Développer avec la simple distributivité : cours de 4e

Publié le 12 novembre 2026 · Mis à jour le 12 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Développer, c'est transformer un produit en une somme (ou différence) : $k(a+b)=ka+kb$ et $k(a-b)=ka-kb$ .
Le facteur placé devant (ou derrière) la parenthèse se multiplie par chaque terme de la parenthèse, sans en oublier un.
Attention aux signes : $-3(x-2)=-3x+6$ , car $(-3)\times(-2)=+6$ .
Avec des lettres : $x\times x=x^2$ , donc $x(x+4)=x^2+4x$ .
La distributivité sert aussi au calcul mental : $7\times 103=7\times 100+7\times 3=721$ .
Après avoir développé, réduis l'expression en regroupant les termes de même nature.

Pourquoi développer ?

En 4e, le calcul littéral te donne des outils pour transformer une expression sans changer sa valeur. Le programme demande de distinguer les sommes et les produits, les termes et les facteurs, puis d'utiliser la distributivité simple pour développer et factoriser une expression algébrique.¹ Les attendus de fin d'année vont dans le même sens : on développe un produit et on factorise une somme grâce à cette propriété.²

Dans ce cours, nous nous occupons du premier sens : développer. Tu apprendras à le faire avec des nombres, puis avec des lettres, y compris quand il y a des signes moins. La factorisation, la double distributivité et les preuves d'égalités viendront ensuite : elles reposent toutes sur ce que tu vas voir ici.

Sommes, produits, termes et facteurs

Avant de développer, il faut savoir reconnaître la forme d'une expression : le programme de 4e demande justement de nommer un calcul et de distinguer sommes et produits, termes et facteurs.¹ Tout repose sur la dernière opération que l'on effectue quand on calcule.

La distributivité sur des nombres

Commençons avec des nombres seuls, sans lettres. Le programme demande de connaître et d'utiliser la distributivité simple sur des exemples numériques.¹

Imagine une tablette de chocolat de 3 rangées. Chaque rangée a 4 carrés bruns et 2 carrés blancs. Pour compter tous les carrés, tu peux :

compter une rangée complète puis multiplier : $3\times(4+2)=3\times 6=18$ ;
compter les bruns de toutes les rangées, puis les blancs, et additionner : $3\times 4+3\times 2=12+6=18$ .

Les deux chemins donnent le même résultat. Voilà l'idée de la distributivité : multiplier un nombre par une somme revient à multiplier ce nombre par chaque terme, puis à additionner.

Développer avec des lettres

Avec des lettres, la règle ne change pas. Seule l'écriture change : on ne peut plus calculer le contenu de la parenthèse, puisqu'il contient une inconnue. Développer permet alors de supprimer la parenthèse.

RepérerTrouve le facteur devant la parenthèse.
Premier termeMultiplie le facteur par le 1er terme.
Second termeMultiplie le facteur par le 2e terme.
RéduireRegroupe les termes de même nature.

Développer $k(a+b)$ en quatre étapes · Les quatre gestes à enchaîner pour développer.

Les signes moins

Les erreurs de signes sont très fréquentes sur ce chapitre. Une règle suffit : on applique la règle des signes de la multiplication. Un produit de deux nombres de même signe est positif ; un produit de deux nombres de signes différents est négatif.

Développer puis réduire

Souvent, une expression contient plusieurs produits à développer. Après le développement, on réduit : on regroupe les termes de même nature, c'est-à-dire les termes en $x$ entre eux, les termes en $x^2$ entre eux, et les nombres entre eux.

Développer, un geste qui prépare la suite

La distributivité s'utilise dans les deux sens. Quand on lit l'égalité $k(a+b)=ka+kb$ de gauche à droite, on développe. Quand on la lit de droite à gauche, on factorise. Le programme de 4e demande de maîtriser les deux sens.¹

Prends l'habitude de t'entraîner à reconnaître les deux écritures :

Forme factorisée (produit)	Forme développée (somme)
$3(x+4)$	$3x+12$
$-2(x-5)$	$-2x+10$
$x(x+7)$	$x^2+7x$

La suite du parcours portera sur la double distributivité, qui sert à développer un produit de deux parenthèses, puis sur la factorisation et les preuves d'égalités. Chaque fois, tu reviendras à la règle de ce chapitre.¹

Exercices corrigés

Exercice 1 Développer et vérifier

★☆☆Environ 8 min

On considère l'expression $A=3(2x+5)$ .

