Physique-chimie (spécialité) · TerminaleBac

Satellites et lois de Kepler : exercices corrigés de Terminale

Publié le 7 novembre 2026 · Mis à jour le 7 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Pour un satellite en orbite circulaire autour d'un astre de masse $M$ , à la distance $r$ du centre : $v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ , indépendante de la masse du satellite.
La période vaut $T=\dfrac{2\pi r}{v}$ et la troisième loi s'écrit $\dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{GM}$ : la constante ne dépend que de l'astre central.
Le rayon d'orbite est toujours la distance au centre de l'astre : $r=R+h$ , jamais l'altitude seule.
Sur une orbite elliptique, la loi des aires impose que le satellite aille plus vite près de l'astre que loin de lui.
Garde des unités du système international (mètres, secondes, kilogrammes) avant tout calcul.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices suivent le programme de Terminale : le mouvement des satellites et des planètes est étudié avec les lois de la mécanique, en déterminant les caractéristiques des vecteurs vitesse et accélération dans un mouvement circulaire soumis à un champ de gravitation, puis en établissant et en exploitant la troisième loi de Kepler dans le cas d'une orbite circulaire ¹. Les exercices avancent par difficulté croissante : cherche d'abord seul, ouvre un indice si tu bloques, puis compare ta rédaction à la correction.

Dans tous les énoncés, on donne les constantes dont on a besoin. Tu n'as donc pas à les retenir : ce qui compte, c'est de savoir quelle relation appliquer et dans quel ordre.

MéthodeMéthode générale pour une orbite circulaire

Schématise : l'astre central de masse $M$ , le satellite à la distance $r$ du centre de l'astre.
Choisis le système et le référentiel : le satellite, dans un référentiel centré sur l'astre, supposé galiléen.
Écris la deuxième loi de Newton : la seule force prise en compte est l'attraction de l'astre, dirigée vers son centre. On admet que sa valeur est $F=\dfrac{GmM}{r^2}$ .
Projette sur la base de Frenet : l'accélération est dirigée vers le centre et vaut $a=\dfrac{GM}{r^2}$ . Pour un mouvement circulaire uniforme, $a=\dfrac{v^2}{r}$ .
Identifie : $v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ . La masse du satellite a disparu.
Calcule la période : le satellite parcourt $2\pi r$ à la vitesse $v$ , donc $T=\dfrac{2\pi r}{v}$ .
Élimine $v$ : $T^2=\dfrac{4\pi^2 r^3}{GM}$ , soit $\dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{GM}$ .

Sauf indication contraire : $G=6{,}67\times10^{-11}\ \text{m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2}$ , masse de la Terre $M_T=5{,}97\times10^{24}\ \text{kg}$ , rayon de la Terre $R_T=6{,}37\times10^{6}\ \text{m}$ .

Un peu d'histoire pour situer les lois

Ces lois portent le nom de l'astronome Johannes Kepler. Il les a dégagées en s'appuyant sur les positions des planètes qu'il avait observées et mesurées, avant toute explication par la mécanique ⁴. Il a publié les deux premières en 1609 dans l'Astronomia nova, puis la troisième en 1619 dans Harmonices Mundi ⁴. Plus tard, Isaac Newton a rapproché cette troisième loi de la mécanique classique et en a tiré une formule : c'est cette forme que tu utilises en Terminale ⁴.

Les exercices

Exercice 1 Vitesse d'un satellite en orbite basse

★☆☆Environ 8 min

Un satellite de $800\ \text{kg}$ décrit une orbite circulaire autour de la Terre à l'altitude $h=400\ \text{km}$ . On suppose que la Terre est la seule source d'attraction.

Calcule la valeur de sa vitesse orbitale, en $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ .

Indice 1

Commence par calculer le rayon de l'orbite $r=R_T+h$ , en mètres.

Indice 2

Utilise $v=\sqrt{\dfrac{GM_T}{r}}$ ; la masse du satellite ne sert pas.

