Calculs avec les puissances : cours de 3e

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une puissance $a^n$ est un produit de $n$ facteurs égaux à $a$ ; $a^0 = 1$ et $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ (avec $a \neq 0$ ).
Même base : $a^m \times a^n = a^{m+n}$ , $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ , $(a^m)^n = a^{m \times n}$ .
Même exposant : $a^n \times b^n = (a \times b)^n$ et $\dfrac{a^n}{b^n} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^n$ .
Les puissances de 10 se calculent en déplaçant la virgule : $10^{-3} = 0{,}001$ et $10^{4} = 10\,000$ .
Pour simplifier, on regroupe les bases identiques, on additionne ou soustrait les exposants, puis on calcule seulement à la fin.

Ce qu'est une puissance

En 3e, on te demande d'utiliser les puissances d'exposants positifs ou négatifs pour simplifier l'écriture de produits.¹ On te demande aussi de résoudre des problèmes avec des puissances, notamment en utilisant la notation scientifique.¹ Ce cours te donne les règles de calcul, leur justification et la méthode pour ne plus te tromper.

Une puissance est une façon courte d'écrire un produit où le même nombre se répète. Au lieu de $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$ , on écrit $2^5$ . Le nombre $2$ s'appelle la base, le nombre $5$ s'appelle l'exposant.

Le signe et les parenthèses

Avant d'aborder les règles, une précision qui fait perdre des points chaque année : la place des parenthèses. L'exposant s'applique uniquement à ce qui le précède immédiatement.

Produit et quotient de puissances de même base

Démonstration · Pourquoi $a^m \times a^n = a^{m+n}$ (cas $m$, $n$ positifs)

$a^m$ est un produit de $m$ facteurs égaux à $a$ , et $a^n$ un produit de $n$ facteurs égaux à $a$ . Multiplier les deux revient à aligner $m + n$ facteurs $a$ :

$a^m \times a^n = \underbrace{a \times \dots \times a}_{m} \times \underbrace{a \times \dots \times a}_{n} = \underbrace{a \times \dots \times a}_{m+n} = a^{m+n}$

Par exemple $2^3 \times 2^4 = (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2 \times 2) = 2^7$ .

Démonstration · Pourquoi $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Prenons $m > n > 0$ . On simplifie la fraction en barrant $n$ facteurs $a$ en haut et en bas :

$\frac{a^5}{a^2} = \frac{a \times a \times a \times a \times a}{a \times a} = a \times a \times a = a^3 = a^{5-2}$

Pour les autres cas, on écrit $\dfrac{a^m}{a^n} = a^m \times \dfrac{1}{a^n} = a^m \times a^{-n} = a^{m + (-n)} = a^{m-n}$ , en utilisant la règle du produit.

Puissance d'une puissance, d'un produit, d'un quotient

Démonstration · Pourquoi $(a^m)^n = a^{m \times n}$

Pour $m$ et $n$ positifs, $(a^m)^n$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a^m$ . Chacun de ces facteurs contient $m$ facteurs $a$ . Au total, il y a $n \times m$ facteurs $a$ :

$(a^2)^3 = a^2 \times a^2 \times a^2 = a^{2+2+2} = a^6 = a^{2 \times 3}$

Démonstration · Pourquoi $a^n \times b^n = (a \times b)^n$ (cas $n = 3$)

$a^3 \times b^3 = (a \times a \times a) \times (b \times b \times b)$

Comme la multiplication est commutative et associative, on peut regrouper les facteurs deux par deux :

$= (a \times b) \times (a \times b) \times (a \times b) = (a \times b)^3$

Les règles de calcul sur les puissances
Règle	Formule	Exemple
Produit, même base	a^m × a^n = a^(m+n)	2^3 × 2^4 = 2^7
Quotient, même base	a^m / a^n = a^(m−n)	5^6 / 5^2 = 5^4
Puissance de puissance	(a^m)^n = a^(m×n)	(3^2)^3 = 3^6
Produit, même exposant	a^n × b^n = (a×b)^n	2^3 × 5^3 = 10^3
Quotient, même exposant	a^n / b^n = (a/b)^n	12^4 / 3^4 = 4^4
Exposant nul	a^0 = 1	(−7)^0 = 1
Exposant négatif	a^(−n) = 1 / a^n	2^(−3) = 1/8

Les règles de calcul sur les puissances · Valable pour des bases non nulles et des exposants entiers relatifs.

