Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Tout entier supérieur ou égal à 2 s'écrit comme un produit de nombres premiers, et cette écriture est unique à l'ordre des facteurs près 3.
Pour décomposer : divise par le plus petit nombre premier possible, recommence avec le quotient, arrête-toi quand le quotient vaut 1.
On regroupe les facteurs identiques avec des puissances : 45=32×54.
Le PGCD de deux entiers est le produit des facteurs premiers communs, pris avec le plus petit exposant 4.
Vérifie toujours en multipliant les facteurs : tu dois retrouver le nombre de départ.
Pourquoi décomposer un nombre ?
Tu sais déjà qu'un nombre entier a des diviseurs et des multiples, et que certains nombres sont premiers, c'est-à-dire impossibles à casser en produit de nombres plus petits. Que se passe-t-il quand un nombre n'est pas premier ? On peut le casser en produit, puis casser encore chaque morceau qui n'est pas premier, jusqu'à ne plus avoir que des nombres premiers. C'est cette idée qui s'appelle la décomposition en facteurs premiers.
Au programme de 3e, on attend que tu saches décomposer un nombre entier en produit de facteurs premiers, à la main ou avec un tableur ou un logiciel 1. Cette décomposition est un outil : elle sert à trouver le PGCD de deux nombres, à simplifier des fractions (chapitre suivant) et à comprendre la structure des entiers.
Ce cours suit un chemin simple : la définition, une méthode pas à pas qui marche à chaque fois, la propriété d'unicité, puis des applications (reconnaître les multiples et calculer un PGCD). À chaque étape, tu trouveras un exemple rédigé et les erreurs que les élèves font le plus souvent.
Ce que dit la décomposition
La méthode des divisions successives
ChoisirPrendre le plus petit nombre premier qui divise
DiviserNoter le facteur et calculer le quotient
RecommencerReprendre avec le quotient obtenu
S'arrêterTerminer quand le quotient vaut 1
RegrouperÉcrire avec des puissances et vérifier
Décomposer un entier pas à pas · Méthode des divisions successives.
Les puissances et la forme finale
Écrire 3×3×5 est correct, mais la forme habituelle regroupe les facteurs identiques : 32×54. Plus généralement, une décomposition se présente comme un produit fini de nombres premiers affectés chacun d'un exposant 4.
On range en général les facteurs par ordre croissant : 23×32×29. Ce n'est pas obligatoire, puisque l'ordre ne compte pas 3, mais cela rend la comparaison de deux décompositions beaucoup plus facile.
Utiliser la décomposition pour reconnaître des multiples et des diviseurs
La décomposition donne une lecture immédiate de la divisibilité. Pour savoir si m est un multiple de n, on compare les deux décompositions : chaque facteur premier de n doit figurer dans celle de m, avec un exposant qui n'est pas plus petit que dans n4.
Calculer un PGCD avec les facteurs premiers
Le PGCD de deux entiers est leur plus grand diviseur commun. Les décompositions donnent une méthode sûre pour le trouver, sans lister tous les diviseurs : on décompose les deux entiers, on repère les facteurs communs, puis on les multiplie 3.
À quoi sert vraiment cette décomposition ?
La recherche d'algorithmes de décomposition est d'une grande importance en mathématiques et en cryptologie 4. Plus un nombre est grand, plus le décomposer demande de calcul : en 2020, décomposer un nombre de 250 chiffres a demandé une énorme quantité de calcul, répartie sur de nombreux processeurs 4. À ton niveau, les nombres restent petits, et les divisions successives suffisent.
En classe de 3e, la décomposition te sert surtout à trouver un PGCD, à rendre une fraction irréductible (dans le chapitre suivant) et à justifier des affirmations sur les diviseurs d'un nombre. Au DNB, elle apparaît souvent dans un exercice d'arithmétique où l'on te demande de décomposer deux nombres puis d'en déduire leur PGCD.
Exercices corrigés
Exercice 1 Décomposer 540
★☆☆Environ 6 min
Décompose 540 en produit de facteurs premiers, puis écris le résultat avec des puissances. Vérifie ensuite ton résultat.
Indice 1
Commence par diviser par 2 tant que c'est possible.
Indice 2
Pour savoir si 3 divise un nombre, calcule la somme de ses chiffres.
Voir la correction pas à pas
540÷2=270.
270÷2=135. Le nombre 135 est impair, on passe à 3.
135÷3=45, puis 45÷3=15, puis 15÷3=5.
5÷5=1 : on s'arrête.
On regroupe : 540=22×33×5.
Vérification : 4×27=108 et 108×5=540.
540=22×33×5. La vérification par la multiplication retrouve bien le nombre de départ.
Exercice 2 PGCD de 84 et 126
★★☆Environ 8 min
Décompose 84 et 126 en produit de facteurs premiers, puis déduis-en leur PGCD.
Indice 1
Décompose chaque nombre séparément avant de les comparer.
Indice 2
Garde uniquement les facteurs communs, avec le plus petit exposant.
Voir la correction pas à pas
84=22×3×7 (divisions : 84→42→21→7→1).
