6$ et $3n+6-5 = 3n+1$.

Donc $u_n = \dfrac{3(n+2)-5}{n+2} = 3 - \dfrac{5}{n+2}$ : on obtient $a = 5$.

Le dénominateur $n+2$ devient aussi grand qu'on veut quand $n$ grandit, donc $\dfrac{5}{n+2}$ se rapproche de $0$.

Par conséquent $u_n$ se rapproche de $3$ : la suite converge vers $3$.

Comme $n+2>0$, on a $|u_n-3| = \dfrac{5}{n+2}$.

L'inégalité $\dfrac{5}{n+2} < 0{,}01$ équivaut à $n+2 > \dfrac{5}{0{,}01} = 500$.

Donc $n > 498$, soit $n \geq 499$ puisque $n$ est entier.

Vérification : pour $n = 498$, $\dfrac{5}{500} = 0{,}01$, ce qui n'est pas strictement inférieur à $0{,}01$ ; pour $n = 499$, $\dfrac{5}{501} \approx 0{,}00998 < 0{,}01$.

Numérateur et dénominateur deviennent tous deux aussi grands qu'on veut : le quotient est une forme indéterminée « infini sur infini », qu'on doit lever par calcul.

On factorise : $v_n = \dfrac{n^2\left(2 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{3}{n^2}\right)}{n^2\left(5 + \dfrac{1}{n^2}\right)}$.

On simplifie par $n^2$ (non nul pour $n \geq 1$) : $v_n = \dfrac{2 - \frac{1}{n} + \frac{3}{n^2}}{5 + \frac{1}{n^2}}$.

Les quotients $\frac{1}{n}$, $\frac{3}{n^2}$ et $\frac{1}{n^2}$ se rapprochent de $0$, donc le numérateur se rapproche de $2$ et le dénominateur de $5$.

On factorise : $w_n = n^2\left(1 - \dfrac{5}{n} + \dfrac{1}{n^2}\right)$ pour $n \geq 1$.

La parenthèse se rapproche de $1$ ; dès que $n \geq 10$, on a $\dfrac{5}{n} \leq 0{,}5$ et $\dfrac{1}{n^2} \geq 0$, donc la parenthèse est supérieure ou égale à $0{,}5$ et $w_n \geq 0{,}5\,n^2$.

Pour un réel $A$ donné, $0{,}5\,n^2 > A$ dès que $n > \sqrt{2A}$ : tous les termes suivants dépassent $A$. La suite tend donc vers $+\infty$ ³.

Pour la question 3 : $w_{35} = 1225 - 175 + 1 = 1051 > 1000$ ; $w_{34} = 1156 - 170 + 1 = 987 < 1000$. La suite étant croissante à partir de $n=3$ (car $w_{n+1}-w_n = 2n-4$), le rang cherché est $35$.

Pour tout réel, $-1 \leq \sin n \leq 1$. On en déduit $2n - 1 \leq 2n + \sin n \leq 2n + 1$.

On divise par $n > 0$ : $2 - \dfrac{1}{n} \leq t_n \leq 2 + \dfrac{1}{n}$.

Les deux suites de l'encadrement convergent vers $2$, car $\dfrac{1}{n}$ se rapproche de $0$.

D'après le théorème des gendarmes, une suite encadrée par deux suites de même limite $\ell$ converge vers $\ell$ ². Ici $\ell = 2$.

Les termes d'indice pair valent $1$ et ceux d'indice impair valent $-1$, à tous les rangs.

Si la suite convergeait vers $\ell$, tous les termes à partir d'un certain rang seraient dans l'intervalle $\left]\ell - \tfrac12;\ \ell + \tfrac12\right[$, de longueur $1$.

Or $1$ et $-1$ sont à distance $2$ : ils ne peuvent pas appartenir tous deux à cet intervalle, alors que les deux valeurs apparaissent à des rangs arbitrairement grands.

C'est cohérent avec l'unicité de la limite : les termes ne peuvent pas se trouver dans deux intervalles disjoints ². L'hypothèse est absurde.

Initialisation : $u_0 = 1$ vérifie $0 \leq 1 \leq 2$.

Hérédité : si $0 \leq u_n \leq 2$, alors $2 \leq u_n + 2 \leq 4$, et la racine carrée étant croissante, $\sqrt{2} \leq u_{n+1} \leq 2$, donc $0 \leq u_{n+1} \leq 2$. La propriété est vraie pour tout $n$.

Monotonie : $u_{n+1} - u_n = \dfrac{(u_n+2) - u_n^2}{\sqrt{u_n+2} + u_n} = \dfrac{-(u_n - 2)(u_n + 1)}{\sqrt{u_n+2} + u_n}$. Le dénominateur est strictement positif, $u_n + 1 > 0$ et $2 - u_n \geq 0$ : la différence est positive ou nulle, la suite est croissante.

Convergence : la suite est croissante et majorée par $2$, donc convergente d'après le théorème de la limite monotone ³, et sa limite est inférieure ou égale à $2$ ³.

Limite : en admettant le passage à la limite dans la relation de récurrence, $\ell = \sqrt{\ell + 2}$, d'où $\ell \geq 0$ et $\ell^2 - \ell - 2 = 0$, soit $(\ell - 2)(\ell + 1) = 0$. La solution $\ell = -1$ est négative, donc écartée : $\ell = 2$.

L'équation $x = \frac12 x + 3$ donne $\frac12 x = 3$, donc $\alpha = 6$.

On soustrait : $u_{n+1} - 6 = \frac12 u_n + 3 - \left(\frac12 \cdot 6 + 3\right) = \frac12 (u_n - 6)$, soit $d_{n+1} = \frac12 d_n$.

Récurrence : $d_0 = 4 > 0$, et si $d_n > 0$ alors $d_{n+1} = \frac12 d_n > 0$. Donc $u_n > 6$ pour tout $n$ : la suite est minorée par $6$.

Décroissance : $u_{n+1} - u_n = d_{n+1} - d_n = -\frac12 d_n < 0$.

La suite est décroissante et minorée, donc convergente par le théorème de la limite monotone ³, avec une limite supérieure ou égale à $6$ ³.

Notons $\ell$ cette limite. En passant à la limite dans $u_{n+1} = \frac12 u_n + 3$ (on l'admet), on obtient $\ell = \frac12 \ell + 3$, donc $\ell = 6$.