Vecteurs position, vitesse, accélération : cours de Terminale

Quand tu regardes un ballon lancé en l'air, tu vois qu'il monte, ralentit, s'arrête un instant puis redescend. Pour décrire cela précisément, les mots ne suffisent plus : il faut dire où est le ballon à chaque instant, à quelle vitesse il se déplace, dans quelle direction, et comment sa vitesse change. Ce sont trois questions, et chacune a pour réponse un vecteur : la position, la vitesse, l'accélération.

Ce chapitre ouvre la partie « Mécanique » de la classe de Terminale. Il pose le vocabulaire et les outils de calcul qui servent ensuite pour la deuxième loi de Newton, puis pour les mouvements dans un champ de pesanteur uniforme et dans un champ électrique uniforme. Si tu maîtrises ici le passage « position, vitesse, accélération » par dérivation, la suite devient une application directe.

Le programme de Terminale demande de définir le vecteur vitesse comme la dérivée du vecteur position par rapport au temps, et d'obtenir les vecteurs vitesse et accélération à partir des coordonnées du vecteur position ¹. Tout le chapitre tient dans cette phrase : on part des coordonnées de la position, on dérive, on obtient la vitesse, on dérive encore, on obtient l'accélération.

Le repère est donc indispensable. Il comprend une origine $O$ et des axes, par exemple $(O,x)$ horizontal et $(O,y)$ vertical. Le programme rappelle aussi que le mouvement s'étudie dans un référentiel, c'est-à-dire par rapport à un solide de référence ¹. Le même objet peut être immobile dans un référentiel et en mouvement dans un autre : le passager d'un train est immobile par rapport au train, mais il avance par rapport au quai.

Dans un repère cartésien plan, on écrit les coordonnées du vecteur position à l'aide de deux fonctions du temps :

$\overrightarrow{OM}(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\ y(t)\end{pmatrix}$

À chaque instant $t$, le point $M$ occupe une position, donc le couple $(x(t),y(t))$ change au cours du temps. L'ensemble de toutes les positions occupées s'appelle la trajectoire.

La différence avec le vecteur position tient seulement au statut du point de départ. Le vecteur déplacement ne fait pas référence à une origine du repère, mais à un point de départ ². Il devient égal au vecteur position quand on prend comme origine le point de départ du mouvement ². Dit autrement, la position d'un point est le déplacement qui mène de l'origine du repère jusqu'à ce point ².

En coordonnées, c'est une simple soustraction :

$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}x_B-x_A\\ y_B-y_A\end{pmatrix}$

Dans un repère cartésien, on dérive chaque coordonnée séparément :

$\vec v(t)=\begin{pmatrix}v_x(t)\\ v_y(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x'(t)\\ y'(t)\end{pmatrix}$

L'idée est la suivante. Entre deux instants très proches $t$ et $t+\Delta t$, le point se déplace d'un petit vecteur $\Delta\overrightarrow{OM}$. Le rapport $\frac{\Delta\overrightarrow{OM}}{\Delta t}$ est une vitesse moyenne sur cet intervalle ; quand $\Delta t$ devient aussi petit que l'on veut, ce rapport tend vers la vitesse à l'instant $t$, c'est-à-dire la dérivée. Le vecteur vitesse donne ainsi la vitesse instantanée.

Le vecteur vitesse a trois caractéristiques : sa direction et son sens, qui sont ceux du mouvement à cet instant (il est tangent à la trajectoire), et sa norme, qui est la valeur de la vitesse :

$v=\|\vec v\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$

L'unité de la norme est le mètre par seconde ($\text{m·s}^{-1}$) quand la position est en mètres et le temps en secondes.

En coordonnées cartésiennes :

$\vec a(t)=\begin{pmatrix}a_x(t)\\ a_y(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}v_x'(t)\\ v_y'(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x''(t)\\ y''(t)\end{pmatrix}$

L'unité de l'accélération est le mètre par seconde carrée ($\text{m·s}^{-2}$) : c'est une vitesse (en $\text{m·s}^{-1}$) divisée par un temps (en s).

Un point important : l'accélération ne se limite pas au fait d'« aller plus vite ». Comme c'est un vecteur qui mesure la variation du vecteur vitesse, elle existe dès que la norme, la direction ou le sens de la vitesse change. Une voiture qui freine, qui accélère ou qui prend un virage à vitesse constante est accélérée au sens de la physique.

Dans la vie courante, on parle de « force g » pour désigner une accélération exprimée en multiples de $g$. À proprement parler, ce terme est impropre : il mesure une accélération et non une force ³. La grandeur est donc bien un vecteur accélération ³. Cette précision est utile au bac : ne confonds pas la grandeur physique (accélération, en $\text{m·s}^{-2}$) avec la sensation que l'on ressent.

Ces capteurs sont en général gradués en g et mesurent l'accélération le long d'un ou de plusieurs axes ³. Un accéléromètre à un seul axe, immobile et dont l'axe de mesure est horizontal, affiche 0 g ³. Monté sur une voiture qui roule à vitesse constante sur une route horizontale, il affiche aussi 0 g ³. Dès que le conducteur freine ou accélère, l'appareil enregistre une accélération positive ou négative ³.

Ce résultat illustre exactement la définition : à vitesse constante en direction et en norme, le vecteur vitesse ne varie pas, donc l'accélération est nulle, même si la voiture roule à 90 km/h.

Pour les ordres de grandeur, les sources donnent des cas extrêmes. D'anciennes expériences indiquent que des volontaires non entraînés tolèrent longtemps 17 g couchés sur le dos, mais 12 g seulement couchés sur le ventre ³. Pendant 0,9 s, le record expérimental d'accélération horizontale supportée est de 46,2 g en position « sur le ventre » ; il appartient à John Stapp, pionnier des études sur l'accélération ³. Pour le confort, les ascenseurs rapides sont réglés pour accélérer à 0,1 g tout en allongeant la durée de l'accélération ³.