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Décomposition en facteurs premiers : quiz de 3e
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- À partir de 2, chaque entier s'écrit comme un produit de nombres premiers, et il n'y a qu'une écriture possible si l'on ne tient pas compte de l'ordre.
- On décompose en divisant successivement par des nombres premiers, jusqu'à obtenir 1.
- Les facteurs répétés s'écrivent avec des puissances : 45 = 3² × 5.
- Le PGCD de deux entiers est le produit des facteurs premiers communs, chacun avec le plus petit exposant.
Avant de commencer
Ce quiz couvre toute la notion de décomposition en facteurs premiers : écrire un entier comme un produit de nombres premiers, reconnaître une décomposition correcte, comprendre pourquoi elle est unique et l'utiliser pour trouver un PGCD ou reconnaître un multiple. Le programme de 3e demande de décomposer un entier en produit de facteurs premiers, à la main ou avec un tableur ou un logiciel 1.
Prends ton temps, essaie de calculer à la main avant de regarder les réponses, et lis chaque explication même quand tu as juste : elle précise l'erreur que l'on commet souvent à cet endroit. Les questions vont du plus simple au plus délicat ; les dernières utilisent la décomposition pour comparer deux nombres.
Quiz
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4. Les écritures et sont exactes comme produits, mais 15 et 9 ne sont pas premiers : on n'a pas fini de décomposer. Quant à , cela vaut , pas .
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C'est vrai : à partir de 2, chaque entier s'écrit comme un produit de nombres premiers 3. Quand le nombre est lui-même premier, comme 13, sa décomposition est simplement lui-même, avec un seul facteur. L'erreur serait de croire que seuls les nombres non premiers sont décomposables.
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Il n'y a qu'une seule écriture possible, au changement d'ordre des facteurs près 3. Pour 12, on trouve toujours , que l'on commence par ou par (puis ). Les écritures et ne sont que des étapes intermédiaires, car 6 et 4 ne sont pas premiers.
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. On divise par les nombres premiers successivement 2. L'écriture garde le facteur 10, non premier ; vaut ; garde 4, non premier.
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Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. C'est le cas de 2, 11 et 29. En revanche et ont d'autres diviseurs. On pense souvent qu'un nombre impair est forcément premier, ce que 9 et 21 contredisent.
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C'est vrai : il existe une infinité de nombres premiers 2. Ce n'est donc pas une liste que l'on pourrait épuiser. Même si les facteurs que tu rencontres en 3e sont souvent petits (2, 3, 5, 7), il peut falloir de grands nombres premiers pour des entiers plus gros.
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On divise par 2 tant que c'est possible : , puis , puis 2. Ensuite . Donc , et le plus grand facteur premier est 29. On se trompe souvent en s'arrêtant à 261, qui est impair mais pas premier.
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. Le facteur 2 apparaît trois fois, d'où l'exposant 3. L'erreur fréquente est de donner 2, le nombre de facteurs différents, ou de confondre exposant et facteur : l'exposant compte combien de fois un même facteur est répété 4.
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On a 3, mais 169 n'est pas premier : . La décomposition complète est donc . Les trois autres écritures sont des produits exacts mais s'arrêtent trop tôt, car 169, 507 et 6 ne sont pas premiers.
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On divise par des nombres premiers, en commençant par les plus petits 2 : , puis , puis , soit . Diviser par 4 n'est pas faux comme calcul, mais 4 n'est pas premier : il faudrait ensuite le découper. Diviser par 84 donne 1 et n'avance pas.
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Le PGCD a pour décomposition le produit des facteurs premiers présents dans les deux nombres, avec le plus petit exposant 34. Pour 2, le plus petit exposant est 1 ; pour 3, c'est aussi 1. Donc . Le nombre 36 correspond aux plus grands exposants (), c'est-à-dire à un multiple commun et non à un diviseur commun.
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Les facteurs premiers communs sont 2, 3 et 7. On garde pour chacun le plus petit exposant 4 : , et . Donc . Si tu gardes le plus grand exposant, tu trouves , qui est un multiple commun et non le plus grand diviseur commun.
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Un entier m est multiple de n si la décomposition de m contient au moins tous les facteurs premiers de n avec des exposants supérieurs ou égaux 4. Ici convient. Le premier n'a qu'un seul facteur 2, le deuxième n'a pas de facteur 5 et le dernier n'a pas de facteur 3 : chacun manque d'un facteur de 60.
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C'est vrai : la décomposition de 180 contient et avec des exposants au moins égaux à ceux de 12 4. On peut vérifier : . Le facteur 5 en plus n'empêche rien : on peut avoir des facteurs supplémentaires dans un multiple.
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C'est vrai : le PGCD est le produit des facteurs premiers qui se retrouvent dans les deux décompositions, chacun pris avec son plus petit exposant 4. Un facteur qui n'est présent que dans un seul nombre est écarté. La confusion fréquente est de garder tous les facteurs avec le plus grand exposant, ce qui donne un multiple commun.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi faut-il que tous les facteurs soient premiers ?
Parce que c'est ce qui rend l'écriture unique : chaque entier à partir de 2 s'écrit comme un produit de nombres premiers, et d'une seule façon si l'on ne tient pas compte de l'ordre 3. Si l'on acceptait des facteurs non premiers, on pourrait écrire 12 comme ou , et il n'y aurait plus de forme de référence pour comparer deux nombres.
À quoi sert la décomposition en facteurs premiers ?
Elle permet de calculer le PGCD de deux entiers en repérant leurs facteurs communs 3, et de reconnaître si un nombre est multiple d'un autre en comparant les exposants 4. Elle sert aussi de base pour simplifier une fraction. Au-delà du collège, la recherche d'algorithmes de décomposition est très importante en cryptologie 4.
Comment être sûr d'avoir fini de décomposer ?
Tu as fini quand tous les facteurs écrits sont premiers, ou quand le dernier quotient est 1 2. Vérifie en recalculant le produit : tu dois retrouver le nombre de départ. En cas de doute sur un facteur, cherche s'il est divisible par 2, 3, 5, 7... jusqu'à ce que ce ne soit plus possible.
Sources
Programme visé : Programme de mathématiques 3e - Arithmétique et nombres · Éduscol
- Programme de mathématiques 3e - Arithmétique et nombres, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
- Nombres entiers en 3e, Académie de Lyon. Consulté le 6 novembre 2026.
- Arithmétique 3e - Décomposition en produit de facteurs premiers, Académie de Lille. Consulté le 6 novembre 2026.
- Décomposition en produit de facteurs premiers, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
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