Calculs avec les puissances : exercices corrigés de 3e

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Pour multiplier deux puissances de même base, on additionne les exposants ; pour diviser, on les soustrait.
Une puissance de puissance multiplie les exposants : $(a^m)^n = a^{m\times n}$ .
Un exposant négatif donne un inverse : $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ ; $a^0 = 1$ pour $a \neq 0$ .
Avant de calculer, ramène tout à la même base (par exemple $9 = 3^2$ , $4 = 2^2$ ).
En notation scientifique, on traite les nombres décimaux d'un côté et les puissances de 10 de l'autre.

Comment utiliser ces exercices

Au programme de 3e, tu dois savoir utiliser les puissances d'exposants positifs ou négatifs pour simplifier l'écriture de produits, et résoudre des problèmes avec des puissances, notamment en notation scientifique ¹. Ces exercices vont dans cet ordre : d'abord les règles de base, puis les calculs qui mélangent plusieurs règles, enfin des problèmes où il faut choisir la bonne méthode.

Pour chaque exercice, cherche d'abord seul·e sur une feuille. Si tu bloques, ouvre un seul indice, essaie encore, puis compare avec la correction. Lis la correction même si ton résultat est juste : la manière de rédiger compte autant que la réponse, surtout au DNB.

Les exercices

Exercice 1 Produit de puissances de même base

★☆☆Environ 4 min

Écris $3^4 \times 3^5$ sous la forme d'une seule puissance de 3, puis donne sa valeur.

Indice 1

Les deux facteurs ont la même base : regarde ce qui se passe avec les exposants.

Indice 2

Une fois l'exposant trouvé, calcule $3^9$ en t'aidant de $3^3 = 27$ .

Voir la correction pas à pas

Les deux facteurs sont des puissances de 3 : on additionne les exposants.
$3^4 \times 3^5 = 3^{4+5} = 3^9$ .
Calcul de la valeur : $3^9 = (3^3)^3 = 27^3 = 27\times 27\times 27 = 19\,683$ .

$3^4 \times 3^5 = 3^9 = 19\,683$ . Vérification rapide : $81 \times 243 = 19\,683$ .

Exercice 2 Puissance de puissance et quotient

★☆☆Environ 5 min

Simplifie $\dfrac{(2^3)^4}{2^{10}}$ sous la forme d'une puissance de 2, puis donne sa valeur.

Indice 1

Commence par le numérateur : $(2^3)^4$ est une puissance de puissance.

Indice 2

Ensuite, divise deux puissances de même base.

Voir la correction pas à pas

Numérateur : $(2^3)^4 = 2^{3\times 4} = 2^{12}$ .
Quotient : $\dfrac{2^{12}}{2^{10}} = 2^{12-10} = 2^2$ .
Valeur : $2^2 = 4$ .

$\dfrac{(2^3)^4}{2^{10}} = 2^2 = 4$ . Ici, l'erreur classique serait d'écrire $(2^3)^4 = 2^7$ en additionnant au lieu de multiplier.

Exercice 3 Un exposant négatif

★☆☆Environ 4 min

Écris $5^{-2}$ sous forme de fraction, puis sous forme décimale.

Indice 1

Un exposant négatif correspond à l'inverse de la puissance positive.

Indice 2

Pour passer de la fraction au décimal, pense à $\dfrac{1}{25} = \dfrac{4}{100}$ .

Voir la correction pas à pas

Par définition, $5^{-2} = \dfrac{1}{5^2}$ .
Or $5^2 = 25$ , donc $5^{-2} = \dfrac{1}{25}$ .
Écriture décimale : $\dfrac{1}{25} = \dfrac{4}{100} = 0{,}04$ .

$5^{-2} = \dfrac{1}{25} = 0{,}04$ . Le résultat est positif : l'exposant négatif n'a pas changé le signe.

Exercice 4 Mélanger les trois règles

★★☆Environ 7 min

Calcule $\dfrac{6^5 \times 6^{-2}}{6^2}$ . Donne le résultat sous la forme d'une seule puissance de 6, puis sa valeur.

Indice 1

Commence par simplifier le numérateur, qui est un produit de puissances de même base.

Indice 2

L'exposant du numérateur peut ensuite être soustrait de celui du dénominateur.

