Équations x² = a : exercices corrigés de 3e

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une équation $x^2=a$ avec $a>0$ a deux solutions : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ .
Si $a=0$ , la seule solution est $0$ ; si $a<0$ , il n'y a aucune solution, car un carré n'est jamais négatif.
Pour $px^2=q$ ou $px^2-q=0$ , on isole d'abord $x^2$ , puis on prend les deux racines.
Pour $(ux+v)^2=a$ , on résout deux petites équations : $ux+v=\sqrt{a}$ et $ux+v=-\sqrt{a}$ .
On vérifie toujours en remplaçant dans l'équation de départ.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices te font travailler la résolution des équations de la forme $x^2=a$ et de celles qui s'y ramènent. Ce type d'équation figure dans les fiches d'entraînement de 3e sur les équations et les racines carrées, où l'on demande de donner les solutions exactes sous la forme $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ ². Il s'agit d'un cas simple d'équation du second degré : en 3e, certaines équations de ce type se résolvent, mais leur étude générale est faite au lycée ¹.

Les exercices sont classés par difficulté : le niveau 1 revient à lire directement l'équation, le niveau 2 demande d'isoler $x^2$ avant de conclure, le niveau 3 mêle plusieurs idées (carré d'une expression, problème de géométrie). Cherche d'abord seul(e), sur ta feuille. Ouvre un indice seulement si tu bloques plus de quelques minutes, puis compare ta rédaction avec la correction étape par étape.

Rappels pour aller plus vite

Pour résoudre vite et sans erreur, connais par cœur les premiers carrés parfaits. Ils te permettent de reconnaître tout de suite si une racine est un nombre entier ou si tu dois la laisser sous la forme $\sqrt{a}$ .

Nombre	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
Carré	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169

Par exemple, $\sqrt{81}=9$ car $9\times 9=81$ , alors que $\sqrt{80}$ n'est pas un entier : on la laisse telle quelle dans une réponse exacte.

Les exercices

Exercice 1 Lecture directe

★☆☆Environ 3 min

Résous l'équation $x^2=49$ . Donne la solution positive.

Indice 1

Cherche un nombre positif dont le carré vaut 49.

Indice 2

N'oublie pas qu'il existe aussi une solution négative.

Voir la correction pas à pas

Le nombre $49$ est strictement positif, donc l'équation a deux solutions : $\sqrt{49}$ et $-\sqrt{49}$ .
Comme $7\times 7=49$ , on a $\sqrt{49}=7$ .
Les solutions sont donc $7$ et $-7$ . La solution positive est $7$ .

L'équation $x^2=49$ a pour ensemble de solutions $\{-7\,;\,7\}$ .

Exercice 2 Aucune solution

★☆☆Environ 3 min

Peut-on résoudre $x^2=-9$ ? Explique ta réponse.

Indice 1

Pense au signe d'un carré : peut-il être négatif ?

Voir la correction pas à pas

Un nombre multiplié par lui-même est toujours positif ou nul : si $x>0$ , $x^2>0$ ; si $x<0$ , $x^2>0$ aussi ; si $x=0$ , $x^2=0$ .
Le carré $x^2$ ne peut donc jamais être égal à $-9$ , qui est négatif.
On conclut que l'équation n'a aucune solution.

L'équation $x^2=-9$ n'a pas de solution : l'ensemble des solutions est vide.

Exercice 3 Repérer l'erreur

★☆☆Environ 4 min

Léa écrit : « $x^2=36$ , donc $x=6$ . » Sa réponse est-elle complète ? Corrige-la et écris la rédaction attendue.

Indice 1

Calcule $(-6)^2$ .

Indice 2

Une équation de la forme $x^2=a$ avec $a>0$ a combien de solutions ?

Voir la correction pas à pas

On calcule $(-6)^2=(-6)\times(-6)=36$ : le nombre $-6$ est aussi solution.
Léa a donc oublié une solution : sa réponse est incomplète.
Rédaction correcte : « $36>0$ donc l'équation a deux solutions, $\sqrt{36}=6$ et $-\sqrt{36}=-6$ . »

L'ensemble des solutions est $\{-6\,;\,6\}$ . Léa a trouvé la bonne valeur positive mais elle a perdu la solution négative.

