Équation produit nul : exercices corrigés de 3e

On reconnaît un produit de deux facteurs, $(x-3)$ et $(x+5)$, égal à $0$.

Un produit est nul lorsque l'un de ses facteurs est nul : $x-3=0$ ou $x+5=0$.

Première équation : $x-3=0$ donne $x=3$.

Seconde équation : $x+5=0$ donne $x=-5$.

Vérification pour $3$ : $(3-3)(3+5)=0\times 8=0$. Pour $-5$ : $(-5-3)(-5+5)=-8\times 0=0$.

Les solutions sont $-5$ et $3$ ; la plus grande est $3$.

Le produit est égal à $0$ : on annule chaque facteur.

$2x-8=0$ donne $2x=8$, donc $x=4$.

$x+1=0$ donne $x=-1$.

Vérification pour $4$ : $(2\times4-8)(4+1)=0\times5=0$. Pour $-1$ : $(-2-8)(0)=0$.

Les solutions sont $-1$ et $4$ ; la plus petite est $-1$.

On annule chaque facteur : $3x+6=0$ ou $5x-2=0$.

$3x+6=0$ donne $3x=-6$, donc $x=-2$.

$5x-2=0$ donne $5x=2$, donc $x=\dfrac{2}{5}=0{,}4$.

Vérification pour $0{,}4$ : $5\times0{,}4-2=0$, donc le produit est nul.

Les solutions sont $-2$ et $\dfrac{2}{5}$ ; la plus grande est $0{,}4$.

On annule chaque facteur : $2{,}5x-7=0$ ou $8x-9{,}6=0$.

$2{,}5x=7$ donne $x=\dfrac{7}{2{,}5}=2{,}8$.

$8x=9{,}6$ donne $x=\dfrac{9{,}6}{8}=1{,}2$.

Vérification pour $1{,}2$ : $8\times1{,}2=9{,}6$, donc le second facteur est nul.

Les solutions sont $1{,}2$ et $2{,}8$.

Leur somme vaut $1{,}2+2{,}8=4$.

Le second membre est déjà $0$ ; il reste à factoriser le premier. Les deux termes contiennent $x$.

Mise en facteur de $x$ : $x^2-5x=x(x-5)$.

L'équation devient $x(x-5)=0$, un produit nul.

$x=0$ ou $x-5=0$, donc $x=0$ ou $x=5$.

Vérification pour $5$ : $5^2-5\times5=25-25=0$.

Les solutions sont $0$ et $5$ ; la solution strictement positive est $5$.

On écrit $9=3^2$ : l'expression est de la forme $a^2-b^2$ avec $a=x+4$ et $b=3$.

Factorisation : $(x+4-3)(x+4+3)=(x+1)(x+7)$.

L'équation devient $(x+1)(x+7)=0$.

$x+1=0$ donne $x=-1$ ; $x+7=0$ donne $x=-7$.

Vérification pour $-7$ : $(-7+4)^2-9=9-9=0$.

Le produit des solutions est $(-1)\times(-7)=7$.

On passe tout dans le membre de gauche : $(x+2)(3x-1)-(x+2)(x+5)=0$.

On met $(x+2)$ en facteur : $(x+2)\big[(3x-1)-(x+5)\big]=0$.

On réduit le crochet : $3x-1-x-5=2x-6$. L'équation est $(x+2)(2x-6)=0$.

$x+2=0$ donne $x=-2$ ; $2x-6=0$ donne $x=3$.

Vérification pour $-2$ : les deux membres valent $0$. Pour $3$ : $5\times8=40$ et $5\times8=40$.

Les solutions sont $-2$ et $3$ ; la plus grande est $3$.

Diviser par $(x+2)$ aurait supprimé la solution $-2$, valeur pour laquelle $(x+2)$ est nul.

Aire : $x(x+3)=40$, soit $x^2+3x=40$, donc $x^2+3x-40=0$.

On développe $(x+8)(x-5)=x^2-5x+8x-40=x^2+3x-40$ : l'égalité est vérifiée.

L'équation s'écrit $(x+8)(x-5)=0$.

$x+8=0$ donne $x=-8$ ; $x-5=0$ donne $x=5$.

Une largeur ne peut pas être négative : on rejette $-8$.

La largeur est $5$ cm et la longueur $8$ cm. Contrôle : $5\times8=40$.

On annule chaque facteur : $2x-6=0$ ou $3x-9=0$.

$2x-6=0$ donne $2x=6$, donc $x=3$.

$3x-9=0$ donne $3x=9$, donc $x=3$.

Les deux facteurs s'annulent pour la même valeur : $3$.

Remarque : $2x-6=2(x-3)$ et $3x-9=3(x-3)$, donc l'équation s'écrit $6(x-3)^2=0$.

L'équation n'a qu'une seule solution : $3$.