Voir la correction pas à pas

Numérateur : $6^5 \times 6^{-2} = 6^{5+(-2)} = 6^3$ .
Quotient : $\dfrac{6^3}{6^2} = 6^{3-2} = 6^1$ .
Valeur : $6^1 = 6$ .

Le résultat est $6^1 = 6$ . Contrôle : $6^3 = 216$ et $216 \div 36 = 6$ .

Exercice 5 Ramener à une base commune

★★☆Environ 9 min

On pose $A = \dfrac{2^3 \times 9^2}{3^3 \times 4^2}$ . Écris $A$ avec des puissances de 2 et de 3 seulement, simplifie, puis donne sa valeur décimale.

Indice 1

Remplace $9$ par $3^2$ et $4$ par $2^2$ .

Indice 2

Utilise la règle de la puissance de puissance, puis simplifie séparément les puissances de 2 et celles de 3.

Voir la correction pas à pas

On écrit $9^2 = (3^2)^2 = 3^4$ et $4^2 = (2^2)^2 = 2^4$ .
Donc $A = \dfrac{2^3 \times 3^4}{3^3 \times 2^4}$ .
On regroupe par base : $A = \dfrac{2^3}{2^4} \times \dfrac{3^4}{3^3} = 2^{-1} \times 3^1$ .
Donc $A = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$ .

$A = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$ . Contrôle numérique : $\dfrac{8\times 81}{27\times 16} = \dfrac{648}{432} = 1{,}5$ .

Exercice 6 Produit en notation scientifique

★★☆Environ 8 min

Calcule $B = (4\times 10^5) \times (3\times 10^{-2})$ . Donne d'abord le résultat en notation scientifique, puis en écriture décimale.

Indice 1

Regroupe d'un côté les nombres 4 et 3, de l'autre les puissances de 10.

Indice 2

Le produit $4\times 3$ donne 12 : il faut penser à remettre le résultat sous la forme $a\times 10^n$ avec $1 \le a < 10$ .

Voir la correction pas à pas

On réorganise : $B = (4\times 3) \times (10^5 \times 10^{-2})$ .
On calcule : $B = 12 \times 10^{5+(-2)} = 12\times 10^3$ .
Pour la notation scientifique, on écrit $12 = 1{,}2\times 10^1$ , donc $B = 1{,}2\times 10^1\times 10^3 = 1{,}2\times 10^4$ .
Écriture décimale : $B = 12\,000$ .

$B = 1{,}2\times 10^4 = 12\,000$ . Le résultat $12\times 10^3$ est juste mais n'est pas une notation scientifique, car 12 n'est pas compris entre 1 et 10.

Exercice 7 Résoudre une équation d'exposant

★★★Environ 8 min

Trouve l'entier $n$ tel que $3^{2n+1} = 3^7$ . Puis vérifie ta réponse en calculant $3^{2n+1}$ avec la valeur trouvée.

Indice 1

Deux puissances de 3 sont égales lorsque leurs exposants sont égaux.

Indice 2

Tu obtiens alors une équation du premier degré en $n$ .

Voir la correction pas à pas

Les deux membres sont des puissances de 3 : l'égalité impose $2n + 1 = 7$ .
On résout : $2n = 6$ , donc $n = 3$ .
Vérification : $2\times 3 + 1 = 7$ , donc $3^{2n+1} = 3^7 = 2\,187$ , ce qui correspond bien au second membre.

On trouve $n = 3$ . Cette méthode (ramener les deux membres à la même base, puis égaler les exposants) revient souvent dans les problèmes de croissance.

Exercice 8 Une population qui double

★★★Environ 9 min

Une culture de bactéries compte 5 individus au départ. Leur nombre double toutes les heures.

Exprime le nombre de bactéries après $n$ heures avec une puissance.
Calcule ce nombre après 10 heures.
Après 12 heures, par quel nombre le résultat de la question 2 a-t-il été multiplié ?

Indice 1

À chaque heure, on multiplie par 2 : après $n$ heures, on a multiplié $n$ fois par 2.

Indice 2

Pour la question 3, compare $2^{12}$ et $2^{10}$ avec la règle du quotient.

