Décomposition en facteurs premiers : exercices corrigés de 3e

$60 \div 2 = 30$ : 60 est pair, donc 2 est un facteur.

$30 \div 2 = 15$ : 30 est pair, 2 revient une seconde fois.

15 n'est plus divisible par 2. On teste 3 : $15 \div 3 = 5$.

5 est premier : $5 \div 5 = 1$. La division est terminée.

On regroupe : $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$.

Vérification : $4 \times 3 \times 5 = 60$. C'est exact.

$5^2 = 25$.

$2 \times 3 = 6$.

$6 \times 25 = 150$, donc $n = 150$.

Les facteurs $2$, $3$ et $5$ sont tous premiers : l'écriture est bien une décomposition en facteurs premiers de $150$.

$2088 \div 2 = 1044$.

$1044 \div 2 = 522$.

$522 \div 2 = 261$. Le quotient 261 est impair, on passe à 3.

Somme des chiffres de 261 : $2+6+1 = 9$, divisible par 3. $261 \div 3 = 87$.

Somme des chiffres de 87 : $15$, divisible par 3. $87 \div 3 = 29$.

29 n'est divisible ni par 2, 3 ou 5 ; il est premier. $29 \div 29 = 1$.

Écriture : $2088 = 2^3 \times 3^2 \times 29$.

Vérification : $8 \times 9 = 72$ et $72 \times 29 = 2088$.

$1014 \div 2 = 507$.

507 est impair. Somme des chiffres : $5+0+7 = 12$, divisible par 3 : $507 \div 3 = 169$.

169 ne se termine ni par 0 ni par 5 ; $7 \times 24 = 168$ et $11 \times 15 = 165$, donc 7 et 11 ne conviennent pas.

On teste 13 : $13 \times 13 = 169$. Donc $169 \div 13 = 13$, puis $13 \div 13 = 1$.

Écriture : $1014 = 2 \times 3 \times 13^2$.

Vérification : $6 \times 169 = 1014$.

Facteur 2 : exposant 2 dans les deux nombres, c'est suffisant.

Facteur 3 : exposant 2 dans les deux nombres, c'est suffisant.

Facteur 5 : exposant 1 dans les deux nombres, c'est suffisant.

Un entier est multiple d'un autre quand sa décomposition contient tous les facteurs du second avec des exposants au moins égaux ⁴. Ici, c'est le cas.

Le seul facteur en plus dans $1260$ est $7$ : $1260 = 180 \times 7$.

Contrôle : $180 \times 7 = 1260$.

$84 \div 2 = 42$, $42 \div 2 = 21$, $21 \div 3 = 7$, $7 \div 7 = 1$ : $84 = 2^2 \times 3 \times 7$.

$126 \div 2 = 63$, $63 \div 3 = 21$, $21 \div 3 = 7$, $7 \div 7 = 1$ : $126 = 2 \times 3^2 \times 7$.

Les facteurs communs sont $2$, $3$ et $7$ ³.

Facteur 2 : exposants 2 et 1, on garde 1. Facteur 3 : exposants 1 et 2, on garde 1. Facteur 7 : exposants 1 et 1, on garde 1 ⁴.

$\text{PGCD}(84\,;126) = 2 \times 3 \times 7 = 42$.

Contrôle : $84 = 42 \times 2$ et $126 = 42 \times 3$, et 2 et 3 n'ont aucun diviseur commun autre que 1.

Le côté doit entrer un nombre entier de fois dans chaque dimension : c'est un diviseur commun de $252$ et $180$. Le plus grand possible est leur PGCD.

$180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$ (180 → 90 → 45 → 15 → 5).

$252 = 2^2 \times 3^2 \times 7$ (252 → 126 → 63 → 21 → 7).

Facteurs communs : $2$ avec exposant 2 dans les deux, et $3$ avec exposant 2 dans les deux. Les facteurs 5 et 7 ne sont pas communs.

$\text{PGCD} = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$.

Contrôle : $252 = 36 \times 7$ et $180 = 36 \times 5$, soit $7 \times 5 = 35$ carreaux.

$168 \div 2 = 84$, puis $42$, puis $21$, puis $21 \div 3 = 7$ : $168 = 2^3 \times 3 \times 7$.

$252 = 2^2 \times 3^2 \times 7$ (252 → 126 → 63 → 21 → 7).

Facteurs communs avec le plus petit exposant : $2^2$, $3^1$, $7^1$, donc $\text{PGCD} = 4 \times 3 \times 7 = 84$ ⁴.

On divise haut et bas par 84 : $168 \div 84 = 2$ et $252 \div 84 = 3$.

Fraction obtenue : $\dfrac{2}{3}$. Aucun entier autre que 1 ne divise à la fois 2 et 3.

$72 \div 2 = 36$, puis $18$, puis $9$, puis $3$, puis $1$ avec deux divisions par 3 : $72 = 2^3 \times 3^2$.

L'exposant de 3 est 2, pair. L'exposant de 2 est 3, impair : il manque un facteur 2.

Le plus petit choix est $k = 2$.

$72 \times 2 = 2^4 \times 3^2 = 144$.

$144 = (2^2 \times 3)^2 = 12^2$, donc la racine carrée vaut $12$.