Deuxième loi de Newton : exercices corrigés de Terminale

Le système est la voiture, le référentiel est le référentiel terrestre supposé galiléen.

On applique la deuxième loi de Newton à masse constante : $\sum \vec F = m\,\vec a$.

Les vecteurs ont même direction et même sens, donc les valeurs vérifient $\sum F = m\,a$.

Application numérique : $\sum F = 1200 \times 2{,}5 = 3000$ N.

Système : le chariot ; référentiel : le sol, supposé galiléen.

Deuxième loi de Newton : $\sum \vec F = m\,\vec a$, donc $\vec a = \dfrac{\sum \vec F}{m}$.

Les valeurs vérifient $a = \dfrac{450}{75}$.

Application numérique : $a = 6$ m·s⁻².

Système : la caisse ; référentiel terrestre supposé galiléen.

Bilan : poids et réaction (verticaux, qui se compensent), traction (+), frottements (−) sur l'axe horizontal orienté dans le sens du mouvement.

Projection de $\sum \vec F = m\,\vec a$ sur l'axe horizontal : $800 - 300 = 250\,a$.

Donc $a = \dfrac{500}{250} = 2$ m·s⁻².

Système : la bille ; référentiel terrestre supposé galiléen ; seule force : le poids $\vec P = m\vec g$.

Deuxième loi de Newton : $m\vec g = m\vec a$, donc $\vec a = \vec g$. La masse se simplifie : l'accélération ne dépend pas de la masse.²

Sur l'axe vertical orienté vers le bas : $a_z = g$.

Intégration : $v_z(t) = g\,t + v_{0z}$, avec $v_{0z} = 0$, donc $v_z(t) = g\,t$.

À $t = 3{,}0$ s : $v = 9{,}81 \times 3{,}0 = 29{,}43$ m·s⁻¹.

Le vecteur vitesse initiale a pour composantes $\vec v_0 = (v_0\cos\alpha,\ v_0\sin\alpha)$.²

Le poids est vertical : sa composante horizontale est nulle. La projection de $m\vec g = m\vec a$ sur $x$ donne $a_x = 0$.

Par intégration, $v_x(t) = v_{0x}$ : la composante horizontale est constante.

$v_x = v_0\cos\alpha = 20 \times \cos 30° \approx 17{,}3$ m·s⁻¹.

Projection de la deuxième loi sur $z$ (vers le haut) : $-mg = m\,a_z$, donc $a_z = -g$.

Intégration avec $v_{0z} = v_0\sin\alpha$ : $v_z(t) = -g\,t + v_0\sin\alpha$.

Au sommet, $v_z(t_S) = 0$, donc $t_S = \dfrac{v_0\sin\alpha}{g}$.

Application numérique : $t_S = \dfrac{20 \times 0{,}5}{9{,}81} \approx 1{,}02$ s.

Système : le palet ; référentiel terrestre supposé galiléen ; forces : poids $\vec P$ et réaction $\vec R$.

Deuxième loi de Newton : $\vec P + \vec R = m\,\vec a$.

Projection sur l'axe parallèle au plan, orienté vers le bas : $R$ ne contribue pas et $P$ contribue à hauteur de $mg\sin\theta$. Donc $mg\sin\theta = m\,a$.

$a = g\sin\theta = 9{,}81 \times 0{,}5 = 4{,}905$ m·s⁻².

Système : la cabine ; référentiel terrestre supposé galiléen ; forces : tension $\vec T$ (vers le haut) et poids $\vec P$ (vers le bas).

Projection de $\vec T + \vec P = m\,\vec a$ sur l'axe vertical vers le haut : $T - mg = m\,a_z$.

Poids : $mg = 800 \times 9{,}81 = 7848$ N.

$a_z = \dfrac{T - mg}{m} = \dfrac{9600 - 7848}{800} = \dfrac{1752}{800} = 2{,}19$ m·s⁻².

Axe $z$ vertical vers le haut, origine au sol. Deuxième loi : $-mg = m\,a_z$, donc $a_z = -g$.

Première intégration : $v_z(t) = -g\,t + v_0$.

Seconde intégration : $z(t) = -\dfrac{1}{2}g\,t^2 + v_0\,t$, car $z(0) = 0$.²

Sommet : $v_z(t_S) = 0$ donne $t_S = \dfrac{v_0}{g} = \dfrac{15}{9{,}81} \approx 1{,}53$ s.

$z(t_S) = -\dfrac{1}{2}g\,t_S^2 + v_0\,t_S = \dfrac{v_0^2}{2g}$.

Application numérique : $\dfrac{15^2}{2 \times 9{,}81} = \dfrac{225}{19{,}62} \approx 11{,}5$ m.

Deuxième loi de Newton : $\sum \vec F = m\,\vec a = \vec 0$, donc $\vec a = \vec 0$ puisque $m \neq 0$.

Un vecteur accélération nul signifie que le vecteur vitesse ne varie pas : ni sa valeur, ni sa direction, ni son sens.

Deux cas sont donc possibles : le palet est immobile, ou il se déplace en ligne droite à vitesse constante.⁵