Voir la correction pas à pas

Convertis l'altitude : $h=4{,}0\times10^{5}\ \text{m}$ .
Calcule le rayon d'orbite : $r=6{,}37\times10^{6}+4{,}0\times10^{5}=6{,}77\times10^{6}\ \text{m}$ .
Applique la deuxième loi de Newton : $a=\dfrac{GM_T}{r^2}=\dfrac{v^2}{r}$ , donc $v=\sqrt{\dfrac{GM_T}{r}}$ .
Calcule $GM_T=6{,}67\times10^{-11}\times5{,}97\times10^{24}\approx3{,}98\times10^{14}$ (en unités SI).
Calcule $v=\sqrt{\dfrac{3{,}98\times10^{14}}{6{,}77\times10^{6}}}\approx7{,}67\times10^{3}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ .

La vitesse vaut environ $7{,}67\ \text{km}\cdot\text{s}^{-1}$ . La masse de $800\ \text{kg}$ était une donnée inutile : un satellite de masse différente, à la même altitude, irait à la même vitesse.

Exercice 2 Période de révolution à 400 km

★☆☆Environ 8 min

Reprends le satellite de l'exercice précédent : orbite circulaire à $h=400\ \text{km}$ autour de la Terre.

Calcule sa période de révolution $T$ , en secondes.

Indice 1

Pendant une période, le satellite parcourt une circonférence de rayon $r$ .

Indice 2

$T=\dfrac{2\pi r}{v}$ avec $v$ calculée auparavant.

Voir la correction pas à pas

Rappelle le rayon d'orbite : $r=6{,}77\times10^{6}\ \text{m}$ .
Rappelle la vitesse : $v\approx7{,}669\times10^{3}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ .
Écris la relation entre distance, vitesse et durée : $v=\dfrac{2\pi r}{T}$ , d'où $T=\dfrac{2\pi r}{v}$ .
Calcule $T=\dfrac{2\pi\times6{,}77\times10^{6}}{7{,}669\times10^{3}}\approx5{,}55\times10^{3}\ \text{s}$ .
Convertis pour te représenter la durée : $5546\ \text{s}\approx92{,}4\ \text{min}$ .

Le satellite fait un tour de Terre en environ $5546\ \text{s}$ , soit un peu plus de $1\ \text{h}\ 32\ \text{min}$ .

Exercice 3 Accélération du satellite

★★☆Environ 10 min

Pour le même satellite ( $h=400\ \text{km}$ ), calcule la valeur $a$ de son accélération, en $\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$ , à partir de la deuxième loi de Newton.

Compare ensuite le résultat à l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre, $g=9{,}81\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$ .

Indice 1

Pour un satellite soumis seulement à l'attraction de l'astre, $a=\dfrac{GM_T}{r^2}$ .

Indice 2

Vérifie ton résultat avec $\dfrac{v^2}{r}$ : tu dois retrouver la même valeur.

Voir la correction pas à pas

Écris la deuxième loi de Newton : $m\vec{a}=\vec{F}$ , avec $F=\dfrac{GmM_T}{r^2}$ .
Simplifie par $m$ : $a=\dfrac{GM_T}{r^2}$ .
Calcule $r^2=(6{,}77\times10^{6})^2\approx4{,}583\times10^{13}\ \text{m}^2$ .
Calcule $a=\dfrac{3{,}982\times10^{14}}{4{,}583\times10^{13}}\approx8{,}69\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$ .
Contrôle : $\dfrac{v^2}{r}=\dfrac{(7669)^2}{6{,}77\times10^{6}}\approx8{,}69\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$ .

L'accélération vaut environ $8{,}69\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$ , soit près de $89\ \%$ de $g$ . Le satellite n'est donc pas « sans pesanteur » : il tombe en permanence vers la Terre, mais sa vitesse fait que le sol se dérobe sous lui. Le vecteur accélération est dirigé vers le centre de la Terre.

Exercice 4 Vérifier la troisième loi pour la Terre

★★☆Environ 10 min

Pour tous les satellites en orbite circulaire autour de la Terre, le rapport $\dfrac{T^2}{r^3}$ prend la même valeur $k$ .

Démontre que $k=\dfrac{4\pi^2}{GM_T}$ .
Calcule $k$ et donne-le en unités de $10^{-14}\ \text{s}^2\cdot\text{m}^{-3}$ .
Vérifie avec le satellite à $400\ \text{km}$ (exercices 1 et 2).

