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Satellites et lois de Kepler : cours de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Les lois de Kepler décrivent le mouvement des planètes autour du Soleil et, par analogie, celui des satellites autour d'une planète.⁴
Pour un mouvement circulaire dans un champ de gravitation, l'accélération est centripète : le mouvement est uniforme et $v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ .
La période de révolution vérifie $\dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{GM}$ : ce rapport ne dépend que de l'astre central.
Plus un satellite est loin de l'astre attracteur, plus il est lent et plus sa période est longue.
La loi des aires (deuxième loi) vaut pour tout mouvement à accélération centrale ; les première et troisième lois sont plus restrictives.⁴

Introduction : de Kepler aux satellites

Pourquoi la Lune reste-t-elle autour de la Terre, et pourquoi un satellite de télécommunication semble-t-il immobile dans le ciel ? Pour répondre, tu vas réutiliser ce que tu connais déjà : les vecteurs vitesse et accélération, la deuxième loi de Newton, et l'étude des mouvements dans un champ uniforme (pesanteur, champ électrique). Ici, le champ n'est plus uniforme : il est dirigé vers un astre et dépend de la distance à cet astre.

Le programme de Terminale demande de caractériser les vecteurs vitesse et accélération du centre de masse d'un système en mouvement circulaire dans un champ de gravitation, puis d'établir et d'exploiter la troisième loi de Kepler dans le cas d'une orbite circulaire.¹ Il propose aussi, avec un langage de programmation, de tester les deuxième et troisième lois de Kepler.¹

Ce cours suit un fil simple : d'abord l'histoire et l'énoncé des lois, ensuite le cas général d'une accélération centrale, puis la démonstration dans le cas circulaire, enfin les applications aux satellites et les limites du modèle.

Les lois de Kepler : origine et domaine de validité

Ces lois portent le nom de l'astronome Johannes Kepler. Il les a établies de manière empirique, c'est-à-dire à partir des observations et des mesures de position des planètes.⁴ Les deux premières ont été publiées en 1609 dans Astronomia nova, la troisième en 1619 dans Harmonices Mundi.⁴

Kepler cherchait un ordre cosmique : des formes et des proportions que l'on retrouverait partout dans l'univers, la géométrie gouvernant le mouvement des planètes.³ Dans Astronomia nova, il s'intéresse aussi à la nature de la force responsable du mouvement des planètes, une force qu'il juge « quasi magnétique », donc physique et non plus divine.⁵

Newton a fait le rapprochement entre la mécanique classique et la loi des périodes de Kepler.⁴ Les relations de Kepler lui ont ensuite servi à bâtir la théorie de la gravitation universelle.⁵ Autrement dit, Kepler décrit le « comment », la mécanique newtonienne explique le « pourquoi ».

Accélération centrale et champ de gravitation

Un satellite de masse $m$ en orbite autour d'un astre de masse $M$ , beaucoup plus grande, est étudié dans le référentiel centré sur l'astre, supposé galiléen. On néglige les autres astres et les frottements : on se ramène à un problème à deux corps.⁴ On applique la deuxième loi de Newton au centre de masse du satellite :

$\sum \vec F = m\,\vec a$

Pour un même corps placé dans des conditions initiales différentes, les première et troisième lois s'appliquent aussi, avec des coefficients qui dépendent du problème.⁴ La forme de la trajectoire (ellipse, cercle) dépend donc de la vitesse initiale, pas seulement de la force. Le cercle est un cas particulier d'ellipse, celui où les deux foyers sont confondus.

Mouvement circulaire d'un satellite : vitesse et accélération

Supposons la trajectoire circulaire de rayon $r$ centrée sur l'astre. On utilise le repère de Frenet $(\vec u_t,\vec u_n)$ : $\vec u_t$ tangent à la trajectoire dans le sens du mouvement, $\vec u_n$ dirigé vers le centre. Dans ce repère, l'accélération s'écrit en général

$\vec a = \dfrac{dv}{dt}\,\vec u_t + \dfrac{v^2}{r}\,\vec u_n .$

BilanUne seule force : l'attraction de l'astre.
NewtonÉcrire la deuxième loi, l'accélération vaut GM/r².
ProjeterTangente : v constante. Normale : v²/r = GM/r².
Conclurev = √(GM/r) puis T = 2πr/v.

