Équations de la forme x² = a : cours de 3e

Tu connais déjà les équations du premier degré, comme $4x - 5 = 2x + 2$, où l'on regroupe tous les $x$ du même côté pour trouver l'inconnue ¹. Tu connais aussi les équations produit nul, par exemple $(2x + 1)(x - 7) = 0$, que l'on reconnaît à leur forme de produit égal à zéro ¹. Dans ce cours, on franchit une étape : l'inconnue est au carré.

Une équation de la forme $x^2 = a$, où $a$ est un nombre connu, pose une question simple : quels nombres, multipliés par eux-mêmes, donnent $a$ ? Par exemple, $x^2 = 9$ demande quels nombres ont pour carré $9$. Tu penses sûrement à $3$. Mais $-3$ convient aussi, puisque $(-3) \times (-3) = 9$. Toute la difficulté du chapitre tient dans cette petite remarque : il y a souvent deux réponses.

Ce type d'équation est un cas très particulier d'équation du second degré, c'est-à-dire d'équation polynomiale dont la plus grande puissance de l'inconnue est 2 ³. En 3e, on ne résout pas toutes les équations du second degré : leur étude complète est réservée au lycée ¹. On se limite ici à celles qui se ramènent à $x^2 = a$, ou qu'on sait factoriser pour retomber sur un produit nul. Le cahier d'exercices de 3e consacre d'ailleurs une fiche entière à la résolution d'une équation de type $x^2 = a$ ².

Tu retrouveras ces équations dans des problèmes de géométrie (calculer un côté connaissant une aire, appliquer le théorème de Pythagore) et dans des exercices de calcul littéral du DNB.

Tout dépend du signe de $a$. Pour t'en souvenir, rappelle-toi une idée simple : un carré n'est jamais négatif. Que $x$ soit positif ou négatif, $x \times x$ est toujours positif ou nul.

Il est utile de comprendre l'origine de ce résultat, car la même idée sert dans d'autres équations. Elle combine deux notions de ton programme : l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ et la règle du produit nul.

Une équation du second degré peut s'écrire $f(x) = 0$. Ses solutions sont alors les abscisses des points où la courbe de $f$ coupe l'axe des abscisses ³. La courbe de la fonction $x \mapsto x^2$ est une parabole, dont les branches sont tournées vers le haut puisque le coefficient de $x^2$ est positif ³.

Pour résoudre $x^2 = 4$, on écrit $x^2 - 4 = 0$ et on regarde où la courbe de $f(x) = x^2 - 4$ coupe l'axe horizontal. On voit deux points, d'abscisses $-2$ et $2$ : ce sont bien les deux solutions.

Rarement l'énoncé te donne directement $x^2 = a$. Le plus souvent, il faut d'abord isoler $x^2$, exactement comme on isole $x$ dans une équation du premier degré : on regroupe les termes pour garder l'inconnue d'un seul côté ¹. Ensuite seulement, on applique le théorème des trois cas.

Il arrive que le carré ne porte pas sur $x$ seul, mais sur une expression comme $x - 3$. L'idée est de poser une inconnue auxiliaire : on pense à $x - 3$ comme à un seul bloc.

Une réponse peut se donner de deux façons. La valeur exacte est écrite avec le symbole de racine : $\sqrt{7}$. La valeur approchée est une écriture décimale arrondie : $2{,}65$. Les deux ne sont pas équivalentes : $2{,}65^2 = 7{,}0225$, ce qui n'est pas exactement $7$.

Quand l'énoncé dit « donner les solutions exactes », il faut garder la racine ². Quand il demande « une valeur approchée au dixième », tu utilises la calculatrice à la fin seulement, jamais au milieu du calcul, pour ne pas accumuler d'erreurs d'arrondi.