Indice 1

Pars de $T=\dfrac{2\pi r}{v}$ et remplace $v$ par son expression.

Indice 2

Élève au carré avant de simplifier.

Voir la correction pas à pas

Élève $T=\dfrac{2\pi r}{v}$ au carré : $T^2=\dfrac{4\pi^2 r^2}{v^2}$ .
Remplace $v^2=\dfrac{GM_T}{r}$ : $T^2=\dfrac{4\pi^2 r^2\times r}{GM_T}=\dfrac{4\pi^2 r^3}{GM_T}$ .
Divise par $r^3$ : $k=\dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{GM_T}$ .
Calcule $k=\dfrac{39{,}478}{3{,}982\times10^{14}}\approx9{,}914\times10^{-14}\ \text{s}^2\cdot\text{m}^{-3}$ .
Contrôle avec le satellite : $\dfrac{(5546)^2}{(6{,}77\times10^{6})^3}=\dfrac{3{,}076\times10^{7}}{3{,}103\times10^{20}}\approx9{,}91\times10^{-14}$ , même valeur à l'arrondi près.

La constante vaut environ $9{,}914\times10^{-14}\ \text{s}^2\cdot\text{m}^{-3}$ . Elle ne dépend que de la masse de la Terre : elle est la même pour tous les satellites de la Terre et ne change que si l'on change d'astre central ⁴.

Exercice 5 Altitude d'un satellite géostationnaire

★★☆Environ 15 min

Un satellite géostationnaire reste à la verticale d'un même point de l'équateur : sa période est égale à la durée de rotation de la Terre sur elle-même, $T=86\,164\ \text{s}$ (jour sidéral).

Calcule l'altitude $h$ de ce satellite, en kilomètres.

Indice 1

Isole $r^3$ dans la troisième loi : $r^3=\dfrac{GM_T T^2}{4\pi^2}$ .

Indice 2

N'oublie pas de retrancher le rayon terrestre à la fin, puis de convertir en kilomètres.

Voir la correction pas à pas

Écris la troisième loi : $\dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{GM_T}$ , donc $r^3=\dfrac{GM_T\,T^2}{4\pi^2}$ .
Calcule le numérateur : $3{,}982\times10^{14}\times(86\,164)^2\approx2{,}956\times10^{24}$ .
Divise par $4\pi^2\approx39{,}478$ : $r^3\approx7{,}489\times10^{22}\ \text{m}^3$ .
Prends la racine cubique : $r\approx4{,}215\times10^{7}\ \text{m}$ .
Retranche le rayon terrestre : $h=4{,}215\times10^{7}-6{,}37\times10^{6}\approx3{,}578\times10^{7}\ \text{m}$ , soit environ $35\,780\ \text{km}$ .

Le satellite géostationnaire évolue à environ $35\,780\ \text{km}$ d'altitude, très au-dessus de l'orbite basse de l'exercice 1. Plus l'orbite est grande, plus la période est longue et plus la vitesse est faible.

Exercice 6 Peser une planète grâce à sa lune

★★☆Environ 12 min

Une planète fictive Zorg possède une lune qui décrit une orbite circulaire de rayon $r=2{,}0\times10^{8}\ \text{m}$ avec une période $T=5{,}0\times10^{5}\ \text{s}$ .

Déduis la masse $M$ de la planète, en unités de $10^{25}\ \text{kg}$ .

Indice 1

Isole $M$ dans $\dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{GM}$ .

Indice 2

Fais attention aux puissances de dix : $r^3=8{,}0\times10^{24}\ \text{m}^3$ .

Voir la correction pas à pas

Réécris la troisième loi : $M=\dfrac{4\pi^2 r^3}{G\,T^2}$ .
Calcule $r^3=(2{,}0\times10^{8})^3=8{,}0\times10^{24}\ \text{m}^3$ .
Calcule $T^2=(5{,}0\times10^{5})^2=2{,}5\times10^{11}\ \text{s}^2$ .
Calcule le numérateur : $4\pi^2\times8{,}0\times10^{24}\approx3{,}158\times10^{26}$ .
Calcule le dénominateur : $6{,}67\times10^{-11}\times2{,}5\times10^{11}\approx16{,}68$ .
Divise : $M\approx1{,}894\times10^{25}\ \text{kg}$ .

