Vecteurs position, vitesse, accélération : exercices de Tle

On utilise la relation $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$, qui définit le déplacement de $A$ vers $B$ ².

On soustrait coordonnée par coordonnée : $x_{AB}=7-2=5$ et $y_{AB}=-3-1=-4$. Donc $\overrightarrow{AB}\,(5\ ;\ -4)$.

On calcule la norme : $AB=\sqrt{5^2+(-4)^2}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$.

On arrondit : $AB\approx 6{,}40$ m.

On calcule le déplacement : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\,(6\ ;\ 8)$ ².

On calcule la durée : $\Delta t=2-0=2$ s.

On divise par la durée : $\vec v_{moy}\,(3\ ;\ 4)$ en m/s.

On calcule la norme : $v_{moy}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$ m/s.

Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps ¹². On dérive : $v_x(t)=3$ et $v_y(t)=-10t+10$.

À $t=1$ s : $v_x=3$ m/s et $v_y=-10+10=0$ m/s. Donc $\vec v(1)\,(3\ ;\ 0)$ : le mobile ne monte ni ne descend à cet instant, il est au sommet de sa trajectoire.

À $t=2$ s : $v_x=3$ m/s et $v_y=-20+10=-10$ m/s.

La valeur de la vitesse est $v=\sqrt{3^2+(-10)^2}=\sqrt{109}\approx 10{,}44$ m/s.

On passe des coordonnées de la position à celles de la vitesse puis de l'accélération ¹ : $v_x=4t$ et $v_y=3t^2$.

On dérive encore : $a_x=4$ et $a_y=6t$.

À $t=2$ s : $a_x=4$ m/s² et $a_y=12$ m/s². Donc $\vec a(2)\,(4\ ;\ 12)$.

La valeur est $a=\sqrt{4^2+12^2}=\sqrt{160}\approx 12{,}65$ m/s².

On dérive la position : $v_y(t)=-10t+20$. On dérive encore : $a_y(t)=-10$ m/s². L'accélération est constante et dirigée vers le bas.

Au sommet, la vitesse verticale s'annule : $-10t+20=0$, donc $t=2$ s.

On calcule l'altitude : $y(2)=-5\times 4+20\times 2=-20+40=20$ m.

On vérifie la cohérence : avant $t=2$ s, $v_y>0$ (la balle monte) ; après, $v_y<0$ (elle redescend).

À vitesse constante sur route horizontale, le vecteur vitesse ne varie pas : l'accélération est nulle et un accéléromètre à un axe horizontal affiche $0\ g$ ³.

Quand le conducteur freine ou accélère, le vecteur vitesse varie : l'appareil enregistre une accélération positive ou négative selon le sens ³.

Le terme « force g » est impropre, car la grandeur mesurée est une accélération et non une force ; elle est représentée par un vecteur accélération ³.

On dérive chaque coordonnée, puisque la vitesse est la dérivée du vecteur position ¹² : $v_x(t)=-6\sin(3t)$ et $v_y(t)=6\cos(3t)$.

On exprime la norme : $v=\sqrt{36\sin^2(3t)+36\cos^2(3t)}=\sqrt{36(\sin^2(3t)+\cos^2(3t))}$.

Comme $\cos^2+\sin^2=1$, on obtient $v=\sqrt{36}=6$ m/s, quel que soit $t$.

On remarque que le vecteur vitesse change pourtant de direction : sa valeur est constante, mais pas le vecteur.

On dérive la vitesse : $a_x=0$ et $a_y=-10$ m/s². L'accélération est constante.

On cherche des fonctions dont la dérivée est $v_x$ et $v_y$ : $x(t)=4t+C_1$ et $y(t)=-5t^2+12t+C_2$.

Le mobile part de l'origine : $x(0)=0$ et $y(0)=0$, donc $C_1=C_2=0$. Ainsi $x(t)=4t$ et $y(t)=-5t^2+12t$.

À $t=1{,}5$ s : $y=-5\times 2{,}25+12\times 1{,}5=-11{,}25+18=6{,}75$ m.

Le vecteur déplacement sur un intervalle de temps est l'intégrale de la vitesse sur cet intervalle ² ; ici, il vaut $\overrightarrow{OM}(1{,}5)-\overrightarrow{OM}(0)\,(6\ ;\ 6{,}75)$.

On dérive la position, puisque la vitesse en est la dérivée ¹² : $v_x=2t$ et $v_y=4-2t$. Puis $a_x=2$ et $a_y=-2$, soit $\vec a\,(2\ ;\ -2)$, constant.

On résout $v_y=0$ : $4-2t=0$, donc $t=2$ s.

À $t=2$ s : $v_x=4$ m/s et $v_y=0$, donc $v=\sqrt{4^2+0^2}=4$ m/s.

Le vecteur vitesse est alors parallèle à l'axe des abscisses, dirigé dans le sens positif. L'accélération, elle, vaut toujours $(2\ ;\ -2)$ : elle n'est pas nulle même si $v_y=0$.