Pourcentages et évolutions : cours de 3e

Prix en promotion, taux de TVA, résultats d'un sondage, augmentation d'un loyer : les pourcentages sont partout, et le programme de mathématiques leur accorde une place privilégiée dans le travail sur la proportionnalité.¹ Au collège, on te demande surtout trois gestes : appliquer un pourcentage (par exemple une TVA sur un prix), calculer un pourcentage (traduire une proportion en pourcentage) et comparer des valeurs à l'aide d'une évolution.¹

Dans ce cours, tu vas apprendre à passer d'un pourcentage à un coefficient, à mesurer une évolution, à enchaîner plusieurs évolutions et à revenir à la valeur de départ. Aucune notion n'est supposée connue en dehors de la proportionnalité et des calculs avec les fractions et les décimaux.

Appliquer un pourcentage, c'est répondre à une question du type : « Combien font $15\,\%$ de $240$ ? ». Comme $15\,\%$ désigne $15$ parts sur $100$, on prend $\dfrac{15}{100}$ de la quantité.⁵ C'est un cas de proportionnalité : si $100$ correspond à $240$, alors $15$ correspond à la valeur cherchée.

Ici, on connaît la partie et le total, et on cherche le pourcentage. Cela revient à chercher le numérateur d'une fraction de dénominateur $100$ égale au rapport de la partie sur le total.⁵ Cette situation est la deuxième compétence citée dans le programme : traduire une proportion en pourcentage.¹

Un prix passe de $45$ € à $54$ €, une population de $12\,000$ à $11\,400$ habitants : chaque fois, une même grandeur n'a pas la même valeur à deux moments. Pour exprimer l'ampleur du changement d'une façon qu'on peut comparer d'un cas à l'autre, on mesure l'écart relatif par rapport au point de départ : c'est le taux d'évolution.⁶

Calculer un taux est utile, mais on cherche souvent l'inverse : connaissant le départ et le taux, trouver l'arrivée. Le coefficient multiplicateur répond à cette question en un seul calcul. Il se déduit du taux d'évolution.⁶

Que se passe-t-il quand un prix augmente de $10\,\%$ puis baisse de $10\,\%$ ? La tentation est grande de croire qu'on revient au prix de départ. Or les deux pourcentages ne s'appliquent pas à la même référence.⁵ Le coefficient multiplicateur montre pourquoi : la hausse revient à multiplier la quantité $Q$ par $1{,}1$, et la baisse, qui s'applique à $1{,}1\times Q$, revient à multiplier par $0{,}9$.⁵

Après une hausse, quelle baisse faut-il pour retrouver le point de départ ? Et si on connaît seulement le prix final, comment retrouver le prix initial ? C'est la question de l'évolution réciproque. Son taux se calcule avec la même formule que le taux d'évolution, en intervertissant les valeurs de départ et d'arrivée.⁶

En économie, on présente souvent une évolution sous forme d'indice : on choisit une année de référence, d'indice $100$, et on exprime les autres valeurs par rapport à elle. Si le prix moyen des appartements a augmenté de $22\,\%$ par rapport à l'année de référence, l'indice vaut $122$.⁵ L'indice n'est donc qu'une autre présentation du coefficient : $122$ correspond à $CM=1{,}22$.