La planète a une masse d'environ $1{,}89\times10^{25}\ \text{kg}$ . Observer le mouvement d'un satellite naturel suffit donc à déterminer la masse de l'astre central, sans jamais le « peser ». La même idée s'applique à la Lune autour de la Terre ou aux lunes des autres planètes ⁴.

Exercice 7 Comparer deux satellites d'une même planète

★★★Environ 12 min

Deux satellites A et B gravitent sur des orbites circulaires autour de la même planète. La période de A est $T_A=2{,}0\ \text{h}$ et celle de B est $T_B=16\ \text{h}$ . Leurs masses sont différentes, mais on ne les connaît pas.

Calcule le rapport $\dfrac{r_B}{r_A}$ des rayons de leurs orbites.

Indice 1

Les deux satellites tournent autour du même astre : le rapport $\dfrac{T^2}{r^3}$ est identique pour A et pour B.

Indice 2

Tu n'as pas besoin de convertir les heures en secondes si tu calcules un rapport, car l'unité se simplifie.

Voir la correction pas à pas

Écris l'égalité des rapports : $\dfrac{T_A^2}{r_A^3}=\dfrac{T_B^2}{r_B^3}$ , puisque l'astre central est le même ⁴.
Réorganise : $\dfrac{r_B^3}{r_A^3}=\dfrac{T_B^2}{T_A^2}$ .
Calcule $\dfrac{T_B}{T_A}=\dfrac{16}{2{,}0}=8$ .
Alors $\left(\dfrac{r_B}{r_A}\right)^3=8^2=64$ .
Prends la racine cubique : $\dfrac{r_B}{r_A}=64^{1/3}=4$ .

L'orbite de B est quatre fois plus grande que celle de A. Les masses des satellites n'ont servi à rien : seule compte la planète, ce qui confirme que la constante de la troisième loi dépend de l'objet central ⁴.

Exercice 8 Rapport des vitesses orbitales

★★★Environ 12 min

On reprend les satellites A et B de l'exercice précédent : $T_B/T_A=8$ et $r_B/r_A=4$ .

Calcule le rapport $\dfrac{v_B}{v_A}$ de leurs vitesses, d'abord à partir de $v=\dfrac{2\pi r}{T}$ , puis explique pourquoi ce résultat est cohérent avec $v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ .

Indice 1

Écris $v_B/v_A$ comme un produit de deux rapports déjà connus.

Indice 2

Si $r$ est multiplié par 4, que devient $\sqrt{1/r}$ ?

Voir la correction pas à pas

Écris $v_A=\dfrac{2\pi r_A}{T_A}$ et $v_B=\dfrac{2\pi r_B}{T_B}$ .
Fais le quotient : $\dfrac{v_B}{v_A}=\dfrac{r_B}{r_A}\times\dfrac{T_A}{T_B}$ .
Remplace : $\dfrac{v_B}{v_A}=4\times\dfrac{1}{8}=0{,}5$ .
Contrôle avec l'autre expression : $\dfrac{v_B}{v_A}=\sqrt{\dfrac{r_A}{r_B}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=0{,}5$ .
Interprète : le satellite le plus éloigné va deux fois moins vite.

Le satellite B va deux fois moins vite que A. Les deux méthodes donnent le même résultat, ce qui sert de vérification : si tu trouves deux valeurs différentes, une erreur s'est glissée dans un exposant.

Exercice 9 Orbite elliptique et loi des aires

★★★Environ 15 min

Un satellite décrit une orbite elliptique autour d'un astre. Au point le plus proche de l'astre (périgée), il est à $r_p=1{,}0\times10^{7}\ \text{m}$ du centre avec la vitesse $v_p=8{,}0\ \text{km}\cdot\text{s}^{-1}$ . Au point le plus éloigné (apogée), il est à $r_a=4{,}0\times10^{7}\ \text{m}$ .

On admet la loi des aires, ou deuxième loi : le segment joignant l'astre au satellite balaie des aires égales pendant des durées égales ⁴. Aux deux extrémités de l'orbite, la vitesse est perpendiculaire au segment qui joint l'astre au satellite.

