Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une inéquation du premier degré se résout en isolant l'inconnue, avec des opérations qui conservent les solutions, comme pour une équation 3.
Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres ne change pas le sens de l'inégalité.
Multiplier ou diviser par un nombre positif garde le sens ; par un nombre négatif, il faut inverser le sens.
La solution est un ensemble de nombres (par exemple x<13,75), pas une seule valeur.
Certaines inéquations sont toujours vraies (tous les réels) ou toujours fausses (aucune solution) 3.
Pourquoi des inéquations ?
Dans la vie, on cherche souvent une limite plutôt qu'une valeur exacte : combien d'entrées au maximum pour ne pas dépasser un budget, combien de minutes de forfait pour rester sous un tarif, à partir de quand une offre devient plus avantageuse. Une équation donne une valeur précise. Une inéquation donne tout un ensemble de valeurs qui conviennent.
Le programme de cycle 4 demande de résoudre une inéquation du premier degré, par le calcul et aussi graphiquement 1. Il demande aussi de s'en servir pour modéliser et résoudre des problèmes 2. Ce cours t'y prépare pas à pas, avec les règles, une méthode, des exemples et les pièges du DNB.
Vocabulaire et notion de solution
Les règles de transformation
Pour résoudre, on isole l'inconnue d'un seul côté de l'inégalité, en appliquant pas à pas les règles de calcul sur les inégalités 3. Chaque opération doit donner une inéquation qui a exactement les mêmes solutions que la précédente : on dit qu'elles sont équivalentes.
Démonstration · Pourquoi le sens s'inverse-t-il ?
Prenons l'inégalité vraie 3<5 et multiplions les deux membres par −2 :
3×(−2)=−65×(−2)=−10
Sur la droite graduée, −10 est à gauche de −6, donc −10<−6, c'est-à-dire −6>−10. Le sens a changé. Multiplier par un nombre négatif revient à passer au symétrique par rapport à 0 : l'ordre des nombres est retourné, comme dans un miroir.
Par contre, en multipliant par 2 : 6<10, l'ordre est conservé.
Méthode de résolution
DévelopperDévelopper et réduire chaque membre
RegrouperLes x d'un côté, les nombres de l'autre
Isoler xDiviser ; inverser le sens si négatif
ConclureÉcrire la solution et la vérifier
Les quatre étapes pour résoudre une inéquation · Méthode de résolution d'une inéquation du premier degré.
Représenter l'ensemble des solutions
On représente souvent les solutions sur une droite graduée. On colorie la partie de la droite qui contient les solutions. À la valeur limite, on place un crochet :
tourné vers la partie coloriée si la valeur limite est une solution (inégalité large, ≤ ou ≥) ;
tourné vers l'extérieur si elle n'en est pas une (inégalité stricte, < ou >).
Le programme évoque aussi la résolution graphique d'équations et d'inéquations linéaires 1 : on lit alors, sur le graphique d'une fonction, les valeurs de x pour lesquelles la courbe ou la droite est au-dessus ou en dessous d'une valeur donnée. L'algèbre et la lecture graphique doivent donner le même résultat, ce qui permet de contrôler l'une par l'autre.
Quand tout ou rien est solution
Il arrive que les x disparaissent au cours du calcul. On obtient alors une inégalité entre nombres, qui est soit vraie, soit fausse, quelle que soit la valeur de x. Une inéquation du premier degré peut ainsi être toujours vraie, et l'ensemble des solutions est alors l'ensemble de tous les nombres ; ou toujours fausse, et elle n'a alors pas de solution 3.
Résoudre un problème avec une inéquation
Les erreurs à éviter au DNB
Exercices corrigés
Exercice 1 Un coefficient positif
★☆☆Environ 5 min
Résous l'inéquation 3x−7≤11, puis donne le plus grand nombre entier qui est solution.
Indice 1
Ajoute d'abord 7 aux deux membres.
Indice 2
Divise ensuite par 3 : le nombre est positif, le sens ne change pas.
Voir la correction pas à pas
On ajoute 7 aux deux membres : 3x≤18.
On divise par 3, qui est positif, donc le sens est conservé : x≤6.
Les solutions sont tous les nombres inférieurs ou égaux à 6 ; 6 est inclus car l'inégalité est large.
Le plus grand entier solution est donc 6.
Ensemble des solutions : x≤6. Le plus grand entier solution est 6.