Développe $A$ .
Calcule la valeur de $A$ pour $x=4$ , d'abord avec l'expression de départ, puis avec l'expression développée. Donne cette valeur.

Indice 1

Le facteur 3 multiplie chacun des deux termes de la parenthèse : $2x$ et $5$ .

Indice 2

Pour vérifier, remplace $x$ par $4$ dans les deux écritures : les résultats doivent être égaux.

Voir la correction pas à pas

On applique la distributivité : $A=3\times 2x+3\times 5$ .
On calcule chaque produit : $3\times 2x=6x$ et $3\times 5=15$ . Donc $A=6x+15$ .
Avec l'expression de départ pour $x=4$ : $3\times(2\times 4+5)=3\times 13=39$ .
Avec l'expression développée pour $x=4$ : $6\times 4+15=24+15=39$ .
Les deux valeurs sont égales : le développement est cohérent. La valeur cherchée est $39$ .

Le développement est $A=6x+15$ et sa valeur pour $x=4$ est $39$ . Retiens le réflexe : tester avec un nombre pour repérer une faute.

Exercice 2 Calcul mental et signes

★★☆Environ 12 min

Calcule mentalement $7\times 103$ en utilisant la distributivité. Donne le résultat.
Développe et réduis $B=-3(x-2)+2(x+4)$ .

Indice 1

Écris $103=100+3$ .

Indice 2

Développe chaque produit séparément, puis regroupe les termes en $x$ et les nombres. Attention à $(-3)\times(-2)$ .

Voir la correction pas à pas

On écrit $7\times 103=7\times(100+3)$ .
On distribue : $7\times 100+7\times 3=700+21=721$ .
Pour $B$ , on développe le premier produit : $-3(x-2)=-3x+6$ , car $(-3)\times(-2)=+6$ .
On développe le second produit : $2(x+4)=2x+8$ .
On écrit la somme : $B=-3x+6+2x+8$ .
On regroupe : $B=(-3x+2x)+(6+8)=-x+14$ .

On obtient $7\times 103=721$ et $B=-x+14$ . Le résultat numérique de la première question est $721$ .

Les questions qu'on se pose

Pourquoi faut-il distribuer le facteur à tous les termes de la parenthèse ?

Parce que le facteur multiplie la somme entière, pas seulement son premier terme. Reprends l'exemple de la tablette : $3\times(4+2)$ compte 3 rangées complètes, donc les 4 carrés bruns et les 2 carrés blancs de chaque rangée. Compter $3\times 4+2$ ne compterait que les carrés blancs d'une seule rangée.

Comment savoir si mon développement est juste ?

Remplace la lettre par un petit nombre (par exemple $x=2$ ) dans l'expression de départ puis dans ton résultat. Si les valeurs sont différentes, il y a une erreur. Si elles sont égales, c'est un très bon signe, mais ce n'est pas une preuve : refais alors un second test avec une autre valeur.

Que faire quand il y a un signe moins devant la parenthèse ?

Un moins devant la parenthèse revient à multiplier par $-1$ . Tous les termes de la parenthèse changent de signe : $-(x-3)=-x+3$ et $-(2x+1)=-2x-1$ . Si le moins est suivi d'un nombre, comme $-3(x-2)$ , le facteur est $-3$ et on applique la règle des signes à chaque produit.

Quelle différence entre développer et réduire ?

Développer, c'est supprimer une parenthèse en appliquant la distributivité. Réduire, c'est regrouper les termes de même nature pour écrire une expression plus courte. Dans $2(3x+1)+4(x-2)$ , on développe d'abord pour obtenir $6x+2+4x-8$ , puis on réduit pour obtenir $10x-6$ .

À quoi sert la distributivité en dehors des exercices de calcul littéral ?

Elle simplifie le calcul mental ( $7\times 103$ devient $700+21$ ) et elle prépare la factorisation et la double distributivité. Elle sert aussi à écrire un calcul d'aire : l'aire d'un rectangle de largeur $k$ et de longueur $a+b$ est la somme des aires de deux rectangles, $ka+kb$ .

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques pour le cycle 4 (4ème - Calcul littéral) · Ministère de l'Éducation nationale

Programme de mathématiques pour le cycle 4 (4ème - Calcul littéral), Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 11 novembre 2026.
Attendus de fin d'année – 4e Mathématiques, Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.

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