Calcule la vitesse $v_a$ à l'apogée, en $\text{km}\cdot\text{s}^{-1}$ .

Indice 1

Pendant une courte durée $\Delta t$ , l'aire balayée est celle d'un petit triangle de base $v\,\Delta t$ et de hauteur $r$ .

Indice 2

Écris l'égalité des aires balayées en $\Delta t$ au périgée et à l'apogée.

Voir la correction pas à pas

Au périgée, pendant $\Delta t$ , le satellite parcourt $v_p\,\Delta t$ perpendiculairement au segment de longueur $r_p$ : l'aire balayée vaut environ $\dfrac{1}{2}\,r_p\,v_p\,\Delta t$ .
À l'apogée, de même, l'aire vaut $\dfrac{1}{2}\,r_a\,v_a\,\Delta t$ .
La loi des aires impose l'égalité : $r_p\,v_p=r_a\,v_a$ .
Isole : $v_a=v_p\times\dfrac{r_p}{r_a}$ .
Calcule : $v_a=8{,}0\times\dfrac{1{,}0\times10^{7}}{4{,}0\times10^{7}}=2{,}0\ \text{km}\cdot\text{s}^{-1}$ .

À l'apogée, le satellite ne va plus qu'à $2{,}0\ \text{km}\cdot\text{s}^{-1}$ : il est quatre fois plus loin, donc quatre fois plus lent. Un mouvement dont l'accélération est dirigée vers un point fixe vérifie cette loi ⁴ ; elle explique pourquoi un satellite accélère en se rapprochant de l'astre.

Les questions qu'on se pose

Pourquoi la masse du satellite n'apparaît-elle pas dans la vitesse ni dans la période ?

Dans la deuxième loi de Newton, la masse $m$ du satellite figure des deux côtés : dans la force d'attraction $\dfrac{GmM}{r^2}$ et dans $m\,a$ . Elle se simplifie, et il reste $a=\dfrac{GM}{r^2}$ , où seule la masse de l'astre $M$ compte. C'est pourquoi la constante de la troisième loi change avec la masse de l'objet central et pas avec celle du satellite ⁴.

Que faire quand un exercice donne l'altitude et non le rayon de l'orbite ?

Ajoute le rayon de l'astre à l'altitude : $r=R+h$ , en mètres. Les formules du cours utilisent toujours la distance au centre de l'astre. Oublier cette addition est l'erreur la plus fréquente : pour le satellite à 400 km d'altitude, prendre $r=h$ donne une vitesse environ quatre fois trop grande.

Les lois de Kepler sont-elles exactes ?

Elles sont exactes dans le modèle d'un problème à deux corps où l'astre central est beaucoup plus massif que l'objet qui tourne autour. En réalité, les systèmes planétaires comportent plus de deux corps ; les lois de Kepler sont donc une approximation, et ce sont justement les écarts à ces lois qui ont permis d'affiner l'astronomie ⁴. Exemple célèbre : en étudiant les irrégularités du mouvement d'Uranus, Le Verrier a calculé l'existence de Neptune en 1846, puis Galle l'a observée pour le confirmer ⁴. Au Bac, tu travailles toujours dans le cadre du modèle à deux corps.

Sources

Ressources d'accompagnement Physique-Chimie Terminale spécialité, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Lagrange et le mouvement des planètes - Fondements des lois de Kepler, CNRS. Consulté le 6 novembre 2026.
Les trois vies de Kepler - Histoire et applications des lois, CNRS - Ciel et Mathématiques. Consulté le 6 novembre 2026.
Lois de Kepler, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Johannes Kepler, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

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L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Un peu d'histoire pour situer les lois

Les exercices

Exercice 1 Vitesse d'un satellite en orbite basse

Exercice 2 Période de révolution à 400 km

Exercice 3 Accélération du satellite

Exercice 4 Vérifier la troisième loi pour la Terre

Exercice 5 Altitude d'un satellite géostationnaire

Exercice 6 Peser une planète grâce à sa lune

Exercice 7 Comparer deux satellites d'une même planète

Exercice 8 Rapport des vitesses orbitales

Exercice 9 Orbite elliptique et loi des aires

Les questions qu'on se pose

Sources

Primaire

Collège

Lycée

Supérieur