Inéquations du premier degré : exercices corrigés de 3e

Pour $x = 3$ : $4 \times 3 - 1 = 11$. Or $11 < 10$ est faux : $3$ n'est pas solution.

Pour $x = 2$ : $4 \times 2 - 1 = 7$. Or $7 < 10$ est vrai : $2$ est solution.

Pour $x = 2{,}75$ : $4 \times 2{,}75 - 1 = 11 - 1 = 10$. Or $10 < 10$ est faux, car l'inégalité est stricte : $2{,}75$ n'est pas solution.

On vérifie la cohérence en résolvant : $4x < 11$, donc $x < 2{,}75$. Seul le nombre 2 est strictement inférieur à 2,75 : le résultat est cohérent.

On soustrait 5 aux deux membres : $3x \leqslant 12$.

On divise les deux membres par $3$ (positif, le sens ne change pas) : $x \leqslant 4$.

Vérification avec $x = 0$ : $5 \leqslant 17$ est vrai. Avec $x = 5$ : $20 \leqslant 17$ est faux. Cela confirme le sens.

On soustrait $2x$ aux deux membres : $3x - 7 > 8$.

On ajoute $7$ aux deux membres : $3x > 15$.

On divise par $3$ (positif) : $x > 5$.

Contrôle : pour $x = 6$, $30 - 7 = 23$ et $12 + 8 = 20$, donc $23 > 20$ est vrai. Pour $x = 5$, on a $18 > 18$, faux : 5 est exclu.

On soustrait $6$ aux deux membres : $-2x \geqslant 8$.

On divise les deux membres par $-2$, qui est négatif : le sens se retourne, donc $x \leqslant -4$.

Contrôle avec $x = -5$ : $-2 \times (-5) + 6 = 16$ et $16 \geqslant 14$ est vrai. Avec $x = 0$ : $6 \geqslant 14$ est faux. Le sens est donc bon.

On développe : $2x - 6 < 4x + 2$.

Première façon : on soustrait $4x$ aux deux membres : $-2x - 6 < 2$, puis on ajoute 6 : $-2x < 8$. On divise par $-2$ et le sens se retourne : $x > -4$.

Seconde façon : on soustrait $2x$ aux deux membres : $-6 < 2x + 2$, puis on soustrait 2 : $-8 < 2x$. On divise par $2$ (positif) : $-4 < x$, soit $x > -4$.

Les deux méthodes donnent le même résultat. Contrôle avec $x = 0$ : $2 \times (-3) = -6$ et $-6 < 2$ est vrai.

Le dénominateur commun est $6$. On multiplie les deux membres par $6$ (positif, le sens ne change pas) : $2(x+1) \leqslant 3(2x-1)$.

On développe : $2x + 2 \leqslant 6x - 3$.

On soustrait $2x$ aux deux membres : $2 \leqslant 4x - 3$, puis on ajoute 3 : $5 \leqslant 4x$.

On divise par $4$ : $\dfrac{5}{4} \leqslant x$, c'est-à-dire $x \geqslant 1{,}25$.

Contrôle avec $x = 2$ : $\dfrac{3}{3} = 1$ et $\dfrac{3}{2} = 1{,}5$, donc $1 \leqslant 1{,}5$ est vrai.

Pour la première : on développe, $3x + 6 > 3x + 1$. On soustrait $3x$ aux deux membres : $6 > 1$.

Cette inégalité est vraie, quelle que soit la valeur de $x$ : l'ensemble des solutions est $\mathbb{R}$, tous les nombres réels.

Pour la seconde : on développe, $2x + 5 \leqslant 2x - 2$. On soustrait $2x$ aux deux membres : $5 \leqslant -2$.

Cette inégalité est fausse, quelle que soit la valeur de $x$ : l'inéquation n'a aucune solution.

Contrôle de la première avec $x = 0$ : $6 > 1$ vrai. Contrôle de la seconde avec $x = 0$ : $5 \leqslant -2$ faux.

Prix de A : $12 + 3x$. Prix de B : $5x$.

La condition s'écrit $12 + 3x < 5x$.

On soustrait $3x$ aux deux membres : $12 < 2x$.

On divise par $2$ : $6 < x$, soit $x > 6$.

Le nombre de séances est un entier : le plus petit entier strictement supérieur à 6 est $7$.

Contrôle : avec 6 séances, A coûte $30$ € et B coûte $30$ € (égalité, donc pas strictement moins cher). Avec 7 séances, A coûte $33$ € et B coûte $35$ €.

Le périmètre est $2\bigl(x + (x + 4)\bigr) = 2(2x + 4) = 4x + 8$.

La condition « au plus 50 cm » donne $4x + 8 \leqslant 50$.

On soustrait $8$ aux deux membres : $4x \leqslant 42$.

On divise par $4$ : $x \leqslant 10{,}5$.

Une largeur est positive : $x > 0$. Les valeurs possibles sont donc $0 < x \leqslant 10{,}5$.

Contrôle avec $x = 10{,}5$ : longueur $14{,}5$ cm, périmètre $2 \times (10{,}5 + 14{,}5) = 50$ cm, ce qui respecte la condition.