L'équation produit nul : cours de 3e

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul : $A \times B = 0$ équivaut à $A = 0$ ou $B = 0$ .
Une équation produit nul se présente sous la forme (facteur)(facteur) = 0 : le second membre doit être exactement 0.
Chaque facteur donne une équation du premier degré ; on la résout séparément, ce qui fournit en général deux solutions.
Si l'équation n'est pas déjà factorisée, on passe tout dans un membre, on factorise (facteur commun, identité remarquable), puis on applique la propriété.
Piège classique : $(x-1)(x-2) = 3$ ne se résout pas facteur par facteur, car le second membre n'est pas 0.

Pourquoi cette équation mérite un cours

Tu sais déjà résoudre des équations comme $3x - 2 = 2x + 5$ : c'est le type d'équation du premier degré qui figure dans le sujet de référence du DNB ⁴. Mais que faire quand l'inconnue apparaît dans deux parenthèses multipliées entre elles, comme dans $(2x - 3)(x + 4) = 0$ ?

Développer donnerait un terme en $x^2$ et te ferait sortir du premier degré. Il existe un chemin bien plus court : une propriété simple sur les produits permet de ramener l'équation à deux équations du premier degré. Les ressources pédagogiques consacrées à cette notion la présentent comme une équation « produit nul », avec une définition, une propriété et une méthode de résolution pas à pas ².

Le programme place ce savoir-faire dans la résolution algébrique d'équations du premier degré ou qui s'y ramènent, et cite explicitement les équations produits ⁴. Parmi les attendus de fin d'année de 3e figure d'ailleurs une équation de ce type, $(2{,}5x - 7)(8x - 9{,}6) = 0$ ³. Nous la résoudrons plus bas.

Ce qu'il faut maîtriser avant

Le parcours proposé sur cette notion commence par un test de positionnement portant sur les prérequis : réduction d'expressions littérales, résolution d'équations du premier degré, identification de formes factorisées et factorisation ². Voici ce que cela implique pour toi.

La propriété du produit nul

Pour fixer l'idée, la ressource citée plus haut utilise une image mémorielle : un Pac-Man multiplié par un fantôme donne 0 ². Retiens-en ceci : dès qu'un seul des deux éléments « disparaît » (vaut 0), le produit tout entier vaut 0.

Démonstration · Pourquoi la propriété est vraie

Sens direct. Supposons $A \times B = 0$ . Si $A = 0$ , c'est terminé. Sinon $A \neq 0$ : on peut alors diviser les deux membres par $A$ , ce qui donne $B = \dfrac{0}{A} = 0$ . Donc l'un des deux facteurs au moins est nul.

Sens réciproque. Si $A = 0$ ou si $B = 0$ , alors le produit $A \times B$ vaut $0$ , puisque multiplier par $0$ donne toujours $0$ .

La méthode de résolution

VérifierProduit de facteurs égal à 0
SéparerUn facteur nul, puis l'autre
RésoudreUne équation du 1er degré par facteur
ConclureDonner toutes les solutions

Résoudre une équation produit nul · La méthode en quatre gestes.

Se ramener à un produit nul : factoriser

Beaucoup d'équations ne se présentent pas déjà sous forme de produit. La suite de la ressource citée montre comment résoudre certaines équations par transformation et factorisation, avec les identités remarquables et la mise en facteur de $x$ ². La stratégie tient en deux temps : tout passer dans un seul membre pour obtenir 0, puis factoriser.

Les erreurs à éviter et la rédaction attendue

Exercices corrigés

Exercice 1 Deux facteurs simples

★☆☆Environ 5 min

Résous l'équation $(x - 3)(x + 5) = 0$ . Donne ensuite la plus grande des solutions.

Indice 1

Écris que l'un des facteurs est nul.

Indice 2

Résous chaque équation du premier degré obtenue.

Voir la correction pas à pas

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : $x - 3 = 0$ ou $x + 5 = 0$ .
Première équation : $x - 3 = 0$ donne $x = 3$ .
Seconde équation : $x + 5 = 0$ donne $x = -5$ .
Les solutions sont $-5$ et $3$ ; la plus grande est $3$ .

La plus grande solution est $3$ . Les deux solutions se lisent directement dans les facteurs, en changeant le signe du nombre ajouté.

Exercice 2 Facteurs avec coefficients

★★☆Environ 7 min

Résous $(2x - 7)(3x + 6) = 0$ . Calcule ensuite la somme des deux solutions.

Indice 1

Pour $2x - 7 = 0$ , ajoute 7 puis divise par 2.

Indice 2

Pour $3x + 6 = 0$ , soustrais 6 puis divise par 3.