Puissances de 10 et exposants négatifs

Les puissances de 10 sont les plus utiles en pratique, parce que notre écriture décimale repose sur elles. Elles préparent directement la notation scientifique, que tu étudieras ensuite, et les racines carrées. Le programme de 3e demande d'ailleurs de résoudre des problèmes avec des puissances, en utilisant cette notation.¹ Il demande aussi de résoudre des problèmes mettant en jeu des racines carrées, autre notion du même chapitre.¹

Méthode pour simplifier une expression

Face à une expression longue, le réflexe n'est pas de tout calculer à la calculatrice. On simplifie d'abord avec les règles, puis on calcule une seule fois. Cela évite les nombres énormes et réduit les risques d'erreur. C'est une application directe du calcul algébrique, que les fiches d'accompagnement de 3e proposent de consolider.³

RepérerÉcris chaque nombre sous forme de puissance, y compris 7 = 7^1.
RegrouperRéunis les bases identiques et les puissances de 10.
AppliquerAdditionne, soustrais ou multiplie les exposants selon la règle.
CalculerCalcule la valeur finale une seule fois, puis vérifie le signe.

Simplifier une expression avec des puissances

ExempleUne puissance dans un problème d'évolution

Un article coûte $25$ €. Le sujet du DNB 2025 propose de calculer son prix après une augmentation de $14$ %.⁴ Une augmentation de $14$ % revient à multiplier par $1{,}14$ , donc le nouveau prix est $25 \times 1{,}14 = 28{,}50$ €. Calculer un taux d'évolution fait d'ailleurs partie des compétences travaillées en troisième.³

Si le prix augmente de $14$ % deux fois de suite, on multiplie deux fois par $1{,}14$ :

$25 \times 1{,}14 \times 1{,}14 = 25 \times 1{,}14^2 = 25 \times 1{,}2996 = 32{,}49 \text{ €}$

C'est ici qu'une puissance simplifie l'écriture d'un produit de facteurs identiques. Ce type de raisonnement sert dès qu'il y a une répétition, comme des évolutions successives.

Les erreurs qui coûtent des points

La plupart des fautes ne viennent pas d'un manque de compréhension, mais d'un réflexe mal placé. Voici les confusions les plus fréquentes, avec la parade. Les puissances relèvent du domaine « nombres et calculs », où l'on évalue des compétences comme chercher, raisonner, calculer et communiquer :³ soigner la rédaction compte donc autant que le résultat.

Attention, erreur fréquenteErreurs et corrections

Erreur	Pourquoi c'est faux	Bonne réponse
$2^3 \times 2^4 = 2^{12}$	on a multiplié les exposants au lieu de les additionner	$2^7$
$2^3 \times 2^4 = 4^7$	la base ne change pas	$2^7$
$(2^3)^4 = 2^7$	on a additionné au lieu de multiplier	$2^{12}$
$2^3 + 2^4 = 2^7$	il n'y a pas de règle pour la somme	$8 + 16 = 24$
$5^{-2} = -25$	l'exposant négatif donne l'inverse	$\dfrac{1}{25}$
$-4^2 = 16$	l'exposant ne s'applique pas au signe	$-16$
$\dfrac{7^3}{7^5} = 7^2$	on a soustrait dans le mauvais sens	$7^{-2} = \dfrac{1}{49}$

Exercices corrigés

Exercice 1 Une seule puissance

★☆☆Environ 5 min

Écris $D = \dfrac{7^5 \times 7^{-2}}{7}$ sous la forme d'une seule puissance de $7$ , puis calcule sa valeur.

Indice 1

Écris $7$ sous la forme $7^1$ .

Indice 2

Additionne d'abord les exposants du numérateur, puis soustrais celui du dénominateur.

Voir la correction pas à pas

On écrit $7 = 7^1$ pour que toutes les puissances soient lisibles.
Numérateur : $7^5 \times 7^{-2} = 7^{5 + (-2)} = 7^3$ .
Quotient : $D = \dfrac{7^3}{7^1} = 7^{3-1} = 7^2$ .
On calcule : $7^2 = 49$ .

Une fois les puissances regroupées, il ne reste qu'un seul calcul : $D = 7^2 = 49$ .

Exercice 2 Puissance d'une puissance

★★☆Environ 8 min

Simplifie $E = \dfrac{\left(2^5 \times 2^{-3}\right)^3}{2^2}$ et donne le résultat sous forme d'un nombre entier.

Indice 1

Calcule d'abord ce qui est entre parenthèses.

Indice 2

Applique ensuite la règle de la puissance d'une puissance.

Voir la correction pas à pas

Dans la parenthèse : $2^5 \times 2^{-3} = 2^{5 + (-3)} = 2^2$ .
Puissance d'une puissance : $(2^2)^3 = 2^{2 \times 3} = 2^6$ .
Quotient : $E = \dfrac{2^6}{2^2} = 2^{6-2} = 2^4$ .
On calcule : $2^4 = 16$ .

On a multiplié les exposants pour la parenthèse élevée à la puissance $3$ , puis soustrait pour le quotient : $E = 16$ .

Exercice 3 Deux augmentations successives

★★☆Environ 8 min

Un article coûte $25$ €. Son prix augmente de $14$ %, puis augmente encore de $14$ % le mois suivant. Écris le prix final à l'aide d'une puissance, puis calcule-le en euros.

Indice 1

Une augmentation de $14$ % revient à multiplier par $1{,}14$ .

Indice 2

Deux augmentations identiques se traduisent par une puissance de $1{,}14$ .