Voir la correction pas à pas

Après $n$ heures, on a multiplié $n$ fois par 2 : le nombre de bactéries est $5\times 2^n$ .
Après 10 heures : $5\times 2^{10} = 5\times 1\,024 = 5\,120$ .
Après 12 heures : $5\times 2^{12}$ . Le rapport entre les deux situations est $\dfrac{5\times 2^{12}}{5\times 2^{10}} = 2^{12-10} = 2^2 = 4$ .
Le nombre a donc été multiplié par 4 entre la 10e et la 12e heure.

Après 10 heures, il y a 5 120 bactéries. Deux heures de plus multiplient ce nombre par $2^2 = 4$ : on obtient 20 480 bactéries.

Exercice 9 L'énergie d'une explosion en joules

★★★Environ 12 min

La puissance explosive d'une arme nucléaire s'exprime souvent en kilotonnes de TNT, et une kilotonne de TNT équivaut à 4,184 térajoules (TJ) ⁵. Un téraJoule vaut $10^{12}$ joules. Un essai a libéré 20 kilotonnes de TNT ⁵.

Calcule cette énergie en TJ.
Exprime-la en joules, en notation scientifique.

Indice 1

Pour la question 1, multiplie le nombre de kilotonnes par l'énergie d'une kilotonne.

Indice 2

Pour la question 2, multiplie par $10^{12}$ puis remets le résultat sous la forme $a\times 10^n$ avec $1\le a<10$ .

Voir la correction pas à pas

Énergie en TJ : $20 \times 4{,}184 = 83{,}68$ TJ.
Conversion en joules : $83{,}68 \times 10^{12}$ J.
Mise en notation scientifique : $83{,}68 = 8{,}368\times 10^1$ .
Donc l'énergie vaut $8{,}368\times 10^1\times 10^{12} = 8{,}368\times 10^{13}$ J.

L'énergie vaut 83,68 TJ, soit $8{,}368\times 10^{13}$ J, c'est-à-dire $83\,680\,000\,000\,000$ J. Dans la dernière étape, on a utilisé $10^1\times 10^{12} = 10^{13}$ : le décalage de la virgule se traduit par un exposant de plus.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir quelle règle appliquer en premier ?

Regarde la structure de l'expression. S'il y a des parenthèses suivies d'un exposant, traite d'abord la puissance de puissance. Ensuite, regroupe les puissances de même base : produits au numérateur, puis quotient. Si les bases sont différentes, essaie de les écrire avec une base commune, par exemple $9 = 3^2$ ou $8 = 2^3$ .

Que faire quand on me demande une notation scientifique et que mon résultat est du type $12\times 10^3$ ?

Il faut que le facteur décimal soit compris entre 1 (inclus) et 10 (exclu). Ici, $12 = 1{,}2\times 10$ , donc $12\times 10^3 = 1{,}2\times 10^4$ . Quand la virgule se décale d'un rang vers la gauche, l'exposant de 10 augmente de 1 ; quand elle se décale vers la droite, il diminue de 1.

Peut-on utiliser la calculatrice pour les puissances au DNB ?

La calculatrice est autorisée à l'épreuve de mathématiques, en mode examen ou de type collège ⁴. Elle sert à contrôler un résultat, mais l'énoncé demande souvent de montrer la démarche : écris donc toujours la règle utilisée et les étapes intermédiaires, comme dans les corrections ci-dessus.

Sources

3e Mathématiques — ATTENDUS de fin d'année, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Ressources d'accompagnement du programme de mathématiques au cycle 4, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Accompagner les élèves en mathématiques — 3e et 2de, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
25GENMATAN1 — DNB session 2025, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Puissance des armes nucléaires, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Facteur de puissance, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Les exercices

Exercice 1 Produit de puissances de même base

Exercice 2 Puissance de puissance et quotient

Exercice 3 Un exposant négatif

Exercice 4 Mélanger les trois règles

Exercice 5 Ramener à une base commune

Exercice 6 Produit en notation scientifique

Exercice 7 Résoudre une équation d'exposant

Exercice 8 Une population qui double

Exercice 9 L'énergie d'une explosion en joules

Les questions qu'on se pose

Sources

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Collège

Lycée

Supérieur