126=2×32×7 (divisions : 126→63→21→7→1).
Facteur 2 : exposants 2 et 1, on garde 21.
Facteur 3 : exposants 1 et 2, on garde 31.
Facteur 7 : exposants 1 et 1, on garde 71.
PGCD(84;126)=2×3×7=42.
Le PGCD de 84 et 126 est 42 : on a bien 84=42×2 et 126=42×3, et 2 et 3 n'ont pas de diviseur commun autre que 1.
Exercice 3 Le plus petit entier pour obtenir un carré
★★★Environ 10 min
Par quel plus petit entier strictement positif faut-il multiplier 180 pour obtenir le carré d'un entier ? Justifie avec la décomposition en facteurs premiers.
Indice 1
Un entier est un carré lorsque tous les exposants de sa décomposition sont pairs.
Indice 2
Repère les exposants impairs dans la décomposition de 180.
Voir la correction pas à pas
180÷2=90, 90÷2=45, 45÷3=15, 15÷3=5, 5÷5=1.
Donc 180=22×32×51.
Les exposants de 2 et de 3 sont pairs, celui de 5 est impair.
Pour rendre l'exposant de 5 pair, il faut au moins un facteur 5 de plus : on multiplie par 5.
Contrôle : 180×5=900=22×32×52=(2×3×5)2=302.
Il faut multiplier par 5 : 180×5=900=302.
Quiz
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L'unicité signifie qu'on retrouve toujours les mêmes facteurs premiers avec les mêmes exposants, seul l'ordre pouvant changer 3. Un nombre premier peut apparaître plusieurs fois (par exemple 32 dans 45), donc la troisième réponse est fausse. Deux entiers différents ont des décompositions différentes, sinon ils seraient égaux.
45=3×3×5=32×54. L'écriture 9×5 est juste comme produit mais 9 n'est pas premier ; 3×15 contient 15 qui n'est pas premier ; 2×3×5=30, pas 45.
Le produit 2×3×5 vaut 30. Il manque un facteur 2 : 60=22×3×5. Le piège est d'oublier qu'un même facteur peut se répéter.
On calcule 23=8 et 32=9, puis 8×9×5=360. L'erreur tentante est de lire 32 comme 3×2=6, ce qui donnerait 240.
Une décomposition complète n'utilise que des nombres premiers : 2, 3 et 5 le sont. Dans 4×25 et 6×5, les nombres 4, 25 et 6 ne sont pas premiers : ces écritures s'arrêtent trop tôt.
On garde les facteurs communs (2 et 3) avec le plus petit exposant 4 : 21 et 32, soit 18. Prendre le plus grand exposant (72) donne un nombre qui ne divise pas b ; multiplier les facteurs sans tenir compte des exposants (630) donne un nombre qui ne divise pas a ; 6 oublie que 32 est présent dans les deux.
Pour qu'un entier soit multiple de 16=24, il faut que le facteur 2 apparaisse au moins avec l'exposant 44. Ici l'exposant est 3 : 360÷16=22,5. La présence d'un facteur 2 ne suffit pas.
14=2×7 et 15=3×5 n'ont aucun facteur premier commun, donc leur PGCD vaut 1. Répondre 0 est une erreur : aucun facteur commun ne donne 1, l'élément neutre de la multiplication.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi commencer par les plus petits nombres premiers ?
Parce que c'est un ordre simple qui n'oublie rien : on épuise 2, puis 3, puis 5, etc. Mais ce n'est pas obligatoire. Comme la décomposition est unique à l'ordre des facteurs près 3, tu obtiens le même résultat en divisant dans un autre ordre, par exemple 360=6×60 puis en poursuivant. Commencer par les petits nombres premiers évite surtout de rater un diviseur.
Comment savoir que j'ai terminé ?
Tu as terminé quand le dernier quotient vaut 1 et que tous les facteurs notés sont premiers. Pour contrôler, multiplie tous les facteurs : tu dois retrouver exactement le nombre de départ. C'est la vérification la plus rapide et elle détecte les oublis.
Le nombre $1$ a-t-il une décomposition ?
La propriété du cours concerne les entiers supérieurs ou égaux à 2 3. Le nombre 1 n'est pas premier et on ne l'écrit jamais comme facteur : il sert seulement de quotient final dans les divisions successives.
Est-ce qu'on me demandera cela à l'examen ?
Le programme de 3e demande de savoir décomposer un entier en produit de facteurs premiers 1. Au DNB, cela apparaît le plus souvent dans un exercice d'arithmétique : décomposer deux nombres, en déduire leur PGCD, puis simplifier une fraction ou résoudre un problème de partage. Ce qui est évalué, c'est autant la présentation des divisions que le résultat final.
Pourquoi le PGCD utilise-t-il le plus petit exposant ?
Un diviseur commun doit diviser les deux nombres. Si le facteur 3 est présent deux fois dans a mais une seule fois dans b, on ne peut en mettre qu'un seul dans un diviseur commun, sinon il ne diviserait pas b. C'est pourquoi on retient le plus petit exposant des deux 4.