Voir la correction pas à pas

Une augmentation de $14$ % multiplie le prix par $1 + \dfrac{14}{100} = 1{,}14$ .
Deux augmentations successives : $25 \times 1{,}14 \times 1{,}14 = 25 \times 1{,}14^2$ .
On calcule la puissance : $1{,}14^2 = 1{,}2996$ .
Prix final : $25 \times 1{,}2996 = 32{,}49$ €.

Le prix final est de $32{,}49$ €. Ce n'est pas $25$ € augmentés de $28$ %, qui donneraient $32$ € : les augmentations successives se cumulent par multiplication.

Exercice 4 Quotient de produits avec des puissances de 10

★★★Environ 10 min

Calcule $F = \dfrac{(6 \times 10^5) \times (4 \times 10^{-3})}{8 \times 10^{-1}}$ . Donne la valeur décimale.

Indice 1

Sépare les nombres ordinaires des puissances de 10.

Indice 2

Traite le quotient en calculant séparément $\dfrac{6 \times 4}{8}$ et $\dfrac{10^5 \times 10^{-3}}{10^{-1}}$ .

Voir la correction pas à pas

Numérateur : $(6 \times 4) \times (10^5 \times 10^{-3}) = 24 \times 10^{2}$ .
Dénominateur : $8 \times 10^{-1}$ .
On sépare : $F = \dfrac{24}{8} \times \dfrac{10^2}{10^{-1}}$ .
Premier quotient : $\dfrac{24}{8} = 3$ .
Second quotient : $\dfrac{10^2}{10^{-1}} = 10^{2-(-1)} = 10^3$ .
Donc $F = 3 \times 10^3 = 3\,000$ .

En séparant les nombres et les puissances de 10, le calcul se fait presque de tête : $F = 3\,000$ . Attention au quotient $\dfrac{10^2}{10^{-1}}$ , où l'on soustrait un exposant négatif, ce qui revient à additionner.

Les questions qu'on se pose

Pourquoi $a^0 = 1$ et non $0$ ?

Parce que la règle du quotient doit continuer à fonctionner. On sait que $\dfrac{a^3}{a^3} = 1$ pour $a$ non nul, et la règle donne $a^{3-3} = a^0$ . Pour que les deux soient d'accord, il faut $a^0 = 1$ . Ce n'est donc pas une convention arbitraire, c'est ce qui garde les règles cohérentes.

Quand additionne-t-on les exposants, et quand les multiplie-t-on ?

On les additionne quand deux puissances de même base sont reliées par un produit : $a^m \times a^n = a^{m+n}$ . On les multiplie quand une puissance est elle-même élevée à une puissance, c'est-à-dire en présence d'une parenthèse : $(a^m)^n = a^{m \times n}$ . Un test rapide : essaie avec $2^2 \times 2^3 = 4 \times 8 = 32 = 2^5$ et $(2^2)^3 = 4^3 = 64 = 2^6$ .

Comment calculer $2^3 \times 3^3$ alors que les bases sont différentes ?

Les bases sont différentes mais les exposants sont égaux, donc on utilise $a^n \times b^n = (a \times b)^n$ : $2^3 \times 3^3 = 6^3 = 216$ . Si les bases et les exposants diffèrent, comme $2^3 \times 3^4$ , aucune règle ne les regroupe : on calcule chaque puissance puis on multiplie ( $8 \times 81 = 648$ ).

À quoi servent les puissances en dehors des cours de maths ?

Elles servent à écrire de manière lisible des nombres très grands ou très petits, comme les distances en astronomie ou la taille d'une cellule. Elles interviennent aussi dans les évolutions répétées, comme un prix qui augmente plusieurs fois du même pourcentage. Le programme de 3e les relie d'ailleurs à la résolution de problèmes avec la notation scientifique.¹

Que peut-on utiliser le jour du DNB ?

La calculatrice avec le mode examen activé est autorisée, de même que la calculatrice sans mémoire de type collège.⁴ Pense à bien saisir les parenthèses pour les bases négatives et les exposants négatifs. Garde aussi le réflexe de simplifier avec les règles avant de calculer : cela montre ta méthode et limite les erreurs de saisie.

Sources

3e Mathématiques — ATTENDUS de fin d'année, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Ressources d'accompagnement du programme de mathématiques au cycle 4, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Accompagner les élèves en mathématiques — 3e et 2de, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
25GENMATAN1 — DNB session 2025, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Puissance des armes nucléaires, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Facteur de puissance, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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L'essentiel

Ce qu'est une puissance

Le signe et les parenthèses

Produit et quotient de puissances de même base

Puissance d'une puissance, d'un produit, d'un quotient

Puissances de 10 et exposants négatifs

Méthode pour simplifier une expression

Les erreurs qui coûtent des points

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Exercice 1 Une seule puissance

Exercice 2 Puissance d'une puissance

Exercice 3 Deux augmentations successives

Exercice 4 Quotient de produits avec des puissances de 10

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