Équations de la forme x² = a : fiche de révision 3e
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Si a>0, l'équation x2=a a deux solutions : a et −a2.
Si a=0, la seule solution est 0 ; si a<0, il n'y a aucune solution, car un carré n'est jamais négatif.
Pour kx2=c ou kx2−c=0, isole d'abord x2, puis applique la règle.
Autre voie : factorise avec a2−b2=(a−b)(a+b) puis utilise le produit nul 1.
Piège n°1 : oublier la solution négative. Piège n°2 : écrire a sans simplifier quand a est un carré parfait.
L'essentiel à retenir
Une équation de la forme x2=a demande : « quels nombres, une fois mis au carré, donnent a ? ». Ce type d'équation fait partie des équations que tu sais résoudre en 3e, à côté des équations produit nul 1. Le résultat dépend uniquement du signe de a.
Méthode pour les équations qui s'y ramènent
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Comme 36>0, il y a deux solutions : 36=6 et −6. Répondre « une seule » est l'oubli classique de la solution négative ; 36 et −36 sont faux, car 362=1296.
Faux : on obtient x2=−16, ce qui est impossible puisqu'un carré est positif ou nul. Les nombres 4 et −4 sont solutions de x2=16, pas de x2=−16.
On divise par 2 : x2=25, donc x=5 ou x=−5. Les solutions 25 et −25 viennent d'un oubli de la division ou de la racine ; 10 vient d'une division par 2 au mauvais moment (sur x au lieu de x2).
92=81 et 9>0. La solution négative est −9, mais la question demande la positive.
On isole x2=7, avec 7>0, donc x=7 ou x=−72. Prendre 7 revient à confondre « mettre au carré » et « racine carrée » ; 27 est le piège de la division par 2.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi y a-t-il deux solutions et pas une seule ?
Parce que deux nombres opposés ont le même carré : 32=9 et (−3)2=9. Quand a>0, les nombres a et −a conviennent donc tous les deux 2. On le voit aussi par factorisation : x2−9=(x−3)(x+3), produit nul pour x=3 ou x=−31.
Que répondre quand a est négatif ?
Écris que l'équation n'a pas de solution (réelle). Justification : le carré d'un nombre est toujours positif ou nul, donc il ne peut pas être égal à un nombre strictement négatif. Au lycée, on retrouve cette idée avec un discriminant négatif, qui signifie qu'il n'y a pas de racine réelle 3.
Dois-je donner une valeur décimale ou une valeur exacte ?
Suis l'énoncé. Si on demande « les solutions exactes », garde a et −a2. Si on demande une valeur approchée, utilise ta calculatrice et arrondis comme indiqué. Dans le doute, écris les deux.