Voir la correction pas à pas

On applique la propriété du produit nul : $2x - 7 = 0$ ou $3x + 6 = 0$ .
$2x - 7 = 0$ donne $2x = 7$ , donc $x = \dfrac{7}{2} = 3{,}5$ .
$3x + 6 = 0$ donne $3x = -6$ , donc $x = -2$ .
La somme des solutions vaut $3{,}5 + (-2) = 1{,}5$ .

Les solutions sont $3{,}5$ et $-2$ ; leur somme vaut $1{,}5$ .

Exercice 3 Un second membre non nul

★★☆Environ 6 min

Un élève résout $(x - 1)(x - 2) = 3$ et écrit : « $x - 1 = 3$ ou $x - 2 = 3$ , donc $x = 4$ ou $x = 5$ ». Teste $x = 4$ dans l'équation de départ et explique l'erreur.

Indice 1

Calcule $(4-1)(4-2)$ .

Indice 2

Demande-toi quelle propriété l'élève a utilisée et si elle s'applique ici.

Voir la correction pas à pas

On remplace $x$ par $4$ : $(4 - 1)(4 - 2) = 3 \times 2 = 6$ .
Or le second membre vaut $3$ , donc $4$ n'est pas solution.
L'élève a utilisé la propriété du produit nul alors que le second membre n'est pas $0$ .
Pour appliquer correctement la méthode, il faudrait d'abord développer, passer $3$ à gauche, puis factoriser.

La propriété ne s'applique que si le produit est égal à $0$ . La résolution de l'élève est donc fausse.

Exercice 4 Factoriser avant de conclure

★★★Environ 10 min

Résous $(x + 2)^2 - 9 = 0$ . Calcule ensuite le produit des deux solutions.

Indice 1

Reconnais une différence de deux carrés : $9 = 3^2$ .

Indice 2

Utilise $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ avec $a = x + 2$ et $b = 3$ .

Voir la correction pas à pas

On écrit $(x + 2)^2 - 3^2 = 0$ , de la forme $a^2 - b^2$ avec $a = x + 2$ et $b = 3$ .
On factorise : $(x + 2 - 3)(x + 2 + 3) = 0$ , soit $(x - 1)(x + 5) = 0$ .
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : $x = 1$ ou $x = -5$ .
Le produit des solutions vaut $1 \times (-5) = -5$ .

Les solutions sont $1$ et $-5$ ; leur produit vaut $-5$ . Remarque qu'on n'a pas eu besoin de développer le carré.

Les questions qu'on se pose

Pourquoi le second membre doit-il obligatoirement valoir 0 ?

Parce que $0$ est le seul nombre qui impose quelque chose à ses facteurs : si $A \times B = 0$ , alors $A$ ou $B$ vaut $0$ . Pour un produit égal à $6$ , les facteurs peuvent être $2$ et $3$ , ou $1$ et $6$ , ou mille autres couples. Si on te donne une équation avec un autre second membre, passe tout dans un seul membre pour retrouver $0$ .

Peut-on avoir plus de deux solutions ?

Oui, avec trois facteurs ou plus : $(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0$ a trois solutions. En 3e, les équations rencontrées ont le plus souvent deux facteurs, donc au plus deux solutions.

Que faire si les deux facteurs donnent la même solution ?

Dans $(x - 4)(x - 4) = 0$ ou $(x - 4)^2 = 0$ , l'équation n'a qu'une solution, $4$ . Écris-la une seule fois dans l'ensemble des solutions.

À quoi sert cette méthode à l'examen ?

Les équations produits figurent parmi les notions du programme mobilisées dans le sujet de référence du DNB ⁴. Elles rapportent des points faciles si la rédaction est propre : la phrase sur le produit nul, une équation par facteur, la conclusion avec les deux solutions.

Comment vérifier ma réponse rapidement ?

Remplace $x$ par chaque solution dans l'équation de départ. Un des facteurs doit alors valoir $0$ . Par exemple, pour $x = 1{,}2$ dans $(2{,}5x - 7)(8x - 9{,}6)$ , le second facteur vaut $8 \times 1{,}2 - 9{,}6 = 0$ .

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques pour le cycle 4 (3e) - Calcul littéral · Ministère de l'Éducation nationale

Programme de mathématiques pour le cycle 4 (3e) - Calcul littéral, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Édubase - 3ème / 2nd : équation produit nul, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Attendus de fin d'année - 3e Mathématiques, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Sujet de référence DNB - Mathématiques série générale, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Fiche pédagogique FE307 - Réseau Canopé, Réseau Canopé. Consulté le 6 novembre 2026.
Fiche pédagogique FE308 - Réseau Canopé, Réseau Canopé. Consulté le 6 novembre 2026.

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Ce qu'il faut maîtriser avant

La propriété du produit nul

La méthode de résolution

Se ramener à un produit nul : factoriser

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Exercice 1 Deux facteurs simples

Exercice 2 Facteurs avec coefficients

Exercice 3 Un second membre non nul

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Quiz

Les questions qu'on se pose

Sources

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