Exercice 2 Un coefficient négatif
★★☆Environ 7 min
Résous l'inéquation 5−2x>9. Quelle est la valeur limite que x ne doit pas atteindre ?
Indice 1
Retire 5 aux deux membres pour isoler −2x.
Indice 2
Tu vas diviser par −2 : que se passe-t-il pour le sens ?
Voir la correction pas à pas
On retire 5 aux deux membres : −2x>4.
On divise par −2, qui est négatif : le sens de l'inégalité s'inverse, donc x<−2.
La valeur limite est −2, exclue car l'inégalité est stricte.
Vérification : avec x=−3, 5−2×(−3)=11>9 est vrai ; avec x=0, 5>9 est faux.
Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à −2 : x<−2.
Exercice 3 Quel tarif choisir ?
★★★Environ 10 min
Un club de sport propose deux formules. Formule A : 8 euros par séance. Formule B : 30 euros d'inscription, puis 5 euros par séance. On note x le nombre de séances.
À partir de combien de séances la formule B coûte-t-elle moins cher que la formule A ?
Indice 1
Écris le prix de chaque formule en fonction de x, puis la condition « B moins cher que A ».
Indice 2
Regroupe les termes en x du côté où leur coefficient sera positif.
Voir la correction pas à pas
Prix de A : 8x. Prix de B : 30+5x.
On veut que B soit moins cher : 30+5x<8x.
On retire 5x aux deux membres : 30<3x.
On divise par 3 (positif) : 10<x, soit x>10.
Le nombre de séances est entier : x=10 donne le même prix (80 euros), donc B devient strictement moins cher à partir de 11 séances.
La formule B est moins chère dès 11 séances ; à 10 séances, les deux formules coûtent 80 euros.
Quiz
6 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
On retire 3 : 2x≤8, puis on divise par 2 (positif) : x≤4. La réponse x≤7 vient d'une division oubliée, et x<4 exclut à tort la valeur 4, alors que l'inégalité est large.
On divise par −3, négatif, donc le sens s'inverse : x<−4. La réponse x>−4 est l'erreur classique de celui qui oublie d'inverser. On vérifie avec x=−5 : −3×(−5)=15>12, c'est vrai.
C'est faux : multiplier par un nombre négatif inverse le sens. Exemple : 2<3 mais −2>−3. Le sens ne reste inchangé que pour un nombre strictement positif.
On obtient 4x<55, donc x<13,753. Le plus grand entier strictement inférieur à 13,75 est 13. Répondre 14 est faux, car 4×14−5=51 n'est pas inférieur à 50.
En développant, on obtient 2x+2>2x+5, puis 2>5, qui est faux pour toute valeur de x : il n'y a aucune solution 3. Dire que tous les nombres conviennent serait l'erreur inverse, qui arrive quand l'inégalité restante est vraie.
On trouve 3x≥9, donc x≥3. Les nombres 3, 4 et 10 conviennent, et 3 est inclus car l'inégalité est large. Le nombre 2 donne 3×2−1=5, qui n'est pas supérieur ou égal à 8.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi le sens de l'inégalité change-t-il quand on divise par un nombre négatif ?
Parce que multiplier ou diviser par un négatif renvoie les nombres de l'autre côté de 0 et retourne leur ordre. Par exemple, 2<3 mais −2>−3. Si tu doutes, teste avec de petits nombres avant de conclure.
Peut-on « passer un terme de l'autre côté » comme dans une équation ?
Oui pour l'addition et la soustraction : cela revient à ajouter ou retirer le même nombre aux deux membres, donc le sens ne change pas. Pour un facteur qui multiplie x, on divise : le sens ne change que si ce nombre est négatif.
Quelle différence entre $<$ et $\le$ dans la réponse ?
Avec <, la valeur limite n'est pas solution ; avec ≤, elle l'est. Le signe de ta réponse finale doit être le même que celui de l'inéquation de départ (modifié seulement si tu as inversé le sens).
Comment savoir si ma solution est juste ?
Remplace x dans l'inéquation de départ par un nombre pris dans ton ensemble de solutions : l'inégalité doit être vraie. Remplace-le ensuite par un nombre en dehors : elle doit être fausse. Pense aussi à tester la valeur limite pour contrôler strict ou large.
Que faire si les $x$ disparaissent pendant le calcul ?
Regarde l'inégalité entre nombres qui reste. Si elle est vraie, tous les nombres sont solutions ; si elle est fausse, il n'y a aucune solution 3.