Exercice 4 Un coefficient devant x²

★★☆Environ 5 min

Résous $16x^2-9=0$ . Donne la solution positive sous forme décimale.

Indice 1

Commence par ajouter 9 des deux côtés.

Indice 2

Divise ensuite par 16 pour isoler $x^2$ .

Voir la correction pas à pas

On ajoute $9$ aux deux membres : $16x^2=9$ .
On divise par $16$ : $x^2=\dfrac{9}{16}$ .
Comme $\dfrac{9}{16}>0$ , il y a deux solutions : $\sqrt{\dfrac{9}{16}}=\dfrac{3}{4}$ et $-\dfrac{3}{4}$ .
La solution positive est $\dfrac{3}{4}=0{,}75$ .

Les solutions sont $-\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{3}{4}$ . Vérification : $16\times\dfrac{9}{16}-9=0$ .

Exercice 5 Solution sous forme fractionnaire

★★☆Environ 5 min

Résous $25x^2=4$ . Donne la solution positive sous forme décimale.

Indice 1

Divise les deux membres par 25.

Indice 2

Écris la racine d'une fraction comme une fraction de racines.

Voir la correction pas à pas

On divise par $25$ : $x^2=\dfrac{4}{25}$ .
Le second membre est positif, donc deux solutions : $\dfrac{2}{5}$ et $-\dfrac{2}{5}$ , car $\left(\dfrac{2}{5}\right)^2=\dfrac{4}{25}$ .
La solution positive est $\dfrac{2}{5}=0{,}4$ .

L'ensemble des solutions est $\left\{-\dfrac{2}{5}\,;\,\dfrac{2}{5}\right\}$ .

Exercice 6 Isoler x² en plusieurs étapes

★★☆Environ 6 min

Résous $2x^2-5=27$ . Donne la solution positive.

Indice 1

Ajoute 5 aux deux membres avant de diviser.

Indice 2

Tu dois obtenir un carré parfait.

Voir la correction pas à pas

On ajoute $5$ aux deux membres : $2x^2=32$ .
On divise par $2$ : $x^2=16$ .
Comme $16>0$ , il y a deux solutions : $4$ et $-4$ .
La solution positive est $4$ .

Les solutions sont $-4$ et $4$ . Vérification : $2\times 16-5=27$ .

Exercice 7 Des x² dans les deux membres

★★☆Environ 6 min

Résous $3x^2+4=x^2+54$ . Donne la solution positive.

Indice 1

Rassemble tous les termes en $x^2$ du même côté.

Indice 2

Rassemble ensuite les nombres de l'autre côté.

Voir la correction pas à pas

On soustrait $x^2$ aux deux membres : $2x^2+4=54$ .
On soustrait $4$ : $2x^2=50$ .
On divise par $2$ : $x^2=25$ .
Comme $25>0$ , il y a deux solutions : $5$ et $-5$ . La solution positive est $5$ .

Les solutions sont $-5$ et $5$ . Vérification : $3\times 25+4=79$ et $25+54=79$ .

Exercice 8 Solutions exactes avec racine carrée

★★☆Environ 5 min

Résous $x^2-7=0$ et donne les solutions exactes, puis une valeur approchée de la solution positive à $0{,}01$ près.

Indice 1

Isole $x^2$ .

Indice 2

7 n'est pas un carré parfait : laisse la racine dans la réponse exacte.

Voir la correction pas à pas

On ajoute $7$ aux deux membres : $x^2=7$ .
Comme $7>0$ , les solutions exactes sont $\sqrt{7}$ et $-\sqrt{7}$ ².
À la calculatrice, $\sqrt{7}\approx 2{,}65$ ; l'autre solution est environ $-2{,}65$ .

Les solutions exactes sont $-\sqrt{7}$ et $\sqrt{7}$ ; les valeurs approchées sont $-2{,}65$ et $2{,}65$ .