Démarche pour un satellite en orbite circulaire

Période de révolution et troisième loi de Kepler

Démonstration · Établir la troisième loi pour une orbite circulaire

Le mouvement est uniforme : le satellite parcourt la circonférence $2\pi r$ à la vitesse $v$ , donc

$T=\dfrac{2\pi r}{v}.$

On remplace $v$ par $\sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ :

$T=2\pi r\sqrt{\dfrac{r}{GM}}=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}}.$

En élevant au carré :

$T^2=\dfrac{4\pi^2}{GM}\,r^3\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{GM}.$

Le second membre ne dépend ni du satellite ni de sa masse, mais seulement de l'astre attracteur.

Deuxième loi de Kepler : la loi des aires

La loi des aires reste vraie dès que l'accélération d'un corps pointe en permanence vers un point fixe.⁴ C'est donc une propriété très générale : elle vaut pour une trajectoire elliptique, alors que les première et troisième lois ne valent pas pour tous les mouvements de ce type.⁴

Les trois lois de Kepler en bref
Loi	Idée	Publication
Première	Orbite elliptique	1609, Astronomia nova
Deuxième	Aires égales, durées égales	1609, Astronomia nova
Troisième	T² / a³ constant autour d'un même astre	1619, Harmonices Mundi

Les trois lois de Kepler en bref

Applications : satellites, Lune, limites du modèle

Ces lois se transposent à n'importe quel corps qui tourne autour d'un objet central dominant : la Lune autour de la Terre, un satellite artificiel terrestre, les nombreuses lunes des planètes du système solaire. Ce qui varie d'un cas à l'autre, c'est la valeur de la constante de la troisième loi, qui dépend de la masse de l'objet central.⁴

Les lois de Kepler découlent du problème à deux corps, mais c'est une approximation : les systèmes planétaires sont en réalité des problèmes à $N$ corps.⁴ Dans le détail, l'ellipse que décrit chaque planète a pour foyer le centre de masse du système et non le centre du Soleil ; la description centrée sur le Soleil n'est qu'une première approximation.²

Ces écarts aux lois ne sont pas des échecs, ils sont utiles. Les irrégularités du mouvement d'Uranus ont permis à Le Verrier de découvrir Neptune par le calcul en 1846, ensuite confirmée par l'observation de Galle.⁴

Exercices corrigés

Exercice 1 Vitesse d'un satellite à 400 km d'altitude

★★☆Environ 12 min

Un satellite en orbite circulaire évolue à l'altitude $h=4{,}0\times10^{5}$ m au-dessus de la Terre. On donne : $G=6{,}67\times10^{-11}$ m³·kg⁻¹·s⁻², $M_T=5{,}97\times10^{24}$ kg, $R_T=6{,}37\times10^{6}$ m.

Calcule la valeur de sa vitesse $v$ en m·s⁻¹.

Indice 1

Le rayon de l'orbite est la distance au centre de la Terre, pas l'altitude.

Indice 2

Utilise $v=\sqrt{GM_T/r}$ .

Voir la correction pas à pas

Rayon de l'orbite : $r=R_T+h=6{,}37\times10^{6}+4{,}0\times10^{5}=6{,}77\times10^{6}$ m.
La deuxième loi de Newton appliquée au satellite donne un mouvement uniforme avec $v=\sqrt{\dfrac{GM_T}{r}}$ .
Calcul : $v=\sqrt{\dfrac{6{,}67\times10^{-11}\times5{,}97\times10^{24}}{6{,}77\times10^{6}}}\approx 7{,}67\times10^{3}$ m·s⁻¹.

La vitesse vaut environ $7{,}7\times10^{3}$ m·s⁻¹. Pour la période, $T=2\pi r/v\approx5{,}5\times10^{3}$ s, soit un peu plus d'une heure et demie.

Exercice 2 Rayon de l'orbite géostationnaire

★★★Environ 15 min

Un satellite géostationnaire a une période $T=86\,400$ s. On donne $G=6{,}67\times10^{-11}$ m³·kg⁻¹·s⁻² et $M_T=5{,}97\times10^{24}$ kg.

Écris la troisième loi de Kepler pour une orbite circulaire autour de la Terre.
Calcule le rayon $r$ de l'orbite en mètres.

Indice 1

Isole $r^3$ dans $\dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{GM_T}$ .

Indice 2

Prends la racine cubique à la fin, en gardant toutes les valeurs numériques jusque-là.

