Mathématiques (spécialité) · TerminaleBac
Limites de suites : quiz de Terminale spécialité
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Une suite converge quand elle admet une limite réelle ; sinon elle diverge, même si elle tend vers ou .23
- Quand elle existe, la limite est unique.2
- Le théorème des gendarmes : une suite encadrée par deux suites de même limite converge vers .2
- Le théorème de la limite monotone : croissante et majorée, elle converge ; croissante et non majorée, elle tend vers .3
- Deux suites adjacentes convergent et ont la même limite.2
Avant de commencer
Ce quiz teste ta maîtrise des idées centrales sur les limites de suites : ce que signifie « se rapprocher d'une valeur », la différence entre convergence et divergence, l'unicité de la limite, et les trois grands outils de Terminale pour prouver qu'une limite existe ou la calculer. Les questions mélangent vocabulaire, raisonnement et petits calculs. Lis chaque énoncé en entier : une grande partie des erreurs vient d'un mot lu trop vite, comme « majorée » à la place de « minorée », ou « converge » à la place de « tend vers l'infini ».
Quiz
16 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
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La limite est l'élément dont les termes se rapprochent quand les indices deviennent très grands.2 La dernière proposition est tentante mais fausse : la suite se rapproche de sans jamais valoir . De même, la limite n'est pas le maximum des termes : une suite peut croître vers sa limite sans l'atteindre.
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Une suite qui admet une limite réelle est dite convergente : elle converge vers .2 « Croissante » parle du sens de variation, pas de la limite : la suite converge sans être croissante. « Bornée par » est faux en général, car une suite convergente peut dépasser sa limite.
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Faux. Quand elle existe, la limite est unique : les termes ne peuvent pas se trouver, à partir d'un certain rang, dans deux intervalles disjoints.2 L'erreur tentante consiste à penser qu'une suite qui oscille entre deux valeurs a deux limites ; en réalité, une telle suite n'a justement aucune limite.
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Pour les suites réelles, on élargit les limites possibles aux deux limites infinies et .3 Dire « seulement » oublie les suites qui décroissent sans borne, comme . Dire qu'une limite est toujours un réel ignore ces cas, que l'on traite pourtant en Terminale.
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Faux. On dit qu'une suite converge quand elle possède une limite réelle.2 Une suite qui tend vers a bien une limite au sens élargi, mais cette limite n'est pas un réel : la suite est donc divergente. L'erreur tentante vient du mot « limite » employé dans les deux cas.
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C'est le théorème des gendarmes : une suite encadrée par deux suites qui convergent vers la même limite converge aussi vers .2 Ici . Dire qu'on ne peut rien conclure serait vrai si les deux gendarmes avaient des limites différentes, mais ce n'est pas le cas. Et rien n'impose que soit croissante : l'encadrement ne donne aucune information sur les variations.
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Comme vaut ou , on a . Les deux suites qui encadrent tendent vers , donc converge vers d'après le théorème des gendarmes.2 L'alternance de signe ne suffit pas à faire diverger une suite : ce qui compte, c'est que les valeurs absolues deviennent aussi petites qu'on veut. La limite confond la suite avec seul.
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L'inégalité équivaut, pour , à . Le plus petit entier strictement supérieur à est . Le piège est de répondre : pour , on trouve exactement , ce qui n'est pas strictement inférieur. Ce type de calcul illustre l'idée de limite : à partir d'un certain rang, les termes entrent dans un petit intervalle autour de et y restent.2
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On a . L'inégalité équivaut à , donc le plus petit entier est . Pour , on obtient exactement , qui n'est pas strictement inférieur. Cette distance de plus en plus petite à traduit le fait que se rapproche de quand l'indice grandit.2
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D'après le théorème de la limite monotone, une suite réelle croissante et majorée est convergente.3 Elle ne peut pas tendre vers , puisqu'un majorant l'en empêche. Elle n'a pas besoin d'être constante : est croissante, majorée par , et non constante.
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Le théorème de la limite monotone donne la convergence et l'inégalité pour un majorant .3 Ici . Le théorème ne dit pas que la limite vaut le majorant : la suite est majorée par mais converge vers . Il ne dit pas non plus : le sens de l'inégalité suit celui du majorant.
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Vrai. C'est l'autre volet du théorème de la limite monotone : une suite réelle croissante et non majorée tend vers .3 Attention à l'hypothèse « croissante » : sans elle, une suite non majorée peut osciller sans tendre vers , comme la suite des termes .
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Pour une suite décroissante et minorée par , le théorème assure la convergence et l'inégalité .3 Les termes descendent sans pouvoir passer sous , donc la limite reste au-dessus. Le sens contraire, , est l'erreur la plus fréquente : elle copie l'inégalité du cas croissant et majoré.
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Les termes valent et à tour de rôle, indéfiniment. Si elle avait une limite , tous les termes à partir d'un certain rang devraient se trouver dans un intervalle de rayon aussi petit qu'on veut autour de ,2 ce qui est impossible avec deux valeurs distantes de . Être bornée n'empêche pas de converger (la suite est bornée et converge), et la croissance n'est pas nécessaire non plus.
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Les suites adjacentes permettent d'établir qu'une limite existe, puis de la situer entre deux valeurs aussi proches l'une de l'autre que l'on veut.3 Deux suites adjacentes convergent et ont la même limite.2 Elles ne servent ni à sommer des termes ni à prouver une croissance : la monotonie fait partie de la définition des suites adjacentes, pas de leur résultat.
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La formalisation de la limite vient assez tard, mais son utilisation intuitive remonte à plus de 2 000 ans : on la lit dans les Éléments d'Euclide (livre X, proposition 1).2 Archimède s'en sert ensuite dans ses méthodes de quadrature, en réduisant à chaque étape l'écart avec l'aire cherchée de plus de moitié.2 Les autres ouvrages proposés ne contiennent pas ce résultat.
Les questions qu'on se pose
Quelle différence entre une suite qui diverge et une suite qui tend vers l'infini ?
Comment choisir entre le théorème des gendarmes et le théorème de la limite monotone ?
Si tu peux encadrer ta suite par deux suites dont tu connais la limite commune, utilise les gendarmes : tu obtiens la limite exacte.2 Si tu connais surtout le sens de variation et une majoration (ou minoration), la limite monotone assure l'existence de la limite, mais pas sa valeur.3 Pour la valeur, il faut alors un autre argument, comme une relation de récurrence.
Pourquoi une suite croissante et majorée converge-t-elle sans forcément atteindre son majorant ?
Le théorème garantit que la limite existe et qu'elle est inférieure ou égale au majorant.3 Elle n'est pas obligée de lui être égale : un majorant peut être très large. Pour , tout réel supérieur ou égal à est un majorant, alors que la limite vaut .
Sources
Programme visé : Programme de mathématiques - spécialité Terminale générale (Suites, Limites de suites) · Ministère de l'Éducation Nationale / Eduscol
- Programme de mathématiques - spécialité Terminale générale (Suites, Limites de suites), Ministère de l'Éducation Nationale / Eduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
- Limite d'une suite, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
- Suite (mathématiques), Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
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