Exercice 9 Carré d'une expression

★★★Environ 8 min

Résous $(x+3)^2=16$ . Donne ensuite la somme des deux solutions.

Indice 1

Le carré d'une expression égale 16 : cette expression vaut 4 ou −4.

Indice 2

Écris deux équations du premier degré.

Voir la correction pas à pas

Comme $16>0$ , on a $x+3=4$ ou $x+3=-4$ .
Première équation : $x=4-3=1$ .
Seconde équation : $x=-4-3=-7$ .
Les solutions sont $1$ et $-7$ ; leur somme vaut $1+(-7)=-6$ .

L'ensemble des solutions est $\{-7\,;\,1\}$ . Vérification : $(1+3)^2=16$ et $(-7+3)^2=16$ .

Exercice 10 Un carré dans une équation plus longue

★★★Environ 8 min

Résous $(3x-1)^2=25$ . Donne la solution positive.

Indice 1

Pose $3x-1=5$ puis $3x-1=-5$ .

Indice 2

Résous chacune des deux équations.

Voir la correction pas à pas

Comme $25>0$ , on a $3x-1=5$ ou $3x-1=-5$ .
Première équation : $3x=6$ , donc $x=2$ .
Seconde équation : $3x=-4$ , donc $x=-\dfrac{4}{3}$ .
La solution positive est $2$ .

Les solutions sont $2$ et $-\dfrac{4}{3}$ . Vérification : $(3\times 2-1)^2=25$ .

Exercice 11 Problème de géométrie

★★★Environ 8 min

Un rectangle mesure $8$ cm sur $18$ cm. On veut construire un carré de même aire. Quelle est la longueur de son côté, en cm ?

Indice 1

Calcule d'abord l'aire du rectangle.

Indice 2

Si $c$ est le côté du carré, son aire vaut $c^2$ .

Voir la correction pas à pas

L'aire du rectangle est $8\times 18=144$ cm².
Le carré a la même aire : $c^2=144$ .
Une longueur est positive : on garde $c=\sqrt{144}=12$ et on écarte $-12$ .

Le côté du carré mesure $12$ cm. Ici, la solution négative est écartée car elle n'a pas de sens pour une longueur.

Les questions qu'on se pose

Pourquoi y a-t-il deux solutions à x² = a ?

Parce que deux nombres opposés ont le même carré : $5^2=25$ et $(-5)^2=25$ . Quand $a>0$ , les solutions sont donc $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ ². Dans un problème de géométrie, on écarte ensuite la solution négative si l'on cherche une longueur.

Que faire quand a est négatif ou nul ?

Si $a<0$ , l'équation n'a aucune solution, car un carré n'est jamais négatif. Si $a=0$ , l'équation $x^2=0$ a une seule solution, $0$ . Pense à regarder le signe de $a$ avant de calculer une racine carrée.

Dois-je donner une valeur exacte ou une valeur approchée au DNB ?

Lis la consigne. Les fiches d'entraînement de 3e demandent souvent les solutions exactes sous la forme $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ ². Si l'énoncé ne précise rien, donne la valeur exacte, et ajoute une valeur approchée seulement si on te la demande.

Sources

Cours sur les équations (complet), Académie de Lyon. Consulté le 6 novembre 2026.
Cahier iParcours 3e – Équations et racines carrées, Académie de Lyon. Consulté le 6 novembre 2026.
Équation du second degré, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Équation différentielle, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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L'essentiel

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Rappels pour aller plus vite

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Exercice 1 Lecture directe

Exercice 2 Aucune solution

Exercice 3 Repérer l'erreur

Exercice 4 Un coefficient devant x²

Exercice 5 Solution sous forme fractionnaire

Exercice 6 Isoler x² en plusieurs étapes

Exercice 7 Des x² dans les deux membres

Exercice 8 Solutions exactes avec racine carrée

Exercice 9 Carré d'une expression

Exercice 10 Un carré dans une équation plus longue

Exercice 11 Problème de géométrie

Les questions qu'on se pose

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