Voir la correction pas à pas

Troisième loi : $\dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{GM_T}$ .
On en tire $r^3=\dfrac{GM_T\,T^2}{4\pi^2}$ .
Calcul : $r^3=\dfrac{6{,}67\times10^{-11}\times5{,}97\times10^{24}\times(86\,400)^2}{4\pi^2}\approx7{,}53\times10^{22}$ m³.
Racine cubique : $r\approx4{,}22\times10^{7}$ m.

L'orbite géostationnaire a un rayon d'environ $4{,}2\times10^{7}$ m, soit une altitude d'environ $3{,}6\times10^{7}$ m en retranchant le rayon de la Terre.

Exercice 3 Comparer deux satellites

★☆☆Environ 8 min

Deux satellites tournent en orbite circulaire autour de la même planète. Le premier a un rayon d'orbite $r_1=1{,}0\times10^{7}$ m et une période $T_1=1{,}0\times10^{4}$ s. Le second a un rayon $r_2=4{,}0\times10^{7}$ m.

Calcule la période $T_2$ du second satellite en secondes.

Indice 1

Le rapport $T^2/r^3$ est le même pour les deux satellites.

Voir la correction pas à pas

Les deux satellites orbitent autour du même astre : $\dfrac{T_2^2}{r_2^3}=\dfrac{T_1^2}{r_1^3}$ .
Donc $T_2=T_1\sqrt{\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)^3}=T_1\times\sqrt{4^3}=T_1\times 8$ .
$T_2=8\times1{,}0\times10^{4}=8{,}0\times10^{4}$ s.

Le rayon est multiplié par 4 et la période par 8. On retrouve que la période croît plus vite que le rayon.

Les questions qu'on se pose

Pourquoi la masse du satellite n'apparaît-elle pas dans la vitesse ?

Dans la deuxième loi de Newton, la force de gravitation est proportionnelle à la masse $m$ du satellite, comme le second membre $m\vec a$ . La masse se simplifie, et l'accélération ne dépend que de l'astre et de la distance. C'est ce qui permet à un petit et à un gros satellite à la même altitude d'avoir la même vitesse.

Faut-il utiliser l'altitude ou le rayon de l'orbite dans les formules ?

Toujours le rayon de l'orbite $r$ , mesuré depuis le centre de l'astre. Si l'énoncé donne l'altitude $h$ , on calcule $r=R+h$ où $R$ est le rayon de l'astre. Oublier cette addition fausse tous les résultats.

Un satellite qui va plus vite se met-il sur une orbite plus haute ?

Non, c'est l'inverse pour une orbite circulaire : $v=\sqrt{GM/r}$ diminue quand $r$ augmente. Les satellites proches de l'astre sont plus rapides et ont une période plus courte, comme le montre $T^2\propto r^3$ .

Quelle est la différence entre la loi des aires et la troisième loi ?

La loi des aires relie la position et la vitesse sur une même orbite (plus vite près de l'astre). La troisième loi compare des orbites différentes autour du même astre. De plus, la loi des aires vaut pour tout mouvement à accélération centrale, alors que les première et troisième lois ne s'appliquent pas à tous ces mouvements.⁴

Qu'est-ce qui peut tomber au bac sur ce chapitre ?

Le programme demande de caractériser vitesse et accélération en mouvement circulaire dans un champ de gravitation, d'établir et d'exploiter la troisième loi de Kepler, et de tester les lois de Kepler avec un programme.¹ On attend donc une démonstration de $v=\sqrt{GM/r}$ et de $T^2/r^3$ , puis un calcul de période, de rayon ou de masse de l'astre.

Sources

Ressources d'accompagnement Physique-Chimie Terminale spécialité, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Lagrange et le mouvement des planètes - Fondements des lois de Kepler, CNRS. Consulté le 6 novembre 2026.
Les trois vies de Kepler - Histoire et applications des lois, CNRS - Ciel et Mathématiques. Consulté le 6 novembre 2026.
Lois de Kepler, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Johannes Kepler, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Satellites et lois de Kepler : cours de Terminale

L'essentiel

Introduction : de Kepler aux satellites

Les lois de Kepler : origine et domaine de validité

Accélération centrale et champ de gravitation

Mouvement circulaire d'un satellite : vitesse et accélération

Période de révolution et troisième loi de Kepler

Deuxième loi de Kepler : la loi des aires

Applications : satellites, Lune, limites du modèle

Exercices corrigés

Exercice 1 Vitesse d'un satellite à 400 km d'altitude

Exercice 2 Rayon de l'orbite géostationnaire

Exercice 3 Comparer deux satellites

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Les questions qu'on se pose

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